Montmort, Pierre Rémond de an Bernoulli, Johann I (1710.11.15)

Aus Bernoulli Wiki
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Briefseite   Briefseite   Briefseite   Briefseite   Briefseite   Briefseite  


Kurzinformationen zum Brief       mehr ...
Autor Montmort, Pierre Rémond de, 1678-1719
Empfänger Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Ort Montmort
Datum 1710.11.11-1710.11.15
Briefwechsel Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 665, Nr.5*
Fussnote Am Briefkopf Bleistiftvermerk "Cette lettre a été imprimée"



File icon.gif[1] A Monmort ce 11 Nov. 1710

Je ne puis vous exprimer Monsieur combien je suis sensible à l'honneur que vous m'avés fait d'examiner mon petit ouvrage[2] et de vouloir bien me communiquer vos scavantes et judicieuses remarques.[3] J'etois à Paris lorsque je reçus votre lettre. J'y suis resté environ trois mois hors d'etat de vous faire reponse par une infinité de distractions et de diverses occupations. Le loisir de la campagne dont je jouis à present m'a permis d'examiner avec soin les matieres qui font le sujet de vostre lettre, je les mettrai selon l'ordre que vous avez suivi.[4]

P. 7. Je conviens Monsieur que j'eusse pu ne point entrer dans l'examen de tous les coups favorables, indifferens ou contraires au Banquier. J'ay dû sans doutte m'appercevoir qu'il y avoit des cas dont la consideration n'etoit point necessaire. Mais dans ce 1er probleme j'ay cru que la voye la plus longue et la plus detaillée étoit la plus propre à mettre l'esprit du lecteur dans les voyes de la solution. Vous avez pu remarquer que j'avois des methodes meilleures et plus abregées en voyant les formules que je donne aux pages 24 et 25. Celles que vous donnez Monsieur, pour exprimer l'avantage du Banquier, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{m}{2n}\times1+\frac{q-1\cdot q}{1\cdot2}+\frac{q-1\cdot q\cdot q+1\cdot q+2}{1\cdot2\cdot3\cdot4}+\frac{q-1\cdot q\cdot q+1\cdot q+2\dots\cdot q+4}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}+\ldots\frac{p-1\cdot q\cdot q+1\dots\cdot p-2}{1\cdot2\cdot3\cdot4\dots\cdot p-q}+\textrm{etc.}} si Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} est un nombre pair et Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{q-1\cdot m}{2n}\times1+\frac{q\cdot q+1}{2\cdot3}+\frac{q\cdot q+1\cdot q+2\cdot q+3}{2\cdot3\cdot4\cdot5}+\dots\frac{q\cdot q+1\cdot q+2\dots\cdot p-2}{2\cdot3\cdot4\dots\cdot p-q}+\textrm{etc.}} [5] si Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} est un nombre impair, sont tres belles. J'en ay une depuis longtemps peu differente des votres, soit que Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} soit pair ou impair; la voicy Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{p\cdot p-1}+\frac{p-q\cdot p-q-1}{p\cdot p-1\cdot p-2\cdot p-3}+\frac{p-q\cdot p-q-1\cdot p-q-2\cdot p-q-3}{p\cdot p-1\cdot p-2\cdot p-3\cdot p-4\cdot p-5}+\frac{p-q\cdot p-q-1\cdot p-q-2\cdot p-q-3\cdot p-q-4\cdot p-q-5}{p\cdot p-1\cdot p-2\cdot p-3\cdot p-4\cdot p-5p-3\cdot p-6\cdot p-7}+\textrm{etc.}} le tout multiplié par Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p\cdot p-1\cdot\frac{1}{2}A} .

Pag. 23. J'avois fait un carton pour cette page et je donnois pour somme de la suitte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{19125}{68408}} c'est un pur hazard que le carton ne se trouve point dans l'exemplaire, que j'ay eu l'honneur de vous envoyer.

