Bilfinger, Georg Bernhard an Bernoulli, Johann I (1720.01.00)

Kurzinformationen zum Brief       mehr ...
Autor	Bilfinger, Georg Bernhard, 1693-1750
Empfänger	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Ort	Tübingen
Datum	1720.01.00
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 653, Nr.2*
Fussnote	Zahl bei der Tagesangabe fehlt

Vir Magnifice,

Mathematicorum facile Princeps.

Dici non potest, quanta cum animi voluptate ex Litteris Tuis, humanitate maxima perfusis, intellexerim, non improbari penitus, Tuae Magnificentie consilium Amicorum meorum, qui Tui aliquam Umbram petierunt, Diario suo praefigendam. De elogio peroptarem, ut annueres, sine Tua tamen, Vir Maxime, molestia. Putem vero, dici posse liberrime omnia, quae historiam Jnventorum Tuorum attingant, quoniam huius libelli Autores hactenus omnino latent, quorum nomine tamen istum Vitae Compendium prodiret. Postularunt Halenses meam in isto negotio operam atque calamum, sed existimavi Alexandrum pingi per Apellem debere. Quodsi tamen defuerit, qui necessaria in suum stylum transfundat, monitus a Te de praecipuis rerum Capitibus id cupidissime perficerem. Sed quomodo desint Tibi Auditores harumce rerum peritissimi, qui optima et praestantissima quaeque ex Tua institutione haurirent.

De Theorematis nuperis Analyticis ausus fui ex Tua Magnificentia aliquid quaerere: et sufficiunt sane ea, quae breviter monuisti. Ut ne majorem Tibi, Viro maximis et difficillimis occupatissimo, molestiam ea re crearem, placuit his litteris comites pagellas adjungere, quas olim Actis Lipsiensibus destinaveram, eo fine, ut si Commentationem meam, vel per Auditorem aliquem Tuum examinatam, Tuae menti conformem deprehenderis, eam postea ad Doctiss. Wolfium, Magistrum meum, non sine Tua voluntate, liceat transmittere. Sin id minus probaveris, ut illam domi possim continere.

Ignosces vero, Vir Maxime, importunae flagitationi, et repetitis precibus, quas amicorum meorum in Te studio et in Litteras affectui me debere credidi: et, si qua id Te dignum judicaveris, meum aliquid conandi ardorem Tuo favore amplius incendes. Vale.

Dab. Tubingae d. Jan. 1720.

Tuae Magnificentiae ante omnes Cultor deditissimus, M. Georg Bernh. Bülffinger.

G. B. Bülffingeri brevis Commentatio in Theoremata octo Bernoulliana, quibus calculus integralis promovetur, exhibita in Actis A. 1719 m. Jun. p. 269.

Theoremata octo, quae Vir vere Maximus et promovendae geometriae altiori natus, Jo. Bernoullius, in his Actis m. Jun. anni superioris cum orbe Erudito communicavit, vel per universalitatem suam mereri Geometrarum attentionem, nemo facile dubitaverit. Cum tamen hucusque nihil, quod sciam, publice de eorundem demonstratione innotuerit; existimavi, forsan id non inconsultum fore, si, quid mihi hic in mentem venerit, brevibus exponerem.

Definitio. Per $q$ et $l$ intelligit numeros qualescunque integros, fractos, affirmativos, negativos, rationales; sed per $k$, $n$ et $p$ intellectos vult tantum numeros quoslibet integros et affirmativos, et ita quidem, ut pro $p$ et $n$ etiam sumi possit $0$. Per $d$ integrum affirmativum vel negativum. Per $\lambda$ dignitatem binarii quamcunque. Per $e$ et $f$ quantitates constantes.

Theorema I. $\int dx:(e+fx^{q})^{k+{\frac {1}{q}}}$ est absolute seu Algebraice Quadrabilis.

