Bernoulli, Johann I an Montmort, Pierre Rémond de (1719.07.13)

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Montmort, Pierre Rémond de, 1678-1719
Ort	Basel
Datum	1719.07.13
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 665, Nr.15
Fussnote	Datum am Briefkopf eigenhändig. Ebenso Nota im P.S. Randstriche und Unterstreichungen

Bale ce 13. Juillet 1719.

Monsieur

Ma derniere etoit du 15 juin, 3 ou 4 jours aprés son depart je reçûs une lettre de Vous sans lieu et sans date sine die et Consule: je Vous en avertis, afin que Vous soiés à l'avenir un peu plus exact à marquer le lieu et la date sur Vos lettres et à les cacheter, car je me souviens d'en avoir reçû qui etoit ouverte et sans cachet. Vous avés donc emploié une matinée entiere à lire mes solutions, particulierement celle du probleme de Mr. Taylor, et à en faire les calculs necessaires, j'admire Votre patience; si la longueur de cette piece Vous a couté un peu plus de tems à la lire, la clarté et l'ordre naturel, que Vous dites y avoir observé, Vous auront diminué la peine de gener Votre attention, ce qui est une grande consolation pour ceux qui n'aiment pas à se fatiguer ni à se donner la torture pour deviner les obscurités d'autrui. D'où vient Monsieur que Vous ne me dites rien sur la gageure, que je Vous avois prié d'offrir de ma part à Mr. Taylor: je me flatte au moins, que Vous Vous serés acquitté de cette commission comme de raison; Vous avés bien voulu Vous charger de la part de Mr. Taylor de me faire la proposition de son probleme, qu'y a-t-il donc de plus juste que de Vous charger reciproquement de lui notifier ma reponse? Il est vrai, que les efforts de ceux qui me portent envie ont eté jusques ici inutils, mais je suis toujours fermement resolû de ne leur plus repondre dans la suite aprés ce que je viens de faire par rapport à Msrs. Taylor et Keil; de quelques moiens qu'ils se servent pour me noircir et pour me rendre odieux au public, je me priserai constamment toutes leurs tentatives, me fiant uniquement à ma bonne cause, qui ne manquera pas de me conserver l'estime des gens raisonnables: J'ai taché jusqu'à present comme Vous sçavés de menager Mr. Taylor autant qu'il etoit possible, Vous sçavés qu'en parlant de lui, je lui ai toujours donné des titres d'honneur, Vous sçavés aussi que je Vous ai prié de lui offrir mon amitié, quoique je n'aie jamais appris qu'il ait daigné l'accepter; si aprés toutes ces avances il ne veut pas se conformer à mon honneteté, il fera comme bon lui semblera; Vous apprehendés, dites Vous, que je n'aie bientot en lui un second adversaire plus considerable que le premier, à la bonne heure je me resigne à la volonté du Ciel: si mon ingratam aeque ac molestam Taylori obscuritatem et le profundiora nostra l'ont piqué, c'est une marque qu'il se sent attaqué par son foible; je Vous demande Monsieur si je lui ai dit autre chose que la pure verité, mais toutes verités selon Vous ne sont pas bonnes à dire surtout en public; cela est bien dit, quelle punition ai je donc meritée? sans doute celle d'attendre qu'on me dise aussi la verité, hé bien je le veux, je consens meme qu'on me la dise tout nettement, mais rien que la verité, car si Mr. Taylor trouve bon de m'accabler d'injures à la maniere de Keil, il se trouvera seul sur la scene et je n'y comparoitrai pas comme je l'ai deja dit, il n'aura pas meme le plaisir de voir que je m'en fache, car je regarderai tout cela d'un oeuil indifferent et je n'en serai pas plus touché que de l'aboyement d'un dogue d'Angleterre qui n'est pas à portée de me mordre. J'aurois profité de Votre avis d'effacer dans mon dernier memoire ces mots qui ut apud suos impuris inclaruit moribus, si la chose avoit eté possible, mais je comte que ce memoire a eté imprimé avant que de recevoir Votre lettre, cependant je ne vois pas quel grand mal il y a à cela, puisque je ne nomme pas mon adversaire par son nom; aussi l'impureté des moeurs que je lui reproche, peut signifier egalement les manieres rustique[s] dont il traite les honnetes gens et le dereglement de sa conduite, c'est au lecteur de le prendre au sens qu'il voudra, je ne m'en mets pas en peine; les mauvais traitemens que mon Adversaire m'a fait et qu'il continue de me faire me justifient assés, sans crainte d'encourir le crime de medisance; rien n'est plus permis ni mieux etabli par l'usage que de donner une idée juste et nette de son Antagoniste pour avertir les lecteurs d'etre sur leur garde quand ils le verront parler avec tant de hauteur et tant de fierté