Montmort, Pierre Rémond de an Bernoulli, Johann I (1710.11.15)

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Autor	Montmort, Pierre Rémond de, 1678-1719
Empfänger	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Ort	Montmort
Datum	1710.11.11-1710.11.15
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 665, Nr.5*
Fussnote	Am Briefkopf Bleistiftvermerk "Cette lettre a été imprimée"

A Monmort ce 11 Nov. 1710

Je ne puis vous exprimer Monsieur combien je suis sensible à l'honneur que vous m'avés fait d'examiner mon petit ouvrage et de vouloir bien me communiquer vos scavantes et judicieuses remarques. J'etois à Paris lorsque je reçus votre lettre. J'y suis resté environ trois mois hors d'etat de vous faire reponse par une infinité de distractions et de diverses occupations. Le loisir de la campagne dont je jouis à present m'a permis d'examiner avec soin les matieres qui font le sujet de vostre lettre, je les mettrai selon l'ordre que vous avez suivi.

P. 7. Je conviens Monsieur que j'eusse pu ne point entrer dans l'examen de tous les coups favorables, indifferens ou contraires au Banquier. J'ay dû sans doutte m'appercevoir qu'il y avoit des cas dont la consideration n'etoit point necessaire. Mais dans ce 1^er probleme j'ay cru que la voye la plus longue et la plus detaillée étoit la plus propre à mettre l'esprit du lecteur dans les voyes de la solution. Vous avez pu remarquer que j'avois des methodes meilleures et plus abregées en voyant les formules que je donne aux pages 24 et 25. Celles que vous donnez Monsieur, pour exprimer l'avantage du Banquier, ${\frac {m}{2n}}\times 1+{\frac {q-1\cdot q}{1\cdot 2}}+{\frac {q-1\cdot q\cdot q+1\cdot q+2}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+{\frac {q-1\cdot q\cdot q+1\cdot q+2\dots \cdot q+4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}}+\ldots {\frac {p-1\cdot q\cdot q+1\dots \cdot p-2}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\dots \cdot p-q}}+{\textrm {etc.}}$ si $q$ est un nombre pair et ${\frac {q-1\cdot m}{2n}}\times 1+{\frac {q\cdot q+1}{2\cdot 3}}+{\frac {q\cdot q+1\cdot q+2\cdot q+3}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}+\dots {\frac {q\cdot q+1\cdot q+2\dots \cdot p-2}{2\cdot 3\cdot 4\dots \cdot p-q}}+{\textrm {etc.}}$ si $q$ est un nombre impair, sont tres belles. J'en ay une depuis longtemps peu differente des votres, soit que $q$ soit pair ou impair; la voicy ${\frac {1}{p\cdot p-1}}+{\frac {p-q\cdot p-q-1}{p\cdot p-1\cdot p-2\cdot p-3}}+{\frac {p-q\cdot p-q-1\cdot p-q-2\cdot p-q-3}{p\cdot p-1\cdot p-2\cdot p-3\cdot p-4\cdot p-5}}+{\frac {p-q\cdot p-q-1\cdot p-q-2\cdot p-q-3\cdot p-q-4\cdot p-q-5}{p\cdot p-1\cdot p-2\cdot p-3\cdot p-4\cdot p-5p-3\cdot p-6\cdot p-7}}+{\textrm {etc.}}$ le tout multiplié par $p\cdot p-1\cdot {\frac {1}{2}}A$.

Pag. 23. J'avois fait un carton pour cette page et je donnois pour somme de la suitte ${\frac {19125}{68408}}$ c'est un pur hazard que le carton ne se trouve point dans l'exemplaire, que j'ay eu l'honneur de vous envoyer.

Pag. 59. Je suis bien aise que vous approuviez la suitte ${\frac {1}{1}}-{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}-{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}-{\textrm {etc.}}$ J'ay trouvé bien des choses curieuses sur cette matiere. J'ay trouvé par Ex. que l'avantage de celuy qui tient les cartes sur la mise des joueurs que j'appelle $A$ est ${\frac {69056823787189897}{241347817621535625}}A$. Je vous ferois part de ma methode si je ne craignois d'estre trop long; je me flatte qu'elle seroit de votre goust.