Pag. 59. Je suis bien aise que vous approuviez la suitte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3}-\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}-\textrm{etc.}} J'ay trouvé bien des choses curieuses sur cette matiere. J'ay trouvé par Ex. que l'avantage de celuy qui tient les cartes sur la mise des joueurs que j'appelle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} est Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{69056823787189897}{241347817621535625}A} . Je vous ferois part de ma methode si je ne craignois d'estre trop long; je me flatte qu'elle seroit de votre goust.

File icon.gif Pag. 62. Il est vray qu'il y a faute en cet endroit, je me pardonne cependant cette distraction et j'aime mieux avoir bronché dans cet endroit qui est facile que dans l'essentiel de quelque Methode ce que je ne me pardonnerois pas si aisement. Je vous remercie de m'en avoir averti et je m'en corrigerai dans une nouvelle edition. J'ay calculé le cas suivant pour 4 cartes et j'ay trouvé que l'argent du jeu étant exprimé par l'unité le sort de celuy qui tient les cartes est Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{56908325}{75285923}} .

Pag. 80. Les proprietés des nombres figurés sont infinies, j'en ai trouvé quelqu'unes neuves et singulieres dont je vous ferai part dans la suitte de cette lettre celle dont vous vous estes apperçu le premier que les bandes perpendiculaires expriment les coefficients des puissances est une des plus belles et des plus utiles.

Pag. 158 et 159. Je serois assez porté à croire comme vous que le sens du probleme de M. Huygens[6] est plustost celuy que vous luy donnez que celuy de ma solution. J'ay trouvé de même que vous ces trois nombres 77, 53, 35.

Pag. 137. Vos formules pour les cas tant determinés qu'indeterminés sont tres justes et la remarque que vous faittes que celle des determinés s'applique à la determination du coefficient d'un terme quelconque d'un polynome quelconque est tres subtile. Ma formule pour les cas determinés est celle cy.[7]

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{c} p\\ \Box{}\\ b\end{array}\times\begin{array}{c} p-b\\ \Box\\ c\end{array}\times\begin{array}{c} p-b-c\\ \Box\\ d\end{array}\times\begin{array}{c} p-b-c-d\\ \Box\\ e\end{array}\times\begin{array}{c} p-b-c-d-e\\ \Box\\ f\end{array}\times\textrm{etc.}}

J'en ay une aussi pour les indeterminez un peu plus simple que celle qui est dans mon livre. La voicy

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{c} q\\ \Box{}\\ B\end{array}\times\begin{array}{c} q-B\\ \Box\\ C\end{array}\times\begin{array}{c} q-B-C\\ \Box\\ D\end{array}\times\begin{array}{c} q-B-C-D\\ \Box\\ E\end{array}\times\textrm{etc.}\times\begin{array}{c} p\\ \Box\\ b\end{array}\times\begin{array}{c} p-b\\ \Box\\ c\end{array}\times\begin{array}{c} p-b-c\\ \Box\\ d\end{array}\times\begin{array}{c} p-b-c-d\\ \Box\\ e\end{array}\times\textrm{etc.}}

J'entend par Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} le nombre des faces des dez c'est 6 dans les dez ordinaires.

Pag. 159 et 160. Je ne crois pas que M. Huygens[8] ait voulu sous-entendre minimum comme vous le distes apres ces mots inter quos tres albi erunt, en tout cas je n'ai pu le deviner, il m'eust été aussi facile d'une façon que de l'autre.