comme s'il avoit la meilleure cause du monde: Vous convenés que l'injustice qu'on me fait, la prevention prodigieuse des Anglois pour leur Nation et l'habitude qu'ils ont prise de s'attribuer tout et de piller sans mesure les autres Nations me donne quelque droit de me defendre avec vivacité; Vous me donnés des eloges que je ne pretens pas meriter, Vous me traités de grand inventeur et de grand promoteur des nouveaux calculs, voilà de beaux titres, mais je passe cela, pour m'arreter un peu à ce que Vous ajoutés; Vous assurés qu'il est constant, qu'on m'a souvent volé, pillé avec artifice et ingratitude, et qu'on ne peut m'accuser de m'etre jamais servi du bien d'autrui sans lui en faire honneur: ce sont là des temoignages au dessus de toute exception, puis qu'ils partent de Vous, qui etes sans contredit le juge le plus competent parceque Vous etes neutre, impartial, intelligent connoisseur de cause et que Vous avés toutes les autres qualités dues d'un bon juge. Tout cela va bien, mais une chose y manque, pardon que je le dise, c'est qu'il faudroit donner ce jugement devant le public, pour le mettre au fait et en etat de juger aussi par lui meme de toutes les faussetés que ces crieurs Anglois avancent avec une confiance si affectée: Vous le ferés peutetre tout au long dans Votre Histoire, mais en attendant qu'elle paroisse Vous ne feriés pas mal d'instruire le public de Vos sentimens sur ces affaires, la verité Vous auroit de l'obligation; ou bien si Vous avés quelques raisons particulieres pour ne le pas encore faire, permettés moi au moins que je fasse usage de Vos lettres où j'en aurai besoin, sur tout de celle que Vous avés ecrit à Mr. Taylor et dont Vous m'avés communiqué copie. Je n'ai pas encore vu le dernier livre de Mr. de Moivre De mensura sortis pour sçavoir jusqu'où il Vous a pillé, Vous dites qu'il a mis tout Votre livre dans le sien sans Vous citer; je veux le croire puisque Vous l'assurés, mais est il possible qu'on vole des livres entiers sans faire semblant de rien? Votre livre etant si grand, de quelle grandeur est donc celui de Mr. de Moivre qui a devoré le Votre? il faut qu'il soit furieusement anglisé, puisqu'il a pu se resoudre à commettre un larcin si eclatant dont on s'apercevra si aisement. Si Vous voulés me reprocher mes defauts Vous en trouverés assés car je ne serois pas homme si j'en etois exemt: mais ne me faites Vous pas tort de dire qu'on peut me reprocher avec quelque sorte de leger fondament un peu d'attention à conserver mon droit et aussi un peu trop de vivacité à le soutenir? Comme je hais extremement tous ceux qui volent et qui pillent, on ne devroit pas s'etonner de me voir attentif à conserver mon droit et à le soutenir avec un peu de vivacité; il n'y a là point de crime, c'est une chose permise Jure naturae et gentium de conserver le sien et de le revendiquer en quelqu'endroit qu'on le trouve; c'est ce que Vous dites Vous meme dans l'avertissement de Vôtre Livre p. XXVII et que Vous le pratiqué contre Mr. Moivre parcequ'il est permis, ce sont Vos paroles, de se defendre, et de conserver son bien. Cependant je ne sçai si on ne pouroit pas me reprocher plutot le trop peu que le trop d'attention, vû la facilité avec la quelle j'ai laissé passer les plus insignes voleries commises contre moi sans que je m'en fusse plaint, si Vous en souhaitiés des exemples je pourois Vous en donner bon nombre. C'est un devoir de justice que Vous m'avés rendu en me citant à Mr. Taylor comme un modele de l'exactitude qu'un honnete homme doit avoir à rendre fidelement à chacun ce qui lui appartient, j'ai toujours eté fort scrupuleux sur ce point; Mais Vous avés mal fait, pour detourner Mr. Taylor de son dessein d'ecrire contre moi, de me donner (sans doute par raillerie) le 1.^er rang sur tous les Geometres de ce siecle et le 2.^e à mon Neveu, car bien loin que cette saillie aura appaisé Mr. Taylor il en aura eté irrité à tel point, que j'aurai à essuyer deux fois autant de coups qu'il ne m'auroit destiné sans cela; je trouve qu'il a grande raison de Vous reprocher la hardiesse que Vous avés eue de nous donner (quoique en riant) la preference par dessus tous les Geometres de ce Siecle, quelle audace! ne pensés Vous pas à Mr. Newton? que dira toute la nation Angloise? il n'y a pas moien de redresser Votre faute, qu'en leur avouant que Vous n'avés parlé à Mr. Taylor de la sorte que pour l'aigrir davantage et pour voir s'il n'en souffriroit pas des convulsions, car assurement un tel langage seroit capable de lui en donner.

