Bernoulli, Johann I an Gua de Malves, Jean Paul (1733.01.27)

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Gua de Malves, Jean Paul, 1712-1786
Ort	Basel
Datum	1733.01.27
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 674:Bl.63-64
Fussnote	Am Briefkopf eigenhändig "à Mr. l'Abbé de Gua à Paris". Unterer Rand eingefaltet

Monsieur

J'ay reçû, quoique un peu tard, la lettre que vous avés pris la peine de m'ecrire du 29 Decembre avec le papier joint à la lettre, contenant vos Solutions de deux Problemes, sur les quelles vous me demandés mon sentiment.

Vous me priés sur tout de terminer la Contestation, qui s'est elevée entre Vous et quelque Autre, touchant la Validité ou non-validité de la premiere de ces Solutions.

Je souhaiterois fort d'étre encore en état de Vous satisfaire, mais mon age avancé, l'infirmité de ma Santé, et sur tout celle de mes yeux, jointe à une foule d'occupations, que ma charge de Professeur m'impose tout les jours, tout cela devroit me dispenser d'accepter ces sortes de commissions, outre que je n'ai pas assés de presomtion pour m'eriger en Juge entre deux habiles Mathematiciens; Vous avés presentement à Paris quelques bons Analystes de ma connoissance, à qui Vous pourriés Vous adresser, et qui auroient peutetre plus de loisir que moi d'examiner à fond les points contestés: Ils pourroient Vous exposer de bouche leur decision et appuyer en détail des raisons qu'ils auroient de decider en telle ou telle maniere, au lieu qu'il seroit difficile et enuyant de le faire ponctuellement par ecrit, bien loin de n'y avoir à employer qu'une heure de mon temps, comme il vous plait de me dire.

Cependant Votre politesse m'engage à Vous communiquer mes remarques sur la solution, qui est le sujet de Votre gageure; Les voici donc:

Vous dites d'abord, Monsieur, que si à la place de l'integrale generale ${\overline {x+\alpha y}}^{\pi }{\times {\overline {x+\beta y}}}^{\tau }\times {\overline {x+\gamma y}}^{\xi }\times {\textrm {etc.}}=A$, que je suppose dans les Memoires de Petersbourg, on supposoit encore plus generalement ${\overline {x^{m}+\alpha y^{n}}}^{\pi }\times {\overline {x^{r}+\beta y^{s}}}^{\tau }\times {\overline {x^{g}+\gamma y^{f}}}^{\xi }\times {\textrm {etc.}}=A$, la differentielle provenante seroit comparable à un nombre infiniment plus grand de proposées, les quelles seroient toutes dans des conditions faciles à determiner; Mais avec votre permission Monsieur, cette pretendue plus grande generalité se trouve deja dans ma formule; car il y a nulle necessité que mes $x$ et $y$ soient de simples grandeurs lineaires, pouvant etre considerées generalement non seulement comme des puissances, mais comme des fonctions quelconques des indeterminées $x$ et $y$.

Votre generalisation est à peu près semblable à celle qu'un nommé Mr. Cheynès Ecossois vouloit autrefois donner à la serie que j'avois trouvée pour l'integrale generale de $\int ydx$, en substituant $\int yutdx$ au lieu de mon $\int ydx$, et nommant les $y$, $u$, $t$ etc. des fonctions differentes de $x$, comme si le seul $y$ ne suffisoit pas deja pour designer telles et tant de fonctions de $x$ que l'on voudra.