Pag. 162. Cette observation est tres importante et je vous suis tres obligé de me l'avoir communiquée[9]. Vous avés parfaittement raison et j'ay tort. Voicy la maniere dont je me souviens que cela est arrivé. J'avois resolu il y a cinq ou six ans les cinq problemes de M. Huygens[10]. Ce ne fust qu'à l'occasion de l'Extrait du livre de M.r votre frere[11] qui se trouve dans les memoires de l'academie, que je conçus le projet de mon livre. Ce livre achevé j'ay donné dans la 3eme partie ces 5 problemes. Or les resolvans pour la 1ere fois je les avois resolus par rapport à l'enoncé latin mais etant sur le point de les faire imprimer je ne fis autre chose que de traduire le texte de M. Huygens[12] et le trouvant obscur et ne me ressouvenant plus File icon.gif de la solution je luy ay donné un sens, qui ne quadre point avec la solution. Il est vray que ces deux grands nombres 282429536481, 244140625 sont la 12eme puissance de 9 et de 5. La remarque est excellente, vos deux solutions sont exquises. Je ne puis non plus que vous prendre la peine de resoudre le probleme en la maniere qui est l'enoncé dans mon livre. Je m'en tiens à votre Methode, le calcul en seroit trop long.

Pag. 177. J'aurois bien souhaitté que vous eussiez trouvé pour 3 et 4 joueurs une Methode simple et facile telle qu'on l'a pour deux joueurs. Je n'ai pu en venir à bout. La methode analytique et celle[13] des combinaisons sont touttes deux d'une longeur insupportable.

Pag. 178. C'est un probleme qui merite d'exciter votre curiosité que celuy où il s'agit de determiner combien doit durer la partie lorsqu'on joüe toujours en rabattant. J'ay donné dans le corollaire page 184 la solution du cas où l'on joueroit en trois parties de Picquet.[14] J'ay la solution generalle de ce probleme. Je vous l'envoyerois si je croiois qu'elle vous fit plaisir. M.r votre neveu[15] qui me paroist capable des choses les plus difficiles et qui pardessus cela est jeune et a peut-etre du loisir devroit en chercher la solution qui est assurement digne de luy. J'ay trouvé presque sans calcul que le sort de celuy qui pariroit que la partie ne durera pas plus de 26 coups sera Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{16607955}{33554432}} ce qui fait voir qu'il auroit un peu de desavantage et que le sort de celuy qui pariroit que la partie ne durera pas plus de 28 coups sera Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{70970250}{133432831}} ce qui étant plus grand que Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{2}} fait voir que dans ce cas il y auroit de l'avantage. J'ay trouvé aussi qu'en douze parties il y a de l'avantage à parier que le jeu ne durera pas plus de 124 parties et qu'il y auroit du desavantage à parier qu'il sera fini en 122 parties.

Je voudrois bien scavoir s'il s'est donné la peine d'examiner la proposition 31. Je n'ai point donné ma Methode. Voicy la formule.

Soit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} le nombre des dez, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\langle q\right\rangle } [16] le nombre figuré de l'ordre Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} , qui repond au quantiesme du point proposé à commencer depuis le plus petit qu'on puisse amener, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\langle q-6\right\rangle } le nombre figuré de l'ordre Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} qui repond au quantiesme moins six à commencer depuis le plus petit qu'on puisse amener Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\langle q-12\right\rangle } le nombre File icon.gif figuré de l'ordre Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} qui repond au quantiesme moins douze du nombre proposé à commencer depuis le plus petit qu'on puisse amener etc. La formule Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\langle q\right\rangle -p\times\left\langle q-6\right\rangle +\frac{p\times p-1}{1\cdot2}\times\left\langle q-12\right\rangle -\frac{p\times p-1\times p-2}{1\cdot2\cdot3}\times\left\langle q-18\right\rangle +\frac{p\times p-1\times p-2\times p-3}{1\cdot2\cdot3\cdot4}\times\left\langle q-24\right\rangle -\frac{p\times p-1\times p-2\times p-3\times p-4}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}\left\langle q-30\right\rangle +\textrm{etc.}} donnera le nombre cherché.[17]

Un de mes amis[18] me proposa il y a quelque temps de chercher par une formule combien il y a de coups pour amener precisement un certain nombre de six ou de cinq avec un certain nombre Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} de dez. J'ay trouvé pour formule Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m-1^{p-q}} multiplié par autant de produits des quantités Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p\cdot\frac{p-1}{2}\cdot\frac{p-2}{3}\cdot\frac{p-3}{4}\cdot\textrm{ etc.}} qu'il y a d'unités dans Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} . J'entend par Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} le nombre[19] des faces des dez et Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} le nombre de dez qui doivent marquer le meme point. On trouve par Ex. qu'il y a à parier 9375 contre 37281 qu'en jettant six dez au hazard il s'y trouvera deux six precisement.

