Maupertuis, Pierre Louis Moreau de an Bernoulli, Johann I (1730.10.02)

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Autor	Maupertuis, Pierre Louis Moreau de, 1698-1759
Empfänger	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Ort	Paris
Datum	1730.10.02
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 662, Nr.4*
Fussnote	Dem Brief waren 18 Exemplare der Preisschrift von Johann I Bernoulli über die Bewegungsgesetze beigelegt.

Monsieur

Il y a longtems que j'aurois eu l'honeur de repondre à votre lettre du 29 Aoust sans que je voulois vous envoyer en mesme tems l'Errata. Je n'ose presque vous dire pour l'h[onneu]r de notre pais tout ce qui s'est passé sur cela. Jomber aprés vous avoir imprimé comme vous avés veu a encor refusé d'imprimer l'Errata. Il l'avoit d'abord recéu de m. de Meyran comme s'il eust eu effectivement dessein de l'imprimer. Lorsque m. de Meyran la pressé de le faire il a dit enfin qu'il ne l'imprimeroit pas. Il a fallu le doner à l'imprimerie royale et on ne me l'a rendu que les jours passés. Aprés en avoir retenu pour vous et pour l'acad.^ie et en avoir envoyé une douzaine à m. de Meyran qui est à la campagne et qui me les avoit demandés j'ay envoyé le reste à Jomber pour qu'il les joigne aux exemplaires qu'il vendra; il a bien voulu les accepter. Quant au refus qu'il a fait de vous en donner je m'etonne plus qu'il en ait donné à m. votre fils que de le voir vous en refuser: Et parlant à la rigueur et supposant Jomber coquin comme il l'est, il n'est point obligé de en donner aux autheurs. L'Acad.^ie lorsqu'elle fait imprimer la piece qu'elle a couronnée n'impose à l'imprimeur d'autre condition que de luy en donner un certain nombre d'exemplaires qui va à 80 ou 100 pour tous ses membres. Jomber en osa de la meme maniere avec Mr. MacLaurin qui fut obligé aussy d'acheter sa piece. Quant a celle sur les loix du mouvement c'etoit une affaire particuliere où m. de Meyran imposa à Jomber la condition de vous en donner. Malgré tout cela je vous scay bien mauvais gré de vouloir que je m'adresse à m. de Meyran pour la seconde douzaine. Je n'ay eu garde de luy en parler et en voicy 18 que je vous prie de vouloir bien accepter.

Vous poussés trop loin monsieur la reconnoissance pour les bagateles que je vous ai envoyées; le marché que vous me proposés de me payer en Geometrie est trop avantageux pour moy: je l'accepte cependant à cause de vos grandes richesses. En traittant vos decouvertes de poires et de pomes, vous faittes bien voir le peu qu'elles vous coutent; mais cela meme en releve encor le prix. Quant à l'usage que vous voudriés que $ j'en fisse, il faudroit que je fusse perdu d'amour propre à un etrange poinct pour l'accepter; D'ailleurs qui ne reconnoitroit du premier coup d'oeuil ce qui vous appartient et ce qui pourroit m'appartenir. Enfin je crois qu'il y a plus à perdre en se voulant parer des decouvertes d'autruy, qu'il n'y a à gagner en passant pour scavant geometre: Et mon penchant et mon amour propre me deffendent egalement d'accepter les offres que votre generosité vous fait faire.

Vous m'allés monsieur trouver bien hardy d'avoir osé travailler aux isochrones; Et encor plus lorsque je vous diray que je crois avoir trouvé une solution par une methode où je me passe de l'integration de la vitesse par quantités exponentielles et qui à ce qu'il me semble donne une infinité d'isochrones. Cependant comme je vous dois comme à mon maitre rendre compte des travaux que vous m'avés mis en etat d'entreprendre; voicy la routte que j'ay suivie je vous prie de me dire si elle est bone.