Je passe presentement à Votre derniere lettre du 28. Juin que j'ai reçûe depuis peu de jours: Vous dites d'abord que Vous etes un peu incommodé; j'espere que cette petite incommodité n'aura pas eu de mauvaises suites. La solution et l'analyse du probleme des isoperimetres que Mr. Herman Vous a envoié et dont Vous dites etre plus content que de celle que Vous avés vu de lui dans les Journeaux, n'est donc pas la meme que celle ci: je voudrois bien sçavoir quand il Vous l'a communiqué, il y a apparence qu'il l'a reformé aprés avoir vu la mienne puisque le principe de l'uniformité y est emploié comme Vous marqués qui ne l'est pas formellement dans celle qu'il a publié dans les Actes. Le plus grand merite que puisse avoir pour tous ceux qui aiment la clarté un morceau de Geometrie c'est sans doute d'etre intelligible. Si mes ecrits sont plus estimables par cet endroit que ceux de Mr. Taylor, c'est que je prends plus de peine à me bien expliquer et je fai moins le mysterieux que Mr. Taylor, qui selon sa maniere d'ecrire ne se met pas en peine d'etre entendu, peutetre parcequ'il croit que c'est là le moien de se faire admirer.

On devroit bien avoir conservé les papiers de feu Mr. le M. de l'Hopital, puisqu'on a eu soin de faire imprimer l'ouvrage postume des Sections Coniques: Vous feriés bien Monsieur de solliciter son fils, qui est sans doute possesseur de touts ces papiers, pour qu'il Vous les confie à en faire un bon extrait pour le bien public. Je suis surpris de ce que Vous me dites de Mdme sa Veuve, que je croiois remariée depuis environ deux ans, mais il faut qu'elle ne le soit pas, puisque Vous la traités de veuve; on m'a ecrit ce que Vous confirmés qu'elle a entierement negligé les amis de son Mari, je l'ai meme eprouvé par ma propre experience, en ce que mon fils pendant son sejour à Paris n'a jamais pû obtenir la grace de la voir quoique plusieurs fois il lui fit signifier son nom par des billets qu'il laissa à son Suisse; mais je tombe des nues quand Vous me dites que cette Dame qui a tant d'esprit et de sagesse a tres mal elevé son Fils et qu'elle a tenu une conduite qui ne lui a pas fait honneur: Je Vous prie Monsieur de m'en dire quelques particularités, car comme j'ai eu l'honneur de connoitre assés specialement le naturel et le genie tant de M.^me que de Mr. de l'Hop. je m'interesse à ce qu[i] arrive à l'une aprés la mort de l'autre. Vous parlés de Votre Histoire comme d'une chose que Vous n'avés pas abandonnée; j'en suis bien aise, mais où en etes Vous? sera-t-elle bientot achevée? il semble que Vous n'y travaillés que rarement et par de longs intervalles; j'ai peur que cette lenteur ne Vous fasse perdre à la fin l'envie de continuer cet ouvrage, tout comme il Vous est arrivé avec la 2.^e partie de vos suites, à la quelle Vous avoués que Vous n'avés plus d'attraits à penser, et que la peine qu'il faut prendre pour y donner la forme Vous rebute entierement parce qu'il y a plus de 3 ou 4 ans qu'elle est faite: Vous voiés par là que quand on veut achever un ouvrage, il ne faut pas laisser refroidir l'ardeur en n'y travaillant que par reprise, mais il faut se prevaloir de la bonne disposition où l'on se trouve et continuer tout d'un trait sans relache jusqu'à ce que l'ouvrage soit fini, il faut battre le fer pendant qu'il est chaud.