Votre exemple de la differentielle $pdx+\mu ydx+\gamma xdy+qydy+hdy=0$, me paroit bien resolu, en trouvant $h={\frac {pq}{\mu +\gamma }}$; ce qui est une restriction, qui marque evidemment, que ce n'est qu'un cas particulier de l'equation proposée, qui puisse etre integré par la maniere de vos puissances, au lieu qu'elle peut étre integrée dans toute son étendue par la premiere de mes formules canoniques, car comme les $x$ et $y$ n'excedent pas la premiere dimension, on peut chasser les coëfficients $p$ et $h$ et changer par là l'equation dans une autre où dans chaque terme il se trouvera le $x$ ou le $y$ simple ou d'une seule puissance; l'inconvenient qui vous arrive, de tomber dans la restriction, vient je croi de l'arrangement des termes que Vous faites à l'avanture, car si au lieu de comparer les trois premiers termes $pdx$, $\mu ydx$, $ox^{-1}y^{1}dx$ avec les trois de Votre equation generale ${\overline {\pi m+\tau r}}x^{m+r-1}dx$, $\pi bmx^{m-1}y^{s}dx$, $\tau arx^{r-1}y^{n}dx$, si dis-je, Vous les aviés rangé par ex. dans cet ordre $0xdx$, $\mu x^{0}y^{1}dx$, $px^{0}y^{0}dx$, ou bien dans celuici $0x^{m+r-1}dx$, $px^{0}y^{0}dx$, $\mu x^{0}y^{1}dx$, ou encore autrement; ce qui se peut faire aussi avec les trois derniers termes de part et d'autre, Vous auriés trouvé sans doute d'autres conditions d'integrabilité.

Après ces preliminaires je passe au fait: Vous dites Monsieur que ce n'est point la methode, sur la quelle roule la contestation; j'en suis d'accord: il s'agit donc de son application à l'équation de Riccati $Ax^{M}dx+By^{Q}dx=dy$, ainsi examinons un peu cette application; Pour comparer l'equation avec la formule Vous l'arrangés ainsi ${\begin{array}{ccc}Ax^{M}dx&-dy&=0\\+By^{Q}dx&+0\\+0&+0\end{array}}$; Je n'ai rien à dire contre cet arrangement, mais je trouve deux choses dans Votre operation, qui ne me paroissent pas bien quadrer: 1.^o Pour le prouver, il faut que je repete votre raisonnement, comme il est au commencement de la page seconde de Votre papier en question: "Par la comparaison", dites Vous, "on aura 1.^o $m=1$, $r=M$, $n=1-Q$, $s=Q$. 2.^do les equations pour determiner les coëfficients seront ${\begin{array}{c}{\textrm {I}}\\A=\pi +\tau M\end{array}}$, ${\begin{array}{c}{\textrm {II}}\\B=\pi b\end{array}}$, ${\begin{array}{c}{\textrm {III}}\\\tau \alpha M=0\end{array}}$, ${\begin{array}{c}{\textrm {IV}}\\{\overline {\pi -\pi Q+\tau Q}}ab=-1\end{array}}$, ${\begin{array}{c}{\textrm {V}}\\\tau bQ=0\end{array}}$, ${\begin{array}{c}{\textrm {VI}}\\\pi a-\pi aQ=0\end{array}}$." Ensuite Vous raisonnés ainsi "Et comme aucune des grandeurs données $A$, $B$, $Q$, $M$, n'est $=0$ ni $=\infty$, il suit que pour satisfaire aux équations III et V il faut que $\tau$ soit $=0$, ou bien que $a$ et $b$ soient à la fois $=0$: on ne sauroit supposer le dernier puis qu'il n'y auroit plus que des $x$ dans l'integrale."

Tout cela va bien, et encore ce qui suit, où Vous dites "Soit donc on fait $\tau =0$, et on aura par l'equat. I, $\pi =A$, par la II, $b={\frac {B}{A}}$, par la IV, $a={\frac {1}{{\overline {Q-1}}\times B}}$." Mais la conclusion ne me paroit pas juste, lorsque Vous dites "Et enfin pour satisfaire à la VI, il faudra faire ou $a=0$ ou $Q-1=0$." Ce dilemme est erroné puisque ni $a=0$, ni $Q-1=0$; Car si dans l'equation VI $\pi a-\pi aQ=0$ Vous substitués (comme il faut faire avant d'en tirer la consequence) la Valeur deja determinée de $a$, qui est ${\frac {1}{{\overline {Q-1}}\times B}}$, Votre $\pi a-\pi aQ=0$ se change en ${\frac {\pi \cdot {\overline {1-Q}}}{{\overline {Q-1}}\cdot B}}$, ce qui est visiblement $={\frac {-\pi }{B}}=$ (en mettant pour $\pi$ sa Valeur deja trouvée $A$) ${\frac {-A}{B}}$; ainsi il n'y a plus ni $a$ ni $Q$ dans l'equation VI, mais il falloit faire ou $A=0$, ou $B=\infty$; or l'un et l'autre seroit contradictoire, parceque $A$ et $B$ sont des coëfficients donés. Tout le reste de Votre raisonnement étant fondé sur la supposition d'un faux dilemme, ne sauroit plus subsister: il faudroit plutot conclure, qu'il n'y a aucun cas de l'equation de Riccati qui soit integrable par l'institution de Votre arrangement.