Commentatio. Assumatur $x=({\frac {y-f}{e}})^{-{\frac {1}{q}}}$ erit $\int dx:(e+fx^{q})^{k+{\frac {1}{q}}}=\int -{\frac {1}{eq}}({\frac {y-f}{e}})^{k-1}y^{-k-{\frac {1}{q}}}dy$. Jam si $q$ est affirmativus quicunque vel integer unitate major negativus, singuli termini huius formulae evoluti erunt absolute integrabiles. Sin $q$ sit fractio negativa vel unitas negativa, ita ut $k+{\frac {1}{q}}$ fiat integer affirmativus, formula haec evoluta continebit Logarithmum.

Quodsi itaque formula Theorematis absolute Quadrari possit, sitque ea v. g. $X$ tum Hyperbola intra Asymptotos quadrabitur absolute. Sit enim $x=3$ et $q=-{\frac {1}{2}}$, erit $\int dx:(e+fx^{q})^{k+{\frac {1}{q}}}=\int x^{-kq-1}dx:(f+ex^{-q})^{k+{\frac {1}{q}}}$$=\int x^{\frac {1}{2}}dx:(f+ex^{\frac {1}{2}})=X=({\text{ facto }}{\frac {y-f}{e}}=x^{\frac {1}{2}})\ {\frac {2}{e}}({\frac {y-f}{e}})^{2}y^{-1}dy=$(neglectis coefficientibus constantibus 2 et $e$) $\int ydy-\int 2fdy+\int f^{2}y^{-1}dy$. Adeoque $X-\int ydy+\int 2fdy$$=\int f^{2}y^{-1}dy$, quae esset area Hyperbolae intra Asymptotos, ad quam est $f^{2}=zy$, et quam propter $y-f=ex^{\frac {1}{2}}$ mediante Parabola liceret construere ex Curva Theorematis quadrabili.

Theorema II. Generalius $\int x^{pq}dx:(e+fx^{q})^{k+p+{\frac {1}{q}}}$ est Algebraice Quadrabilis.

Comment. Fiat $x=({\frac {y-f}{e}})^{-{\frac {1}{q}}}$, habebis $\int -{\frac {1}{eq}}({\frac {y-f}{e}})^{k-1}y^{-k-p-{\frac {1}{q}}}dy$. De qua formula evoluta eadem valent, quae de prima diximus, si hic $k+p+{\frac {1}{q}}$ fiat integer affirmativus.

Theorema III. $\int x^{kq-1}dx:(e+fx^{q})^{k-{\frac {1}{q}}}$ est absolute Quadrabilis.

Comment. Fiat $x^{q}={\frac {v-e}{f}}$, et habebitur nova formula priori aequipollens, $=\int {\frac {1}{qf}}({\frac {v-e}{f}})^{k-1}v^{-k+{\frac {1}{q}}}dv$, quae evoluta Logarithmum includet, si $q$ est fractio affirmativa vel unitas affirmativa, et $k-{\frac {1}{q}}$ integer affirmativus: absolute autem integrabitur, si $q$ fuerit numerus negativus quicunque, vel integer affirmativus unitate major.

Theorema IV. Generalius $\int x^{kq-1}dx:(e+fx^{q})^{k+p-{\frac {1}{q}}}$ est Algebraice Quadrabilis.

Comment. Sit denuo ${\frac {v-e}{f}}=x^{q}$, erit haec formula $\int {\frac {1}{qf}}({\frac {v-e}{f}})^{k-1}v^{-k-p+{\frac {1}{q}}}dv$ similis priori in Theor. III, si hic $k+p-{\frac {1}{q}}$ fuerit integer affirmativus.

Theorema V. $\int x^{pq}dx:(e+fx^{q})^{n}$ pendet a Quadratura huius $\int$$dx:(e+fx^{q})$.

Demonstr. Hoc Theorema est casus specialis formulae $\int {\frac {rdx}{q}}$ (positis $r$ et $q$ rationalibus ex constantibus et $x$ utcunque compositis) quam idem, qui cetera paene omnia, Jo. Bernoullius summare docuit in Actis A. 1703, p. 26. Itaque ad imitationem illius artificii Bernoulliani,

I. Evehatur $(e+fx^{q})^{n}$ ad suam dignitatem, ut fiat $f^{n}x^{qn}+nf^{n-1}x^{q(n-1)}e+{\frac {n.n-1}{1.2}}f^{n-2}x^{q(n-2)}e^{2}{\text{ etc. etc.}}$

II. Si $p>n$ dividatur Numerator per Denominatorem, donec index dignitatis $x$ in Numeratore sit minor maxima dignitate $x$ in Denominatore.

