Maupertuis, Pierre Louis Moreau de an Bernoulli, Johann I (1732.11.10)

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Autor	Maupertuis, Pierre Louis Moreau de, 1698-1759
Empfänger	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Ort	Paris
Datum	1732.11.10
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 662, Nr.27*
Fussnote

Monsieur

J'ay receu l'honeur de votre lettre du 2 de ce mois, et vous rends mille graces de la bonté que vous avés de me ceder votre Grammaire chinoise. Apparemment le petit dictionaire dont vous parlés s'y trouve joint; il ne reste plus qu'à me vouloir bien dire le prix du tout. Je ne suis pas plus scavant en langue chinoise que vous m'avés veu cependant quelques persones qui parmy nous se sont appliquées à cette langue et qui mesme au dire de nos Missionaires y ont fait d'assez grands progrés sans sortir de Paris, nous en disent des choses si singulieres qu'il me paroit qu'il y a quelque chose de philosophique qui vaut la peine qu'on l'examine en general.

Je ne suis guerres en etat monsieur de vous doner conseil sur la question, si vous devés parler ou ne parler pas du memoire de m. de Meyran. Vous le conoissés parfaittement en le croyant jaloux de ses opinions. Cependant je pense come vous 1.^o qu'un silence affecté luy pourroit deplaire plus qu'une refutation. 2.^o le suffrage de m. de Meyran n'est que la 5.^e partie de ce qui peut doner ou oter le prix et les 4 autres comissaires seroient peu sensibles au degout qu'il pourroit avoir pour une bone piece par ce qu'il y seroit attaqué. Si l'on determinoit ainsy les suffrages par de pareils motifs il y auroit peutetre en cette occasion plus à gagner qu'à perdre pour vous; il y auroit peut etre des commissaires qui doneroient la preference à une piece par ce qu'elle detruiroit le mem. de m. de Meyran. Enfin monsieur il ne faut pas croire qu'aucunne personalité entre dans cette affaire. Il n'y a point de comissaire qui s'il trouve ses sentiments attaqués dans une piece n'en soit d'autant plus obligé, ou par equité ou par politique à luy etre favorable.

Je suis charmé que vous donniés un systeme general du Monde, quoy que le petit ouvrage qui va paroitre de moy ait à en souffrir; car en y exposant fort succinctement le systeme des Tourbillons et celuy de m. Newton, j'ay donné partout la preference à celuy cy. Missiés vous tout mon ouvrage en poudre, vous pouvés compter que cela ne m'empechera pas d'admirer votre piece et de tascher de luy rendre justice. Vous ferés grand plaisir à tous nos philosophes, d'expliquer la Rotation des Planetes, sur quoy ils triomphent contre les Newtoniens qui n'ont d'autre cause à en doner que le doigt de Dieu. Enfin le principal avantage qu'une piece puisse avoir c'est en expliquant la question proposée d'expliquer encor le plus qu'il est possible d'autres faits.

Faittes moy la grace Monsieur d'examiner cette solution d'un probleme que m. Cramer avoit envoyé icy à un de ses amis qui logeoit chez m. Clairaut; à dessein comme je pense de nous faire nous y exercer. M. Clairaut et un autre de ses amis en ont trouvé des solutions mais p[ar] des routtes fort differentes et où ils employent les 2.^es diff[erentielles]. Ayés aussy je vous prie la bonté d'examiner le 2.^nd probl. et de voir s'il est vray que quelque soit la nature de la courbe Tournante, la courbe coupante soit toujours un Cercle.

Probl. [Figur folgt] Trouver la courbe $CBGN$ qui tourne autour d'un poinct fixe $C$ ait ses segments $CBGNC$ en raison constante aux segments correspondants $CDMNC$ de la courbe $CMN$ qui passe par tous les points où elle est la plus eloignée de l'axe donné $CR$.

Solution. Je commence par chercher la courbe coupante $CDMN$. Suposant que la courbe tournante $CBGN$ soit tombée dans la situation prochaine $CBM$, decrivant du centre $C$ et du rayon $CM$ le petit arc $MG$, et tirant la droitte $CN$; le petit $\bigtriangleup$ $CGN$ est la diff[erentielle] du seg.^t $CBGNC$ de la courbe Tournante, et le $\bigtriangleup$ $CMN$ est la diff[erentielle] du seg.^t de la courbe coupante.

Soit maintenant $CM=t$, le sin. de l'angle $MCP=h$ pour le rayon $=t$; l'on aura $MP=ht$, $NE=hdt+tdh$, $CP=t{\sqrt {}}(1-hh)$, et $PQ=$$dt{\sqrt {}}(1-hh)-{\frac {thdh}{{\sqrt {}}(1-hh)}}=ME$; donc $MN={\sqrt {}}(ME^{2}+NE^{2})={\sqrt {}}(dt^{2}+{\frac {ttdh^{2}}{1-hh}})$; et $MF={\sqrt {}}(MN^{2}-NF^{2})={\frac {tdh}{{\sqrt {}}(1-hh)}}$. Maintenant pour trouver $GF$, l'on a (à cause du parallelisme entre $GN$ et $CR$) $CP:PM::NF:FG$ ou ${\sqrt {}}(1-hh).h::dt.FG={\frac {hdt}{{\sqrt {}}(1-hh)}}$. Mais par l'autre condition du probleme, $MF.FG::n.1$ c. à. d. ${\frac {tdh}{{\sqrt {}}(1-hh)}}.{\frac {hdt}{{\sqrt {}}(1-hh)}}::n.1$ ou $tdh=nhdt$ ou $h=a^{-n}t^{n}$. C'est l'equation de la courbe coupante $CDMN$.