Il est vrai que je n'aurois pas entendu la lettre Angloise de Mr. Taylor, quand Vous m'en auriés envoié une simple copie, mais je souhaitois que Vous m'en eussiés fait un extrait en françois, cependant Vous avés bien fait de ne m'en rien communiquer si Vous croiés que la lecture de cette lettre me causeroit infailliblement du degout: J'entrevoi que Mr. Taylor deviendra aussi violent adversaire que Keil, avec cette difference que le premier est plus habile Geometre et l'autre plus ignorant. Cependant ce qui me console c'est cette amitié que Vous me jurés aussi sincere et aussi vive que celle dont Vous honorés Mr. Taylor, à cause de son commerce que Vous nommés trés doux et trés aimable; à Dieu ne plaise que j'excite une mefiance entre Vous deux, mais prenés garde que ce ne soit une douceur apparente sous la quelle il y a souvent du venin caché, qui ne se fait sentir que lorsqu'en goute trop de cette douceur; je n'ai jamais oui dire que la nation Angloise soit fort recommandable par sa fidelité et integrité, mais bien qu'elle est mysanthrope, hautaine, fiere, ambitieuse, et surtout envieuse envers les Etrangers, au lieu que les Suisses ont toujours eu la reputation d'etre fideles, francs et sinceres, sans façon et sans fraude, officieux et bienfaisans à tout le monde: aussi la louange que le bon Pere Reynau a eu la bonté de me donner peut fort bien etre generalement attribuée à toute la nation Suisse. Vous reconnoissés Vous meme que la jalousie est une maladie de Nation incurable chez les Anglois, qu'elle leur fait faire toutes les injustices imaginables, que Mr. Taylor en est infecté autant que personne autre, que son memoire sur les centres d'oscillation est absolument le meme que le mien qui a paru le premier, qu'il n'y a de difference que dans l'expression claire chez moi, obscure chez Lui, ce qui fait que son larcin ne paroit pas à moins qu'on ne soit clairvoiant comme Vous: n'ai-je donc pas raison de m'etonner que Vous puissiés Vous fier à des gens de cette nature, et meme nouer avec eux une liaison si etroite[?] Je n'ai pas connu Mr. Carré, il se peut que je l'aie vû chez le P. Malebranche, je ne m'en souviens pourtant pas.