Soit la pesanteur$=g$, le rayon de la developée $=r$, la vitesse $=v$; l'on a, à cause de la force centrif. egale à la force normale ${\frac {vv}{r}}={\frac {gdy}{ds}}$; Donc dans un milieu resistant comme le quarré de la vitesse l'on à $({\frac {gdx}{ds}}-{\frac {grdy}{nds}})ds=-vdv$. D'où l'on tire $vv=$${\frac {2g}{n}}\int rdy-2gx$. Supposant maintenant la force acceleratrice proportionelle à l'arc de la courbe l'on a ${\frac {gdx}{ds}}+{\frac {2gx}{n}}-{\frac {2g}{nn}}\int rdy=ms$; ou (faisant ${\frac {m}{g}}=p$) ${\frac {dx}{ds}}+{\frac {2x}{n}}-ps={\frac {2}{nn}}\int rdy$. Faisant $ds$ constant et mettant pour $r$ sa valeur $-{\frac {dyds}{ddx}}$ l'on trouve cette equation ${\frac {nddx}{ds}}={\frac {np}{2}}ds-dx\pm {\sqrt {3dx^{2}-npdsdx+({\frac {nnpp-8}{4}})ds^{2}}}$. Mais afin qu'on puisse extraire cette racine, il faut que $np=2{\sqrt {3}}$ et alors l'equation devient ${\frac {nddx}{ds}}=({\sqrt {3}}\mp 1)ds(-1\pm {\sqrt {3}})dx$ ou ${\frac {ndx}{ds}}=({\sqrt {3}}\mp 1)s(-1\pm {\sqrt {3}})x$.

Mais il me semble qu'en general $vv$ peut estre $={\frac {Ag}{n}}\int rdy-Agx$ d'où l'on parvient à une equation generale ${\frac {nddx}{ds}}={\frac {npds-Adx}{2}}\pm ({\frac {1}{2}}{\sqrt {AA+4A}}){\sqrt {dx^{2}-({\frac {2np}{A+4}})dsdx+({\frac {n^{2}p^{2}-4A}{AA+4A}})ds^{2}}}$ et faisant $AA+4A=n^{2}p^{2}$ pour extraire la racine l'on a ${\frac {nddx}{ds}}=({\frac {{\sqrt {AA+4A}}\mp A}{2}})ds({\frac {-A\pm {\sqrt {AA+4A}}}{2}})dx$ ou ${\frac {ndx}{ds}}=({\frac {{\sqrt {AA+4A}}\mp A}{2}})s({\frac {-A\pm {\sqrt {AA+4A}}}{2}})x$ ce qui donne deux equations generales ${\frac {ndx}{ds}}=as+ax$, et ${\frac {ndx}{ds}}=bs-bx$ d'où l'on parvient aux equations finyes $c^{s}={\overline {x+s+{\frac {n}{a}}}}^{\frac {n}{a}}$ et $c^{s}={\overline {x-s+{\frac {n}{b}}}}^{-{\frac {n}{b}}}$.

Il me semble qu'on a par là une infinité d'isochrones pour une mesme intensité de resistance et que la methode peut s'etendre à d'autres hypotheses de resistance que celle qui se fait comme les quarrés des vitesses.

L'equat. de la solution que vous me donates à Basle etoit ${\frac {dx}{ds}}=$$2s\pm {\frac {1}{n}}x$ ou $x\mp 2ns+2nn=c^{\mp {\frac {s}{n}}}$ qui differe des miennes par les coefficients. Je voudrois bien scavoir quels etoient les coefficients de m.^r Eyler.

Faittes moy la grace monsieur de me dire où je me serais mepris. Car sans doute j'auray fait quelque paralogisme; ne pouvant croire que je sois parvenu à une chose que vous avés crue digne d'estre proposée à m. votre fils. Je vous prie quand vous luy ecrivés de l'asseurer de mes respects. Je suis avec beaucoup de respect Monsieur Votre tres humble et tres obeissant Serviteur Maupertuis.

Je suis un peu impatient de connoitre mes fautes. Et vous me ferés grand plaisir de me dire le plustost que vous pourrés votre sentiment. M. d'Onsenbray vous fera tenir ce pacquet. Nous avons beu l'autre jour ensemble à votre sancté.

de Paris Lundy. 2 oct. 1730

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Fussnoten

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