Pour trouver maintenant la courbe tournante $CBGN$ l'on a $MF={\frac {tdh}{{\sqrt {}}(1-hh)}}=$ (à cause de $h=a^{-n}t^{n}$) ${\frac {na^{-n}t^{n}dt}{{\sqrt {}}(1-a^{-2n}t^{2n})}}={\frac {nt^{n}dt}{{\sqrt {}}(a^{2n}-t^{2n})}}$ et puisque $MF.FG::n.1$ l'on a $FG={\frac {t^{n}dt}{{\sqrt {}}(a^{2n}-t^{2n})}}$. Pour raporter cette courbe à un cercle dont le ray. $=1$ et l'arc $=z$; l'on a $1.dz::t.FG$; donc $FG=tdz={\frac {t^{n}dt}{{\sqrt {}}(a^{2n}-t^{2n})}}$ ou $dz={\frac {t^{n-1}dt}{{\sqrt {}}(a^{2n}-t^{2n})}}$. D'où l'on voit que ces courbes dependant de la comparaison de deux angles, elles sont algebriques lorsque $n$ est un nombre rationel.

Pour les construire on decrira un cercle du rayon $a^{n}$; et prenant dans ce cercle un angle $=$à l'angle $nz$, l'on aura le sin. de cet angle $=t^{n}$.

Si le raport des deux seg.^ts est celuy d'egalité l'on a pour l'equation de la courbe coupante $h={\frac {t}{a}}$ qui est l'equation radiale du cercle qui dans ce cas est la courbe coupante et la courbe Tournante.

En general, chassant $h$ et $t$ par les deux equations $t={\sqrt {xx+yy}}$ et $ht=y$ l'on a pour l'equation aux coordonées rectangles $CP$, $PM$ de la courbe Coupante $a^{n}y=(xx+yy)^{\frac {n+1}{2}}$.

Lorsque $n=3$ ou ${\frac {1}{3}}$ l'on a pour la courbe coupante une equation du 4.^e degré qui me paroit etre la courbe la plus simple aprés le cercle.

Les cas où ces courbes sont quarrables sont ceux où $n$ est quelqu'un des nombres 2, ${\frac {2}{3}}$, ${\frac {2}{5}}$, ${\frac {2}{7}}$ etc.

L'on peut proposer un autre probl. semblable à celuy cy, qui seroit

Probl. 2. Trouver la courbe qui tournant autour d'un poinct fixe $C$ ait ses arcs en raison constante aux arcs correspondants de la courbe qui passe partous les points où elle est la plus eloignée d'un axe donné?

Solution. Ayant trouvé la valeur de $MN={\sqrt {}}(dt^{2}+{\frac {ttdh^{2}}{1-hh}})$, l'on a (à cause des $\bigtriangleup$ $FNG$, $PCM$) $dt.NG::t{\sqrt {}}(1-hh).t$ d'où $NG={\frac {dt}{{\sqrt {}}(1-hh)}}$. Faisant donc $MN.NG::m.1$ l'on a $mmdt^{2}=dt^{2}-h{hdt}^{2}+ttdh^{2}$; ou ${\frac {dt}{t}}={\frac {dh}{{\sqrt {}}(mm-1+hh)}}$ ou $\ell t=\ell (bh+b{\sqrt {}}(mm-1+hh))$; ou $t=bh+b{\sqrt {}}(mm-1+hh)$ ou $tt-2bht=$$(mm-1)bb$ ou (prenant des coordonées rect[angles]) $xx+yy-2by=(mm-1)bb$ qui est toujours un cercle quelque soit $m$, chose qui me paroit singuliere.

Je trouve par un calcul semblable au precedent, pour la proprieté de la courbe Tournante $CBGN$, $FG={\frac {dt(tt-Mbb)}{{\sqrt {}}((2Mbb+4bb)tt-t^{4}-MMb^{4})}}$; ou la raportant à un cercle dont le ray. $=1$ et l'arc $=z$, $dz={\frac {(t-{\frac {Mbb}{t}})dt}{{\sqrt {}}((2Mbb+4bb)tt-t^{4}-MMb^{4})}}$ ou $M=mm-1$, et qui se construit par des arcs du cercle.

Je vous supplie Monsieur de vouloir bien doner un quart d'heure de votre tems à l'examen de cette solution.

Vous aurés sceu la mort de m. Taylor. Nous allons mercredy recomencer nos exercices. N'aprehendés point monsieur que j'abuse de l'honeur de votre confidence sur quelque chose que ce soit. Je n'ay point encor retrouvé m. de Thiancourt ny son frere, on dit à leur auberge qu'ils sont à la campagne. Il y a lontems que j'avois remarqué que m. de Thiancourt approchoit fort de penser comme nous sur la Relligion. J'ay bien prevu aussy que ce seroit un terrible coup pour m.^e de Granvillars. Je souhaitterois bien monsieur que vous eussiés la place d'Astronome et encor plus que vous vinsiés l'exercer en persone. Mais nous ne sommes pas dans un tems où l'on puisse esperer que le Ministere paye des gens tels que vous, et leur done les pensions qu'il leur faudroit pour les avoir; Cela etoit bon dans les années magnifiques du regne de Louis XIV.

Je suis toujours avec les sentiments les plus vifs et les plus respectueux Monsieur Votre tres humble et tres obeissant serviteur Maupertuis

de Paris Lund. 10 Nov. 1732.

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Fussnoten

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