III. Integratis absolute quotis, residuum assumatur pro fractione resolvenda: et

IV. Resolvatur in tot factores, quot index dignitatis $n$ continet unitates, sintque illi factores similes his ${\frac {adx}{x^{q}+h}}+{\frac {bdx}{x^{q}+i}}{\text{ etc.}}$ ubi assumtitiae $a$, $b$, $h$, $i$ etc. sunt indeterminatae. Fractiones autem has vocabimus assumtas.

V. Fractiones hae assumtae reducantur ad communem denominatorem, et collatis, more Cartesiano, terminis huius fractionis (quam reductam appellabimus) cum terminis fractionis resolvendae, numero tertio inventae, determinentur coefficientes tam Numeratorum, quam Denominatorum. Dico, id fieri posse, eodemque facto praestitum esse, quod petebatur. Idemque sic demonstro.

Ad determinationem assumtitiarum $a$, $b$, $h$, $i$ etc. hoc requiritur, ut nullus sit in fractione resolvenda terminus, qui non habeat sui similem in reducta. Deinde, ut tot haberi per comparationem aequationes possint, quot assumtitiae fuerunt. Utrumque non difficulter sic intelligas: Exponentes Numeratoris in fractione resolvenda sunt multipli ipsius $q$, eorumque maximus est necessario minor, quam $nq$ per Num. 3. Exponentes autem Numeratoris in fractione reducta sunt iidem multipli ipsius $q$, ab $0$ usque ad $q(n-1)$ per Num. 5. In exponentibus Denominatorum res patet ex generatione potestatis $(e+fx^{q})^{n}$ et ex multiplicatione totidem binomiorum $x^{q}+h$ et $x^{q}+i$ etc. hic enim solae constantes differunt. Conf. Num. 4.

Esse autem tot aequationes post comparationem, quot assumtitias, facile patet. Per Num. 4 indeterminatae Numeratorum sunt $=n$. Totidemque sunt in Denominatoribus. Atqui in Numeratoribus fractionis resolvendae et reductae sunt termini homogenei $=n$ totidemque in Denominatoribus, per operationem Num. 5.

Itaque $\int x^{pq}dx:(e+fx^{q})^{n}$ reducitur ad has seqq. ${\frac {adx}{x^{q}+h}}+{\frac {bdx}{x^{q}+i}}+{\frac {cdx}{x^{q}+k}}{\text{ etc.}}$ sed posito $h=g:a$ erit $\int {\frac {adx}{x^{q}+h}}=a^{2}\int {\frac {dx}{g+ax^{q}}}$, quae respondet huic $m\int {\frac {dx}{e+fx^{q}}}$. Adeoque tandem consequitur, $\int x^{pq}dx:(e+fx^{q})^{n}$ dependere a Quadratura huius $\int {\frac {dx}{e+fx^{q}}}$. Q. E. D.

Scholium. Si $p+{\frac {1}{q}}=1$ et $n=2$ erit $\int x^{pq}dx:(e+fx^{q})^{2}=\int x^{pq}dx:(e^{2}+2efx^{q}+f^{2}x^{2q})=\int x^{q-1}dx:(e^{2}+2efx^{q}+f^{2}x^{2q})$ absolute integrabilis. Facto enim $x^{q}=y$ erit illa formula $=\int {\frac {1}{q}}dy:(e+fy)^{2}=-{\frac {1}{qf(e+fy)}}$. Eademque ratione, si $p+{\frac {1}{q}}=1$ et $n=3$ erit $\int x^{q-1}dx:(e+fx^{q})^{3}=({\text{facto }}x^{q}=y)\int {\frac {1}{q}}dy:(e+fy)^{3}=-{\frac {1}{qf(e+fy)^{2}}}$. Ex quo intelligitur, verissime a Doctiss. Bernoullio in Actis Anni superioris, p. 268 dictum esse: formulam Taylorianam $\int z^{{\frac {\delta }{\lambda }}q-1}dz:(e+fz^{q}+gz^{2q})$ fore absolute quadrabilem, si $\delta =\lambda$ et $e+fz^{q}+gz^{2q}$ fuerit quadratum vel multiplum Quadrati. Itemque alteram formulam $\int z^{{\frac {\delta }{\lambda }}q-1}dz:(e+fz^{q}+$$gz^{2q}+hz^{3q})$ fore absolute integrabilem, si divisor fuerit cubus sive multiplum cubi, et $\delta =\lambda$ vel $2\lambda$. Quodsi autem ulterius progrediaris, et $\delta$ facias $=k\lambda$, habebis Logarithmos, tum demum evitabiles, ubi primum Theorema absolute quadraveris eo casu, quo $q$ est fractio negativa, et $k>-{\frac {1}{q}}$.