Je doute que Mr. Herman ait resolû son second probleme dans le sens que Vous me l'avés proposé, car je Vous ai deja dit dans ma derniere que la premiere partie de ce probleme, qui consiste à reduire les quadratures à des rectifications des courbes algebriques me paroit insoluble. Il est vrai que j'ai communiqué à Mr. Herman une maniere fort facile de trouver sans calcul tant de courbes algebriques qu'on voudra dont la quadrature indefinie depend de celle d'une telle figure non-quarrable qu'on voudra, qui auront pourtant toutes tant de segmens absolument quarrables qu'on voudra: en sorte que ma maniere de resoudre ce probleme n'est pas une simple solution, mais elle contient une infinité de solutions. Quant au premier probleme de Mr. Herman par le quel on demande la courbe à la quelle convient cette equation $\int ydx=axy+bx^{c}y^{e}$: Vous sçavés que je Vous ai dit dans ma precedente que Mr. Herman se trompe quand il croit que la courbe cherchée est algebrique pourvû que $c$ et $e$ soient des exposants rationels, puisque si le coefficient $a$ n'est pas aussi rationel, la courbe ne sera pas algebrique; nous avions vû cela desque nous trouvames la methode de resoudre ce probleme, mais depuis ma derniere lettre aiant poussé la solution jusqu'à l'equation entre $x$ et $y$, nous avons trouvé encore d'autres conditions qui sont necessaires pour que la courbe soit algebrique, de sorte que l'assertion de Mr. Herman est bien eloignée d'une verité complete, car voici les cas où la courbe devient transcendente outre les deux de Mr. Herman, 1.^o si $a$ est un nombre irrationel; 2.^o Si $c=a=1$; 3.^o Si $e=1$, et $a=0$; 4.^o Si $e=c$; Si $a={\frac {e-1}{e-c}}$; Dans tous ces cas l'equation de la courbe s'exprime par logarithmes ou devient exponentielle, mais hors de ces cas elle est algebrique, la voici en general comme moi et mon fils l'avons trouvé $x^{\frac {\beta }{e-1}}y^{\frac {\beta +1}{c-1}}\times {\overline {{\overline {bc-be}}x^{c-1}y^{e-1}+ac-ae+e-1}}^{\alpha }=f;$ dans laquelle $f$ est une quantité arbitraire constante, $\beta ={\frac {ae-a-e+1}{-ae+ac+e-1}}$, et $\alpha ={\frac {ec-c-\beta c+\beta e}{{\overline {c-e}}\cdot {\overline {e-1}}\cdot {\overline {c-1}}}}$. Vous pouvés confronter cette solution avec celle que mon Neveu Vous a envoiée: je voudrois sçavoir s'il a aussi remarqué les cas où la courbe devient transcendente.

La difficulté de ce probleme n'est pas si grande qu'elle merite de me feliciter de ce que mon fils l'a resolu, car on le resoudra sans etre grand Geometre; mais la sentence que Vous lui dictés est bien dure d'exceller ou de ne pas se meler de Geometrie, je me contente qu'il soit parvenu à une mediocrité passable; à Vous entendre augurer il n'a que peu de pas à faire pour se rendre digne du nom qu'il porte et pour surpasser meme le peu de renommée auquel je l'ai porté, Dieu le veuille. Je m'etois bien douté que dans le petit traité que Vous m'avés envoié sur Vos suites, le style aussy bien que le latin est de Mr. Taylor, car en effet l'obscurité Taylorienne y regne presque partout, ce que je n'osois Vous dire je le dis maintenant sans façon, parceque Vous avoués que Vous ne l'entendés pas trop Vous meme. Je suis sur que si Mr. Taylor en eut laissé la forme que Vous lui aviés donnée il auroit eté intelligible pour le moindre Geometre, mais Mr. Taylor aime l'obscurité comme les chauvesouris.

La veille du jour que je reçûs Votre lettre j'en expediai une à Mr. Varignon avec une incluse pour Mr. Newton, ensorte que Votre avertissement sur la maniere d'ecrire à ce dernier est arrivé ici d'un jour trop tard: je ne laisse pas de Vous en etre bien obligé. Je pourai si Vous le desirés Vous envoier copie de ma lettre à Mr. Newton. Aiant fort bien prevû ce dont Vous avés eu la bonté de m'avertir, sçavoir qu'on gardera en Angleterre ma lettre et qu'on en fera soigneusement l'anatomie, je l'ai tourné d'une maniere que Mssrs. les Anglois n'en tireront pas grand avantage: car quoique j'ai rempli ma lettre d'expressions respectueuses en temoignant à Mr. Newton une profonde veneration et toute l'estime deüe à son grand merite, j'ai eu avec cela le courage de lui remontrer le tort que lui font ses flatteurs idolatres et leur faux culte qui comme Vous dites fort bien l'a gaté; je lui ai dit autres choses dont ces gens-là n'auront garde d'etre glorieux sans pourtant que Mr. Newton s'en puisse plaindre, aiant partout observé le respect dû à sa personne. Je sçai bien qu'il ne me fera point de reponse mais n'importe, j'ai crû necessaire de m'acquiter de mon devoir pour oter à mes ennemis tout pretexte de me blamer. Du reste je suis porté à croire avec Vous et je m'en suis bien aperçû que Mr. Newton est le mobile de tout ce qu'on fait pour lui, qu'il ne meprise nullement la gloire, et qu'il a toute la vivacité d'un homme ambitieux etc.