2.^o Je trouve d'ailleurs dans Votre operation une etrange supposition, en ce qu'après avoir tiré $x^{M}+{\frac {B}{A}}y=1^{\frac {1}{0}}$, Vous faites $1^{\frac {1}{0}}=z$, c. à. d. l'unité elevée à une puissance infinie (qui fait toujours une unité) = à une grandeur indeterminée quelconque $z$; Et par là Vous supposés hardiment $x^{M}+{\frac {B}{A}}=z$. Si cela est permis et que $z$ soit une grandeur quelconque, ne pourrois-je pas faire à Votre imitation et par le même droit $1^{1}=y^{0}$ ou $x^{0}$, par consequent dire comme Vous $1^{\frac {1}{0}}=y^{\frac {0}{0}}$ ou $x^{\frac {0}{0}}=y$ ou $x$ ce qui me fourniroit sans autre façon $x^{M}+{\frac {B}{A}}y=y$ ou $x$ ou = à telle fonction de $y$ ou de $x$ que l'on voudra; j'aurois donc sans aller chercher plus loin des équations en termes finis entre $x$ et $y$, dont chacune satisferoit à la differentielle $Ax^{M}dx+Bydx=dy$, mais qui est ce qui laisseroit passer ces equations pour des veritables? Ce cas est d'ailleur le plus simple de l'equation generale de Riccati, qui se trouve resolu parmi une infinité d'autres par feu mon fils Nicolas dans les Memoires de Petersb. et que l'on resout aussi aisément par la Methode que j'ay enseignée dans les Journaux de Leipsic de 1697.

Quant à l'autre probleme où il s'agit de determiner la Courbe par laquelle un corps doit remonter pour que etc., probleme qui a été proposé, si je ne me trompe dans les Actes de Leipsic. Vous avés raison de dire, que pour la chute verticale la courbe cherchée est la Tractoire de Mr. Huguens: Mais j'aurois plusieurs reflexions à faire sur votre maniere de resoudre ce probleme, qui n'est pas des plus faciles, comme on pourroit croire; peut étre aviés Vous appris de quelqu'autre, à qui je puis avoir communiqué ma Methode de resoudre ce Probleme, que la Tractoire satisfait au cas particulier de la chute verticale, ce qui a pû Vous donner occasion de trouver Votre Analyse d'une Maniere à en faire resulter la Tractoire que Vous aviés deja en vuë; ce qui me cause cette conjecture, est que Vous dites que Vous avés une solution generale pour l'hypothese des resistances proportionelles à $u^{e}$ c. à. d. à une puissance quelconque des Vitesses; ce qui surpasseroit de beaucoup ma portée, car je n'ai pas honte de confesser ingenûment que je ne l'ai resolu que pour l'hypothese ordinaire des resistances proportionelles au quarré des vitesses; je ne sçai si vous étes plus heureux que moi. Quoiqu'il en soit, si Vous étiés curieux d'apprendre tout au long mes pensées sur cette matiere, il Vous faudroit constituer quelqu'un dans Notre Ville, qui voulut se charger de la Commission de conferer avec moi pour entendre ce que je lui dirois là dessus de bouche et qui voulut prendre la peine de Vous ecrire en detail le resultat de nos conferences. Car encore une fois, ce n'est plus mon fait d'ecrire de grandes lettres; Et je Vous croi trop equitable, pour l'exiger de moi aux depends de ma Santé et de mon temps. Cette lettre n'etant deja que trop longue, je finis en Vous assurant, que je suis avec beaucoup d'estime et de consideration Monsieur Votre très humble et tres obeissant Serviteur J. Bernoulli.

Bale ce 27. Janv. 1733.

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Fussnoten

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