Bernoulli, Johann I an Maupertuis, Pierre Louis Moreau de (1730.10.12)

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Maupertuis, Pierre Louis Moreau de, 1698-1759
Ort	Basel
Datum	1730.10.12
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 662, Nr.4
Fussnote	Am Briefkopf eigenhändig "à Mr. de Maupertuis" und "Bale ce 12 8bre 1730"

Monsieur

Accablé de douleurs que me cause la maudite Goute, ce n'est qu'avec peine que je puis écrire; mais ma reconnoy[s]sance m'y oblige malgré l'incommodité que je sens. Le nouveau bienfait que vous venés de me faire si galamment meriteroit bien d'avantage comme je ne devois point de Reponse à Mr. de Mairan je vous avois prié de Lui dire de ma part que je serois bien aise qu'il m'envoyat sur mon compte encore une douzaine d'exemplaires de ma piece^[1]; mais au lieu de cela Vous avés bien voulu Vous charger Vous même de cette Commission, et ce qui plus est au lieu de douze Vous m'en envoyés 18 et cela à Vos depens, en verité c'est pousser bien loin la Generosité; Faites moy naitre l'occasion par où je puisse Vous donner à connoitre un peu plus que par un simple remerciment, combien je suis penetré de reconnoissance, Vous verrés que les poires et les pommes que je vous ai offertes quelques rares qu'elles soient dans mon magasin, ne me paroitroient aucunement estimables en comparaison de Votre genereuse courtoisie dont vous m'avés donné tant de marques eclatantes. Le soin que vous avés pris pour que l'Errata fût imprimé exactement comme je le souhaitois, est une nouvelle marque de V.^e obligeante maniére de me faire plaisir jusqu'aux moindres choses, aussi bien que dans celles qui sont d'importance. Ce qui m'êtonne le plus dans le procedé du S.^r Jombert c'est le refus qu'il a fait d'imprimer cet Errata, lui qui auroit été obligé pour le bien public et pour la Conservation de sa propre Reputation, que ce qui s'imprime chez Lui paroisse correct et purgé de fautes d'impression, à l'Exemple des Libraires de Hollande, qui font tout leur possible pour avoir de bons correcteurs, qu'ils payent grassement, afin de rendre par là Leur imprimerie recommendable. Mais Jombert en agissant tout autrement doit avoir l'ame basse et mercenaire, ne cherchant que son gain et se souciant fort peu que le public soit bien ou mal servi par sa maniere d'imprimer incorrectement.

Venons à ce qui nous touche de plus prés; Quand on fait usage des decouvertes aux quelles on a donné occasion et par consequent contribué la plus grande partie à ce qu'elles existent, comme Vous avés fait par raport à la pluspart que j'ai eu le bonheur de deterrer par V^eaide, assurément un tel usage qu'on en feroit ne seroit pas se parer des decouvertes d'autrui. Ainsi, Mr., defaites vous de V^escrupule et jouissés librement de ce que vous avés semé et partant aussi du fruit que j'ai fait seulement éclorre, le peu de droit que je pourrois me reserver, j'y renonce et je Vous le cède in solidum, je declare ici par ecrit que je ne le reclamerai jamais; Ce sera assez d'honneur pour moi, quand on dira que c'est sous mes auspices, que vous vous étes acquis l'habitude de resoudre les problémes les plus sublimes, la Gloire qui rejaillira sur moi d'avoir été la Cause quoiqu'occasionelle seulement, du Nom de grand Geométre de France, que Vous aurés certainement dans peu, cette Gloire, dis-je, me paroit de toutes les gloires que je pourroit me procurer la plus solide.