Pag. 62. Il est vray qu'il y a faute en cet endroit, je me pardonne cependant cette distraction et j'aime mieux avoir bronché dans cet endroit qui est facile que dans l'essentiel de quelque Methode ce que je ne me pardonnerois pas si aisement. Je vous remercie de m'en avoir averti et je m'en corrigerai dans une nouvelle edition. J'ay calculé le cas suivant pour 4 cartes et j'ay trouvé que l'argent du jeu étant exprimé par l'unité le sort de celuy qui tient les cartes est ${\frac {56908325}{75285923}}$.

Pag. 80. Les proprietés des nombres figurés sont infinies, j'en ai trouvé quelqu'unes neuves et singulieres dont je vous ferai part dans la suitte de cette lettre celle dont vous vous estes apperçu le premier que les bandes perpendiculaires expriment les coefficients des puissances est une des plus belles et des plus utiles.

Pag. 158 et 159. Je serois assez porté à croire comme vous que le sens du probleme de M. Huygens est plustost celuy que vous luy donnez que celuy de ma solution. J'ay trouvé de même que vous ces trois nombres 77, 53, 35.

Pag. 137. Vos formules pour les cas tant determinés qu'indeterminés sont tres justes et la remarque que vous faittes que celle des determinés s'applique à la determination du coefficient d'un terme quelconque d'un polynome quelconque est tres subtile. Ma formule pour les cas determinés est celle cy.

${\begin{array}{c}p\\\Box {}\\b\end{array}}\times {\begin{array}{c}p-b\\\Box \\c\end{array}}\times {\begin{array}{c}p-b-c\\\Box \\d\end{array}}\times {\begin{array}{c}p-b-c-d\\\Box \\e\end{array}}\times {\begin{array}{c}p-b-c-d-e\\\Box \\f\end{array}}\times {\textrm {etc.}}$

J'en ay une aussi pour les indeterminez un peu plus simple que celle qui est dans mon livre. La voicy

${\begin{array}{c}q\\\Box {}\\B\end{array}}\times {\begin{array}{c}q-B\\\Box \\C\end{array}}\times {\begin{array}{c}q-B-C\\\Box \\D\end{array}}\times {\begin{array}{c}q-B-C-D\\\Box \\E\end{array}}\times {\textrm {etc.}}\times {\begin{array}{c}p\\\Box \\b\end{array}}\times {\begin{array}{c}p-b\\\Box \\c\end{array}}\times {\begin{array}{c}p-b-c\\\Box \\d\end{array}}\times {\begin{array}{c}p-b-c-d\\\Box \\e\end{array}}\times {\textrm {etc.}}$

J'entend par $q$ le nombre des faces des dez c'est 6 dans les dez ordinaires.

Pag. 159 et 160. Je ne crois pas que M. Huygens ait voulu sous-entendre minimum comme vous le distes apres ces mots inter quos tres albi erunt, en tout cas je n'ai pu le deviner, il m'eust été aussi facile d'une façon que de l'autre.

Pag. 162. Cette observation est tres importante et je vous suis tres obligé de me l'avoir communiquée. Vous avés parfaittement raison et j'ay tort. Voicy la maniere dont je me souviens que cela est arrivé. J'avois resolu il y a cinq ou six ans les cinq problemes de M. Huygens. Ce ne fust qu'à l'occasion de l'Extrait du livre de M.^r votre frere qui se trouve dans les memoires de l'academie, que je conçus le projet de mon livre. Ce livre achevé j'ay donné dans la 3^eme partie ces 5 problemes. Or les resolvans pour la 1^ere fois je les avois resolus par rapport à l'enoncé latin mais etant sur le point de les faire imprimer je ne fis autre chose que de traduire le texte de M. Huygens et le trouvant obscur et ne me ressouvenant plus de la solution je luy ay donné un sens, qui ne quadre point avec la solution. Il est vray que ces deux grands nombres 282429536481, 244140625 sont la 12^eme puissance de 9 et de 5. La remarque est excellente, vos deux solutions sont exquises. Je ne puis non plus que vous prendre la peine de resoudre le probleme en la maniere qui est l'enoncé dans mon livre. Je m'en tiens à votre Methode, le calcul en seroit trop long.