Pendant que je suis en train M.r de vous faire part de mes petittes decouvertes sur ces matieres en voicy une que je ne crois pas sans utilité.

On scait trouver depuis long temps la somme d'une suitte de nombres quarrés ou cubes. Peut-etre meme qu'on scait trouver la somme des nombres naturels élevés à des exposants quelconques. J'ay trouvé une Methode pour avoir la somme des nombres figurés quelconques élevés à un exposant aussi quelconque soit que ces nombres soient de suitte ou interrompus également. J'ay suivi deux routtes differentes dans la solution de ce probleme. Je vais Monsieur vous en donner quelque idée par un exemple. Soit une suitte de nombres triangulaires elevés au quarré dont on veut avoir la somme. Je decompose ces nombres 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296 etc. en cette sorte cherchant toujours les differences de differences jusqu'à ce que j'en vienne à une difference constante ou bien de cette sorte 

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rrrrr} 1\\  & 8\\ 9 &  & 19\\  & 27 &  & 18\\ 36 &  & 37 &  & 6\\  & 64 &  & 24\\ 100 &  & 61 &  & 6\\  & 125 &  & 30\\ 225 &  & 91\\  & 216\\ 441\end{array}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;\;\begin{array}{l} 1\\ 1+8\\ 1+2\times8+1\times19\\ 1+3\times8+3\times19+1\times18\\ 1+4\times8+6\times19+4\times18+1\times6\\ 1+5\times8+10\times19+10\times18+5\times6\end{array}}

où les nombres 8, 19, 18, 6 se trouvent estre les differences 1.ere, 2.e, 3.eme, 4.eme.

En General soit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} le nombre des termes de la suitte dont on veut avoir la somme, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} le 1.er terme de la suitte, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} le second terme, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} le 3.eme, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} le 4.eme et ainsi de suitte. Soit aussi Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b-a=C} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c-\times\overline{a+2C}=D} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d-\times\overline{a+3C+3D}=E} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e-\times\overline{a+4C+6D+4E}=F} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f-\times\overline{a+5C+10D+10E+5F}=G} etc.[20] Soit encore Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} l'exposant des termes de la suitte, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} le quantiesme de l'ordre des nombres figurés. On aura la somme cherchée Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =ap+\frac{p\times\overline{p-1}}{1\cdot2}C+\frac{p\cdot\overline{p-1}\cdot\overline{p-2}}{1\cdot2\cdot3}\times D+\frac{p\cdot\overline{p-1}\cdot\overline{p-2}\cdot\overline{p-3}}{1\cdot2\cdot3\cdot4}F+\frac{p\cdot\overline{p-1}\cdot\overline{p-2}\cdot\overline{p-3}\cdot\overline{p-4}}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}G+\textrm{etc.}} Il faudra prendre autant de termes de cette formule que Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{n-1}\times m-1} exprime d'unités.[21] Supposé par Ex. qu'on veuille avoir la somme des 12 1.ers File icon.gif nombres triangulaires élevés au quarré, on trouvera Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C=8} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D=19} , , , , adjoutant donc les 1.ers termes de la formule on trouver[a] 18382 pour ce que l'on cherche. Si l'on vouloit avoir des formules particulieres, on les tireroit aisement de la formule generalle. On trouveroit par Ex. la formule pour la somme des nombres triangulaires elevés au quarré et la formule pour les nombres triangulaires elevés au cube[22] .