Non M.^r ce n'est pas une hardiesse à Vous d'avoir osé travailler aux Isochrones, car vous ètes capables de plus grandes choses et d'executer les plus difficiles entreprises et si vous ne l'etiés pas ma gloire dont je viens de parler seroit detruite. J'ai lù V.^e Solution et la maniére d'en tirer une infinité d'Isochrones ou Tautochrones, pour des milieux resistans; d'abord j'ai été frappé de la simplicité et subtilité avec laquelle Vous avés traité V.^e sujet, cependant en l'examinant de plus prés, j'y trouve deux defauts, que l'on commet aisément par Inadvertance. 1.^o Vous supposés ${\frac {vv}{r}}={\frac {gdy}{ds}}$ , c. à. d. la force centrifuge egale à la force normale, mais vous ne prenés pas garde que cette supposition n'a lieu que dans la Recherche des Trajectoires ou Orbites qui se decrivent librement par des projectiles, où les forces normales sont contrebalancés ou detruites par les forces Centrifuges qui leur sont opposées, ce qui fait que les projectiles sont retenus sur les Courbes sans les presser. Mais ici c'est autre chose, car lorsque le mobile descend sur une courbe sollicité par la pesanteur, la Loi de la descente se regle suivant la nature de la Courbe, ce n'est pas la Courbe qui prend sa Courbure, selon qu'exige l'action de deux forces opposées qui doivent se contrebalancer, en effét dans toutes les Courbes de descente par Ex. dans la Cycloide qui est la Tautochrone pour le vuide, la force centrifuge et la force normale provenante de la seule pesanteur, agissent de méme sens, savoir toutes deux en dehors ou perpendiculairement à la convexité de la Cycloide, ainsi ces deux forces s'entreaident à presser la Courbe, bien loin de se detruire ou de se contrebalancer mutuellement, donc ces deux forces ne sont jamais egales sinon par accident, donc on ne peut pas les supposer egales, comme une hypothése necessaire ou essentielle dans la Recherche des Tautochrones. 2.^o V.^e seconde supposition en vertu de laquelle Vous supposés que la force acceleratrice est proportionelle à l'arc de la Courbe, ne peut pas subsister pour un milieu resistant comme pour le vuide, dans lequel la force acceleratrice depend uniquement de la pesanteur derivée selon la direction de la tangente, en sorte que dans un point donné de la Courbe la force acceleratrice sera toujours la méme, soit que le mobile commence sa chute de plus haut ou de moins haut. Mais il n'en est pas de méme dans le cas des resistances, car il est visible que la force acceleratrice dependant en partie de la Resistance, laquelle dans un méme point donné de la Courbe est variable, selon que le mobile commence plus ou moins haut sa chutte, il est, dis-je, visible, que la force acceleratrice sera aussi variable dans un point donné de la Courbe; il n'est donc pas permis de supposer la force acceleratrice proportionelle à la longeur de l'arc $s$ , puisque la Raison de l'un à l'autre varie selon la diversité des arcs totaux de descente. Il faut que j'avoue à ma honte que j'ai donné dans la méme Erreur, comme Vous avés vû dans mon premier Ecrit^[2] que je vous ai communiqué, encor le changement que j'ai fait dans l'appendice du premier écrit, qui commence par Aliter, ut in aequatione etc. n'alloit pas mieux parceque dans l'expression de $\int {\frac {ds}{{\sqrt {}}{(c}^{\frac {2p}{n}}\int {\frac {dy}{c^{\frac {2p}{n}}}}-c^{\frac {2b}{n}}\int {\frac {dx}{c^{\frac {2s}{n}}}})}}=tCA\times {\sqrt {}}2g$ , j'ai consideré le $c^{\frac {2p}{n}}$ comme constant, prenant le $p$ pour un arc total, au lieu qu'il n'est que l'arc partial indeterminé $s$ , de sorte que $c^{\frac {2p}{n}}$ devoit étre aussi $c^{\frac {2s}{n}}$ ; mais j'ai redressé tout cela dans le second Ecrit, qui porte pour titre Correctio Solutionis praecedentis etc.^[3] que je Vous ai communiqué peu de tems avant V.^e depart, et que je Vous priois de substituer au premier qui étoit fautif; C'est donc dans ce second Ecrit là que Vous trouverés pour la veritable Courbe cette Equation $ndx=2nsds\pm xds$ , ou cette autre finie $x=\mp 2ns+2nnc^{\pm {\frac {s}{n}}}-2nn$ . Depuis V.^e depart j'ai mis l'écrit en meilleur ordre et je l'ai augmenté de plusieurs Remarques fort curieuses; la premiére fois que j'aurai l'honneur de Vous écrire, je Vous en donnerai Communication. Je ne puis le faire à cet heure à cause de ma goute et parceque Vous me pressés de hâter à Vous repondre. Voici l'Equation de M.^r Euler, que Vous me demandez extraite de sa Lettre : " $8mmasds+3(m-n)nfxds=8(m-n)mafdx$ . In qua $s$ denotat arcum quem vis $AM$ , $x$ respondentem abscissam $AP$ , $a$ diametrum globi oscillantis, $f$ longitudinem penduli dimidias oscillationes aequali tempore absolventis, et $m$ ad $n$ rationem gravitatum specificarum globi et penduli etc."^[4] Je ne sai pourquoi et comment il fait entrer ici la pesenteur specifique du milieu dont la Consideration me paroit entierement inutile; ainsi je ne vois pas clairement si son Equation est conforme à la mienne par raport aux Coëfficients comme elle l'est par raport aux termes variables $s$ , $x$ , $ds$ et $dx$ . Aparement il mesure l'intensité de la resistance par la gravité du fluide, car en faisant $n=0$ son equation se change en celleci $sds=fdx$ qui est pour la Cycloide, comme il doit étre, quand la resistance est nulle; mon Equation le donne aussi; puisque dans ce cas $n$ est chez moi $=\infty$ , et mon equation $ndx=2nsds$ $\pm xds$ devient celleci $dx=2sds$ , c. à. d. les abscisses proportionelles aux quarrés des arcs, proprieté de la Cycloide. Mais vos deux Equations ${\frac {ndx}{ds}}=as+ax$ , et ${\frac {ndx}{ds}}=bs-bx$ , donneroient pour la Resistance infiniment petite ${\frac {dx}{ds}}=0$ , ce qui n'est pas la Cycloide, marque evidente qu'il y a faute dans V.^e Methode. J'ai receu ces Jours passés deux Lettres de Petersbourg, l'une de M.^r Euler et l'autre de mon fils,^[5] celui ci dans la pensée que Vous éties encore ici Vous assùre de Ses Respects: Ils avouent franchement l'un et l'autre qu'ils ne peuvent pas demontrer à priori la Conservation des forces vives dans le mouvement d'un Corps pesant qui glisse sur l'hypotenuse d'un triangle qu'il fait reculer, me prians de leur communiquer ma solution directe tirées des principes de Mechanique sans supposer celui de la force vive, ce que j'ai fait dans la reponse que je fis dernierement à mon fils,^[6] je verrai ce qu'ils en jugeront. Je suis bien glorieux de ce que Mr. le C. d'Onsembray a daigné boire à ma santé; je suis son indigne serviteur, qui ne puis Lui être utile à rien, comme je devrois l'étre en consideration des faveurs extraordinaires qu'il me fait continuellement, en m'envoyant gratis par la poste les paquets qui me sont destinés; c'est le plus genereux office qu'il puisse faire à un etranger inconnu. Je Vous prie de Lui marquer dans les termes les plus forts la grandeur de mes obligations et mon éternelle Reconnoissance. Quant à Vous je suis pareillement avec tous les sentimens de Gratitude et d'Estime