Pag. 177. J'aurois bien souhaitté que vous eussiez trouvé pour 3 et 4 joueurs une Methode simple et facile telle qu'on l'a pour deux joueurs. Je n'ai pu en venir à bout. La methode analytique et celle des combinaisons sont touttes deux d'une longeur insupportable.

Pag. 178. C'est un probleme qui merite d'exciter votre curiosité que celuy où il s'agit de determiner combien doit durer la partie lorsqu'on joüe toujours en rabattant. J'ay donné dans le corollaire page 184 la solution du cas où l'on joueroit en trois parties de Picquet. J'ay la solution generalle de ce probleme. Je vous l'envoyerois si je croiois qu'elle vous fit plaisir. M.^r votre neveu qui me paroist capable des choses les plus difficiles et qui pardessus cela est jeune et a peut-etre du loisir devroit en chercher la solution qui est assurement digne de luy. J'ay trouvé presque sans calcul que le sort de celuy qui pariroit que la partie ne durera pas plus de 26 coups sera ${\frac {16607955}{33554432}}$ ce qui fait voir qu'il auroit un peu de desavantage et que le sort de celuy qui pariroit que la partie ne durera pas plus de 28 coups sera ${\frac {70970250}{133432831}}$ ce qui étant plus grand que ${\frac {1}{2}}$ fait voir que dans ce cas il y auroit de l'avantage. J'ay trouvé aussi qu'en douze parties il y a de l'avantage à parier que le jeu ne durera pas plus de 124 parties et qu'il y auroit du desavantage à parier qu'il sera fini en 122 parties.

Je voudrois bien scavoir s'il s'est donné la peine d'examiner la proposition 31. Je n'ai point donné ma Methode. Voicy la formule.

Soit $p$ le nombre des dez, $\left\langle q\right\rangle$ le nombre figuré de l'ordre $p$, qui repond au quantiesme du point proposé à commencer depuis le plus petit qu'on puisse amener, $\left\langle q-6\right\rangle$ le nombre figuré de l'ordre $p$ qui repond au quantiesme moins six à commencer depuis le plus petit qu'on puisse amener $\left\langle q-12\right\rangle$ le nombre figuré de l'ordre $p$ qui repond au quantiesme moins douze du nombre proposé à commencer depuis le plus petit qu'on puisse amener etc. La formule $\left\langle q\right\rangle -p\times \left\langle q-6\right\rangle +{\frac {p\times p-1}{1\cdot 2}}\times \left\langle q-12\right\rangle -{\frac {p\times p-1\times p-2}{1\cdot 2\cdot 3}}\times \left\langle q-18\right\rangle +{\frac {p\times p-1\times p-2\times p-3}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}\times \left\langle q-24\right\rangle -{\frac {p\times p-1\times p-2\times p-3\times p-4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}\left\langle q-30\right\rangle +{\textrm {etc.}}$ donnera le nombre cherché.

Un de mes amis me proposa il y a quelque temps de chercher par une formule combien il y a de coups pour amener precisement un certain nombre de six ou de cinq avec un certain nombre $p$ de dez. J'ay trouvé pour formule $m-1^{p-q}$ multiplié par autant de produits des quantités $p\cdot {\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {p-2}{3}}\cdot {\frac {p-3}{4}}\cdot {\textrm {etc.}}$ qu'il y a d'unités dans $q$. J'entend par $m$ le nombre des faces des dez et $q$ le nombre de dez qui doivent marquer le meme point. On trouve par Ex. qu'il y a à parier 9375 contre 37281 qu'en jettant six dez au hazard il s'y trouvera deux six precisement.

Pendant que je suis en train M.^r de vous faire part de mes petittes decouvertes sur ces matieres en voicy une que je ne crois pas sans utilité.