Pour finir cette lettre qui est peut-estre deja trop longue je vous ferai part Monsieur d'un probleme fort curieux que j'avois envie de proposer aux Geometres. C'est sur une lotterie d'une idée neuve et singulierre qui s'est tirée l'année passée à Paris et dont le public a été la duppe, celuy qui tenoit les fonds de la lotterie ayant fait banqueroutte de 25000 livres.[23]

Les billets etoient de dix sols et il y en avoit un million; pour les 500000 que recevoit du public celuy qui tenoit la lotterie il rendoit 425000 en vingt mil lots. Les deux conditions qui suivent faisoient la singularité de cette lotterie.

1.o tous les Numeros étoient dans une boette et les billets noirs dans une autre. On tiroit en meme temps un Numero et un billet noir et apres qu'on avoit écrit sur le registre quel Numero avoit un tel lot on jettoit dehors de la boette le billet noir et on remettoit le Numero dans la boette aux Numeros. L'on recommencoit ensuitte à tirer, ensorte que par cette maniere de tirer les lots un même Numero pouvoit gagner plusieurs lots et même les avoir tous.

2.o celuy qui tenoit la lotterie pour dedommager le public de 75000 qu'il retenoit s'obligeoit de rendre 25lb à chacun de ceux qui ayant pris 50 billets n'auroient gagné aucun lot dans leurs 50 billets.

Probleme.

En supposant que tous ceux qui mettront à la lotterie prendront ou 50 ou 100 ou 150 billets etc. (Cette supposition paroist recevable) on demande quel est l'avantage ou le desavantage de celuy qui tient la lotterie.

Il est aisé de remarquer 1.o qu'il gagnera 75000 si tous ceux qui ont mis à lotterie ont quelque lot dans leur 50 billets. 2.o qu'il perdra 425000 moins 50lb si un seul qui aura mis 50 billets emporte tous les lots, ce qui fait voir que cette lotterie est une espece de jeu de hazard où celuy qui tient la lotterie peut perdre et gagner, mais fort inegalement File icon.gif dans la proportion de ce qu'il peut gagner et perdre et aussi par rapport à la probabilité qu'il y a qu'il perdra ou qu'il gagnera. J'ay trouvé que celuy qui tient la lotterie rend au public 240000 plus qu'il ne devroit en luy donnant 425000 sur 500000 qu'il recoit. Le goust que j'ay pour les speculations algebriques, le plaisir que je trouve à m'entretenir avec un aussi habile homme que vous que je regarderai toujours comme mon maistre, et la reconnoissance que je conserve de l'honneur que vous m'avez fait en m'envoyant vos scavantes remarques, tout cela m'engageroit Monsieur à continuer cette lettre mais je dois craindre de vous estre incommode. Ainsi je finis en vous assurant que je serai toutte ma vie avec une estime infinie et une parfaitte reconnoissance Votre tres humble et tres obeissant serviteur Remond de Monmort

A Monmort ce 15 Nov. 1710.

Je me donne l'honneur d'ecrire à Monsieur Votre Neveu[24] à qui je vous prie de faire part de cette lettre. Je suis au desespoir[25] de n'avoir point profité du sejour qu'il a fait en ce pays.[26] Le nom qu'il porte et son propre merite me rendoit precieux l'honneur de sa connoissance. J'aurois été ravi de luy rendre à Paris mes tres humbles services. Que je suis faché M.r que vous n'ayez point entre les mains l'ouvrage de M. votre frere[27]. Quel dommage que ses scavantes veilles soient inutiles au public. Si ceux qui l'ont entre les mains vouloient me le confier je me chargerois de le faire imprimer à mes depens ainsi que j'en ai deja fait imprimer plusieurs pour le bien du public et l'avancement des sciences.[28] Si l'on vouloit meme en tirer du profit je pourrois composer ladessus car je vous avoue que j'ay une extreme avidité pour les belles choses. Si vous voulez bien vous charger Monsieur de faire cette proposition et qu'elle soit refusée, pourrois je au moins esperer que vous voulussiez me faire le plaisir de faire faire un extrait de touttes les propositions de ce Manuscript, surtout de la 4.eme partie.[29] Je serois ravi de voir les vües qu'a eu M. votre frere[30] et adjoutant les siennes à celles que j'ay deja, je tacherois de mettre en etat d'en profiter pour une 2.e edition de mon livre[31]. Si vous me faistes l'honneur de m'ecrire M.r vous me ferez un plaisir infini. Je serai une autre fois plus exact à vous faire reponse, et j'en aurai une parfaitte reconnoissance. Ayez la bonté d'adresser vos lettres chez Madame Remond[32] à l'hotel de Brac, rüe des Bernardins à Paris