Theorema VI. $\int x^{-pq}dx:(e+fx^{q})^{n}$ pendet ab eadem $\int dx:(e+fx^{q})$.

Demonstr. Dividatur fractionis Numerator et denominator per $x^{qn}$, erit $x^{-pq}dx:(e+fx^{q})^{n}=x^{-pq-qn}dx:(f+ex^{-q})^{n}=$ (posito $p+n=r$ et $-q=s$) $x^{rs}dx:(f+ex^{s})^{n}$ quod manifesto pertinet ad Theor. V. Iisdem itaque modis et haec formula reducitur ad priorem $\int dx:(e+fx^{q})$. Q. E. D.

Theorema VII. Generalius $\int x^{pq+l}dx:(e+fx^{q})^{n}$ pendet a Quadratura huius $\int x^{l}dx:(e+fx^{q})$.

Demonstr. $x^{pq+l}dx:(e+fx^{q})^{n}=x^{pq}x^{l}dx:(e+fx^{q})^{n}$. Factis igitur omnibus, ut in Theor. V nisi quod fractiones assumtae nunc esse debeant, ${\frac {ax^{l}dx}{x^{q}+h}}+{\frac {bx^{l}dx}{x^{q}+i}}{\text{ etc.}}$ apparet, iisdem modis, quibus $x^{pq}dx:(e+fx^{q})^{n}$ reductum est ad $dx:(e+fx^{q})$ etiam $x^{pq}x^{l}dx:(e+fx^{q})^{n}$ reduci ad hanc $x^{l}dx:(e+fx^{q})$. Q. E. D.

Theorema VIII. $\int z^{{\frac {\delta }{\lambda }}q-1}dz:(e+fz^{q})^{n}$ Quadrabilis est per Circulum vel Hyperbolam.

Demonstr. Fiat $z^{q}=y^{\lambda }$, erit nova formula $=$$\int {\frac {\lambda }{q}}y^{\delta -1}dy:(e+fy^{\lambda })^{n}$. Ponatur in Theor. VII $\delta -1=l$ et $p=0$. Erit ${\int x}^{pq+l}dx:(e+fx^{q})^{n}=\int x^{l}dx:(e+fx^{q})^{n}$ aequipollens huic $\int y^{\delta -1}dy:(e+fy^{\lambda })^{n}$ adeoque per Theor. VII reducitur ad hanc formam $\int y^{\delta -1}dy:(e+fy^{\lambda })$. Hancce vero formulam dari posse per Quadraturam Circuli vel Hyperbolae idem ipse Bernoullius docuit m. Jun. Anni superioris p. 264.. Ibi enim in formula $\int x^{r}dx:(e+fx^{p}+gx^{2p})$ est $r=\delta -1$, $p=\lambda$ et $g=0$ ut fiat formula $\int x^{\delta -1}dx:(e+fx^{\lambda })$ nostrae similis. Itaque modis quos diximus, etiam prima formula $\int z^{{\frac {\delta }{\lambda }}q-1}dz:(e+fz^{q})^{n}$ reducitur ad Quadraturam Circuli vel Hyperbolae. Q. E. D.

---

Fussnoten

Zurück zur gesamten Korrespondenz