On scait trouver depuis long temps la somme d'une suitte de nombres quarrés ou cubes. Peut-etre meme qu'on scait trouver la somme des nombres naturels élevés à des exposants quelconques. J'ay trouvé une Methode pour avoir la somme des nombres figurés quelconques élevés à un exposant aussi quelconque soit que ces nombres soient de suitte ou interrompus également. J'ay suivi deux routtes differentes dans la solution de ce probleme. Je vais Monsieur vous en donner quelque idée par un exemple. Soit une suitte de nombres triangulaires elevés au quarré dont on veut avoir la somme. Je decompose ces nombres 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296 etc. en cette sorte cherchant toujours les differences de differences jusqu'à ce que j'en vienne à une difference constante ou bien de cette sorte

${\begin{array}{rrrrr}1\\&8\\9&&19\\&27&&18\\36&&37&&6\\&64&&24\\100&&61&&6\\&125&&30\\225&&91\\&216\\441\end{array}}$$\;\;{\begin{array}{l}1\\1+8\\1+2\times 8+1\times 19\\1+3\times 8+3\times 19+1\times 18\\1+4\times 8+6\times 19+4\times 18+1\times 6\\1+5\times 8+10\times 19+10\times 18+5\times 6\end{array}}$

où les nombres 8, 19, 18, 6 se trouvent estre les differences 1.^ere, 2.^e, 3.^eme, 4.^eme.

En General soit $p$ le nombre des termes de la suitte dont on veut avoir la somme, $a$ le 1.^er terme de la suitte, $b$ le second terme, $c$ le 3.^eme, $d$ le 4.^eme et ainsi de suitte. Soit aussi $b-a=C$, $c-\times {\overline {a+2C}}=D$, $d-\times {\overline {a+3C+3D}}=E$, $e-\times {\overline {a+4C+6D+4E}}=F$, $f-\times {\overline {a+5C+10D+10E+5F}}=G$ etc. Soit encore $m$ l'exposant des termes de la suitte, $n$ le quantiesme de l'ordre des nombres figurés. On aura la somme cherchée $=ap+{\frac {p\times {\overline {p-1}}}{1\cdot 2}}C+{\frac {p\cdot {\overline {p-1}}\cdot {\overline {p-2}}}{1\cdot 2\cdot 3}}\times D+{\frac {p\cdot {\overline {p-1}}\cdot {\overline {p-2}}\cdot {\overline {p-3}}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}F+{\frac {p\cdot {\overline {p-1}}\cdot {\overline {p-2}}\cdot {\overline {p-3}}\cdot {\overline {p-4}}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}G+{\textrm {etc.}}$ Il faudra prendre autant de termes de cette formule que ${\overline {n-1}}\times m-1$ exprime d'unités. Supposé par Ex. qu'on veuille avoir la somme des 12 1.^ers nombres triangulaires élevés au quarré, on trouvera $C=8$, $D=19$, $E=18$, $F=6$, $m\times {\overline {n-1}}-1=5$, adjoutant donc les $5$ 1.^ers termes de la formule on trouver[a] 18382 pour ce que l'on cherche. Si l'on vouloit avoir des formules particulieres, on les tireroit aisement de la formule generalle. On trouveroit par Ex. la formule pour la somme des nombres triangulaires elevés au quarré ${\frac {3p^{5}+15p^{4}+25p^{3}+15pp+2p}{3\cdot 4\cdot 5}}$ et la formule pour les nombres triangulaires elevés au cube ${\frac {15p^{7}+105p^{6}+273p^{5}+315p^{4}+140p^{3}-8p}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}}$.

Pour finir cette lettre qui est peut-estre deja trop longue je vous ferai part Monsieur d'un probleme fort curieux que j'avois envie de proposer aux Geometres. C'est sur une lotterie d'une idée neuve et singulierre qui s'est tirée l'année passée à Paris et dont le public a été la duppe, celuy qui tenoit les fonds de la lotterie ayant fait banqueroutte de 25000 livres.

Les billets etoient de dix sols et il y en avoit un million; pour les 500000 que recevoit du public celuy qui tenoit la lotterie il rendoit 425000 en vingt mil lots. Les deux conditions qui suivent faisoient la singularité de cette lotterie.