Fussnoten

  1. ↑ Gewisse Unstimmigkeiten und Schreibfehler im Manuskript wurden anhand der Druckversion des Briefes in der zweiten Auflage von Montmorts Essay d'Analyse sur les jeux de hazard, Paris 1713, korrigiert.
  2. ↑ Montmort, Pierre Remond de, Essay d’analyse sur les jeux de hazard , Paris (J. Quillau) 1708.
  3. ↑ Siehe Brief von Johann I Bernoulli an Montmort von 1710.03.17.
  4. ↑ Die mathematischen Inhalte der folgenden Antworten von Pierre Remond de Montmort zu Johann I Bernoullis kritischen Bemerkungen zu einigen mathematischen Passagen in seinem Essay von 1708 werden hier nicht kommentiert. Ich verweise vielmehr auf die ausführlichen Kommentare zu den verschiedenen hier angesprochenen mathematischen Problemen in: Henny, Julian, Niklaus und Johann Bernoullis Forschungen auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnungen in ihrem Briefwechsel mit Pierre Remond de Montmort, in: Bernoulli, Jacob, Werke 3, Basel 1974, pp. 457-507.
  5. ↑ Im Manuskript fehlt das "" vor dem "". Der letzte Faktor im Nenner des letzten Bruches lautet irrtümlich "" statt "".
  6. ↑ Huygens, Christiaan (1629-1695).
  7. ↑ Im Manuskript und im Druck benutzt Montmort als eigens geschaffenes Symbol für die Binomialkoeffizienten ein liegendes Rechteck mit darüber und darunter geschriebenen Zahlen. Diese Rechtecke wurden hier vorerst als Quadrate (Box) wiedergegeben. Die Definition dieser Symbole findet sich in: Montmort, Pierre Remond de, Essay d’analyse sur les jeux de hazard, Paris (J. Quillau) 1708, p. 98: «J’exprimerai aussi par cette marque [Rechteck, darüber q, darunter b] le nombre qui exprime en combien de façons b peut être pris dans q, mettant le plus petit nombre dessous, et le plus grand dessus, et entre cette marque arbitraire [Rechteck].» bedeutet also in heutiger Formelschreibweise .
  8. ↑ Huygens, Christiaan (1629-1695).
  9. ↑ Im Manuskript steht "communiqué".
  10. ↑ Huygens, Christiaan (1629-1695).
  11. ↑ Bernoulli, Jacob I (1655-1705).
  12. ↑ Huygens, Christiaan (1629-1695).
  13. ↑ Im Manuskript steht "celles".
  14. ↑ Das Piquetspiel wird in Frankreich bereits im 16. Jahrhundert erwähnt. Es zählt damit zu den ältesten französischen Kartenspielen.
  15. ↑ Bernoulli, Nicolaus I (1687–1759).
  16. ↑ Im Manuskript hat Montmort die figurierten Zahlen durch umschriebene Kreise gekennzeichnet. In der Transkription werden sie hier vorerst mit spitzen Klammern gekennzeichnet.
  17. ↑ In der vorstehenden Formel hat Montmort in den drei letzten figurierten Zahlen irrtümlich statt den Buchstaben verwendet.
  18. ↑ Dieser Freund ist noch nicht identifziert.
  19. ↑ Im Manuskript steht "nombres".