Mr. Varignon me doit bien tot envoier les Memoires de l'Academie, Vous pourés s'il Vous plait Lui faire tenir pour y joindre les deux exemplaires du traité de Mr. Craig que Vous avés reçû pour mon neveu et pour moi, comme aussi Votre dissertation sur Vos principes physiques etc. Mon fils Vous baise les mains. Je suis Monsieur Votre etc. J. Bernoulli

P. S. Voici Monsieur mon analyse que Vous m'avés demandée pour la solution du probleme de Mr. Keil pris dans un sens general: Vous aurés la bonté de la communiquer aussi à Mr. Varignon qui la souhaite. Vous verrés que toute cette analyse n'est qu'une chaine d'egalités deduite de la formule generale pour la determination des resistances, que j'ai données dans les Journaux de Leipsic de 1713, p. 118, 119.

Probl. Invenire et construere curvam, quam corpus uniformiter grave et cujus directio gravitatis sit ad horizontem perpendicularis describit in medio uniformiter denso: supposita resistentia in quacunque multiplicata ratione velocitatis, cujus exponens sit $2n$.

Vid. Fig. III, Tab. I, Act. Lips. 1713.

Solutio. Sit $LC$ curva quaesita, vertex $L$, abscissa $LR=x$, applicata $RC=y$, arcus $LC=r$, resistentia in puncto $C=R=$ (per hyp. et quia velocitas in $C$ est in subduplicata ratione coradii $CG$, ut demonstravi p. 117, §37) $CG^{n}$, gravitas $G$ quae uniformis est ponatur $=c^{n}$: Formula resistentiae quae habetur p. 118 et 119, $R={\frac {G\times {\overline {2Cb-dCG}}}{\mp 2Cc}}$, mutatur ob medii densitatem uniformem in hanc $CG^{n}={\frac {c^{n}\times {\overline {2Cb-dCG}}}{\mp 2Cc}}$, adeoque $\mp 2Cc={\frac {c^{n}\times {\overline {2Cb-dCG}}}{CG^{n}}}=$ (ob $dCG=Fg-Cb$, ac proin $Cb=Fg-dCG$) ${\frac {c^{n}\times {\overline {2FG-3dCG}}}{CG^{n}}}={\frac {c^{n}}{CG^{n-1}}}\times {\overline {{\frac {2FG}{CG}}-{\frac {3dCG}{CG}}}}=$(ob $Fg.CG::Oo.CO$) ${\frac {c^{n}}{CG^{n-1}}}\times {\overline {{\frac {2Oo}{CO}}-{\frac {3dCG}{CG}}}}=$ (quia $Oo$ est differentiale ipsius $CO$) ${\frac {c^{n}}{CG^{n-1}}}\times {\overline {{\frac {2dCO}{CO}}-{\frac {3dCG}{CG}}}}=$ (quia differentiale quantitatis divisum per eandem dat differentiale logarithmi ejusdem quantitatis) ${\frac {c^{n}}{CG^{n-1}}}\times {\overline {2d\ell CO-3d\ell CG}}=$ (quia per naturam logarithmorum $\ell CO-\ell CG=\ell {\frac {CO}{CG}}$) ${\frac {c^{n}}{CG^{n-1}}}\times {\overline {2d\ell {\frac {CO}{CG}}-d\ell CG}}=$ (quia $CO.CG::Cc.bc$) ${\frac {c^{n}}{CG^{n-1}}}\times {\overline {2d\ell {\frac {Cc}{bc}}-d\ell CG}}=$ (substitutis pro $Cc$, $bc$, $CG$, supponendo $dy$ constantem, ipsorum valoribus) ${\frac {c^{n}}{CG^{n-1}}}\times {\overline {2d\ell {\frac {dr}{dy}}-d\ell {\frac {dr^{2}}{ddx}}}}={\frac {c^{n}ddx^{n-1}}{dr^{2n-2}}}\times {\overline {2d\ell {\frac {dr}{dy}}-d\ell {\frac {dr^{2}}{ddx}}}}=$ (quia $\ell {\frac {dr}{dy}}=\ell dr-\ell dy$) ${\frac {c^{n}ddx^{n-1}}{dr^{2n-2}}}\times {\overline {2d\ell dr-2d\ell dy-2d\ell dr+d\ell ddx}}=$ (ob $dy$ constans adeoque $d\ell dy=0$) ${\frac {c^{n}ddx^{n-1}}{dr^{2n-2}}}\times d\ell ddx=$ (per nat. different. logarith.) ${\frac {c^{n}ddx^{n-1}}{dr^{2n-2}}}\times {\frac {d^{3}x}{ddx}}={\frac {c^{n}ddx^{n-2}}{dr^{2n-2}}}\times d^{3}x$; aequando itaque primum cum ultimo habebimus $\mp 2Cc$ hoc est $\mp 2dr={\frac {c^{n}ddx^{n-2}}{dr^{2n-2}}}\times d^{3}x$, vel (multiplicando utrumque per $dr^{2n-2}ddx$) $\mp 2dr^{2n-1}ddx=c^{n}ddx^{n-1}d^{3}x$; sit nunc $dx={\frac {zdy}{a}}$, proinde $dr={\frac {dy{\sqrt {aa+zz}}}{a}}$, quibus in priori aequationis membro surrogatis oritur $\mp {\frac {2dy^{2n}}{a^{2n}}}\times {\overline {aa+zz}}^{\frac {2n-1}{2}}\times dz=c^{n}ddx^{n-1}d^{3}x$; integretur jam aequatio ponendo $\int {\overline {aa+zz}}^{\frac {2n-1}{2}}\times dz=Z$ et habebitur ob $dy$ constans $\mp {\frac {2dy^{2n}}{a^{2n}}}\times Z={\frac {1}{n}}c^{n}ddx^{n}=$ (substituto valore ${\frac {dzdy}{a}}$ pro $ddx$) ${\frac {1}{n}}c^{n}\times {\frac {dz^{n}dy^{n}}{a^{n}}}$, diviso per ${\frac {dy^{n}}{na^{n}}}$ erit $\mp {\frac {2ndy^{n}}{a^{n}}}\times Z=c^{n}dz^{n}$; extracta radice exponentis $n$, provenit ${\frac {dy}{a}}\times \mp {\overline {2nZ}}^{\frac {1}{n}}=cdz$, unde $dy={\frac {acdz}{{\mp {\overline {2nZ}}}^{\frac {1}{n}}}}=acdz\times \mp {\overline {2nZ}}^{-{\frac {1}{n}}}$, atque integrando emergit $y=ac\int dz\times \mp {\overline {2nZ}}^{-{\frac {1}{n}}}$. Et quia $dx={\frac {zdy}{a}}=czdz\times \mp {\overline {2nZ}}^{-{\frac {1}{n}}}$ , erit $x=c\int zdz\times \mp {\overline {2nZ}}^{-{\frac {1}{n}}}$. Datis ergo $y$ et $x$ per $z$, dantur coordinatae curvae quaesitae: ipsa proin curva construi potest. Q. E. F.

Nota. Dividantur valores coordinatarum $y$ et $x$ per communem constantem $c\times {\overline {\mp 2n}}^{-{\frac {1}{n}}}$, et prodibunt coordinatae simplicius expressae curvae eandem cum optata naturam habentis; nimirum $y=a\int dz\times Z^{-{\frac {1}{n}}}$, et $x=\int zdz\times Z^{-{\frac {1}{n}}}$.

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Fussnoten

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