1.^o tous les Numeros étoient dans une boette et les billets noirs dans une autre. On tiroit en meme temps un Numero et un billet noir et apres qu'on avoit écrit sur le registre quel Numero avoit un tel lot on jettoit dehors de la boette le billet noir et on remettoit le Numero dans la boette aux Numeros. L'on recommencoit ensuitte à tirer, ensorte que par cette maniere de tirer les lots un même Numero pouvoit gagner plusieurs lots et même les avoir tous.

2.^o celuy qui tenoit la lotterie pour dedommager le public de 75000 qu'il retenoit s'obligeoit de rendre 25^lb à chacun de ceux qui ayant pris 50 billets n'auroient gagné aucun lot dans leurs 50 billets.

Probleme.

En supposant que tous ceux qui mettront à la lotterie prendront ou 50 ou 100 ou 150 billets etc. (Cette supposition paroist recevable) on demande quel est l'avantage ou le desavantage de celuy qui tient la lotterie.

Il est aisé de remarquer 1.^o qu'il gagnera 75000 si tous ceux qui ont mis à lotterie ont quelque lot dans leur 50 billets. 2.^o qu'il perdra 425000 moins 50^lb si un seul qui aura mis 50 billets emporte tous les lots, ce qui fait voir que cette lotterie est une espece de jeu de hazard où celuy qui tient la lotterie peut perdre et gagner, mais fort inegalement dans la proportion de ce qu'il peut gagner et perdre et aussi par rapport à la probabilité qu'il y a qu'il perdra ou qu'il gagnera. J'ay trouvé que celuy qui tient la lotterie rend au public 240000 plus qu'il ne devroit en luy donnant 425000 sur 500000 qu'il recoit. Le goust que j'ay pour les speculations algebriques, le plaisir que je trouve à m'entretenir avec un aussi habile homme que vous que je regarderai toujours comme mon maistre, et la reconnoissance que je conserve de l'honneur que vous m'avez fait en m'envoyant vos scavantes remarques, tout cela m'engageroit Monsieur à continuer cette lettre mais je dois craindre de vous estre incommode. Ainsi je finis en vous assurant que je serai toutte ma vie avec une estime infinie et une parfaitte reconnoissance Votre tres humble et tres obeissant serviteur Remond de Monmort

A Monmort ce 15 Nov. 1710.

Je me donne l'honneur d'ecrire à Monsieur Votre Neveu à qui je vous prie de faire part de cette lettre. Je suis au desespoir de n'avoir point profité du sejour qu'il a fait en ce pays. Le nom qu'il porte et son propre merite me rendoit precieux l'honneur de sa connoissance. J'aurois été ravi de luy rendre à Paris mes tres humbles services. Que je suis faché M.^r que vous n'ayez point entre les mains l'ouvrage de M. votre frere. Quel dommage que ses scavantes veilles soient inutiles au public. Si ceux qui l'ont entre les mains vouloient me le confier je me chargerois de le faire imprimer à mes depens ainsi que j'en ai deja fait imprimer plusieurs pour le bien du public et l'avancement des sciences. Si l'on vouloit meme en tirer du profit je pourrois composer ladessus car je vous avoue que j'ay une extreme avidité pour les belles choses. Si vous voulez bien vous charger Monsieur de faire cette proposition et qu'elle soit refusée, pourrois je au moins esperer que vous voulussiez me faire le plaisir de faire faire un extrait de touttes les propositions de ce Manuscript, surtout de la 4.^eme partie. Je serois ravi de voir les vües qu'a eu M. votre frere et adjoutant les siennes à celles que j'ay deja, je tacherois de mettre en etat d'en profiter pour une 2.^e edition de mon livre. Si vous me faistes l'honneur de m'ecrire M.^r vous me ferez un plaisir infini. Je serai une autre fois plus exact à vous faire reponse, et j'en aurai une parfaitte reconnoissance. Ayez la bonté d'adresser vos lettres chez Madame Remond à l'hotel de Brac, rüe des Bernardins à Paris

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Fussnoten

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