  20. ↑ Die Vincula in den vorangehenden Formeln wurden gemäss Druckfassung ergänzt. Hingegen fehlen die im Manuskript stehenden Multiplikationssymbole in der Druckfassung.
  21. ↑ Im Manuskript steht , wobei Montmort das in korrigiert hat, ohne jedoch das Vinculum entsprechend zu ändern.
  22. ↑ In der folgenden Formel wurde im Nenner der fehlende Faktor 6 ergänzt.
  23. ↑ Zu den Umständen dieser betrügerischen Parise Lotterie von 1710 siehe z.B. Legay, Marie-Lore, Les loteries royales dans l'Europe des Lumières 1680-1815, Villeneuve d'Asq 214, pp. 40-41.
  24. ↑ Bernoulli, Nicolaus I (1687–1759). Dieser Brief von Montmort an Nicolaus I Bernoulli mit dem vermutlichen Datum 1710.11.15. scheint nicht erhalten zu sein.
  25. ↑ Im Manuskript steht "despoir".
  26. ↑ Laut seinem Reisetagebuch hielt sich Nicolaus I Bernoulli vom 18. Juni 1710 bis zum 13. September 1710 in Paris und Umgebung auf. Er traf in Paris den Abbé Bignon, Varignon, den Père Gouye, Malebranche, Reyneau, Fontenelle, Vater und Sohn Cassini, Vater und Sohn de la Hire, Reaumur, Saurin, Nicole, Homberg, Maraldi, den Père de la Muageray, den Père Vitry, den Abbé de Bragelongne, Mery und andere. Von einer Begegnung mit Pierre Remond de Montmort ist nicht die Rede. (Sie Bernoulli, Nicolaus I, Reisetagebuch, UB Basel Handschriften, L Ia 26).
  27. ↑ Bernoulli, Jacob I, Ars conjectandi, Opus posthumum. Accedit Tractatus de seriebus infinitis, et Epistola Gallice scripta de ludo pilae recticularis, Basileae (Gebrüder Thurneysen) 1713.
  28. ↑ Der Vorschlag Montmorts, Jacob Bernoullis Manuskript zu seiner Ars conjectandi auf eigene Kosten drucken zu lassen, wurde nicht verwirklicht. Andere Drucke, welche Montmort auf eigene Rechnung veranstaltet hatte, waren z.B. Guisné, Nicolas, Application de l'algèbre à la géométrie ou Méthode de démontrer par l'algèbre les théorèmes de géométrie, & d'en résoudre & construire tous les problèmes, Paris (Boudot et Quillau), 1705 (siehe den Brief von Montmort an Johann I Bernoulli von 1712.12.05) oder Newton, Isaac (Remond de Montmort ed.), Tractatus de quadratura curvarum, s.l. et s.a. [Paris [1704-1706 ?].
  29. ↑ Montmort interessierte sich insbesondere für diese "quatrième partie" der Ars conjectandi, weil er aus dem Brief von Johann I Bernoulli von 1710.03.17 erfahren hatte, dass darin Gegenstände aus "morale et politique" behandelt werden sollten.
  30. ↑ Bernoulli, Jacob I (1655-1705).
  31. ↑ Diese zweite Auflage von Montmorts Essay erschien dann 1713 fast gleichzeitig mit Jacob Bernoullis Ars conjectandi.
  32. ↑ Françoise Apoil de Romicourt (1678-1727). Sie war eine Nichte des P. Malebranche.


Zurück zur gesamten Korrespondenz

Abgerufen von „https://bernoulli.ub-dd-prod.k8s.unibas.ch/index.php?title=1710-11-15_Montmort_Pierre_Remond_de-Bernoulli_Johann_I&oldid=9583“