Bernoulli, Johann I an Crousaz, Jean Pierre de (1716.08.07)

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Crousaz, Jean Pierre de, 1663-1750
Ort	Basel
Datum	1716.08.07
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 656, Nr.4
Fussnote	Am Briefkopf eigenhändig "à Mr. de Crouzas [sic!]"

Monsieur

La charge de Recteur de nôtre université qui me fut conferée dans le temps que Mr. Tacheron m'avoit delivré l'honneur de Vôtre derniere, me donne trop d'occupations pour vaquer aussi souvent que je le souhaiterois aux meditations de Mathematiques: c'est là la raison, qui m'a empesché de Vous repondre plustôt: car je m'etois proposé de Vous communiquer quand je serois de loisir, puisque Vous le souhaités quelques remarques sur ce que Vous dites de la Musique dans Vôtre excellent Traité du beau; Les voici. Page 246 Vous dites que, quand deux cordes sont de meme matiere et de meme longueur, si les efforts qui les tendent sont egaux la grosse donnera des sons plus aigus, et Vous en attribuez la cause à ce que la grosse corde a plus de roideur que la menue; Vous supposez un fait qui n'est point verifié par l'experience, ainsi la cause que Vous en rendez, ne sçauroit etre bonne; il n'est pas difficile de faire voir le contraire par l'experience. Prenez deux cordes de boyaux de differente grosseur, attaschez chacune par un bout aux points fixes $A$ et $B$;[Figur folgt] faites ensuite passer les cordes par les poulies $F$ et $G$, egalement eloignées des points $A$ et $B$, pour les bander de forces egales moyennant les poids egaux $L$ et $M$, que Vous attacherés aux extremités des cordes: Ainsi Vous aurés deux cordes, qui sont dans le cas en question, car elles sont de meme longueur $AC$, $BD$, elles sont aussi également tendues par des poids egaux $L$ et $M$; Mais je dis que Vous eprouverez le contraire de ce que Vous avancez, car la plus grosse corde $AC$ donnera un son plus grave ou moins aigu que la moins grosse; En effet il est fort naturel que le son de la corde $AC$ soit plus grave que celui de la corde $BD$, ce qu'on pouroit predire avant l'experience; car la force du poids $L$ pour tendre la corde $AC$, trouvant plus de matiere à animer de ressort et une force egale du poids $M$, qui bande la corde $BD$ etant repandue sur moins de matiere, il faut que le ressort en devienne plus vif que celui de la corde $AC$ ce qui fait que les vi[br]ations de la corde $BD$ seront plus promtes ou plus frequentes que celles de $AC$, et que par consequent le son de $BD$ plus aigu ou moins grave que le son de $AC$. Voici encore une autre raison que le son que donne la grosse corde $AC$ sera plus grave que le son de la menue $BD$: soit le diametre de l'epaisseur de $AC$ par exemple double du diametre de $BD$, et partant la grosseur meme de $AC$ quadruple de celle de $BD$, il est visible que l'on peut considerer la corde $AC$ comme composée de 4 filamens dont chacun est d'une egale epaisseur avec la corde $BD$, en sorte que chacun de ces filamens soutient seulement la quatrieme partie du poids $L$; c'est donc comme si Vous aviez 4 differentes cordes et toutes egalement grosses à la corde $BD$, mais qui ne sont tendues que d'une force qui fait le quart de celle qui bande la corde $BD$; d'où il suit que chacune de ces 4 cordes qui sont en $AC$, c'est à dire que $AC$ elle meme fera ses vibrations deux fois moins frequentes que ne fait les siennes la corde $BD$; car on peut demontrer Geometriquement, que les cordes etant de meme longueur et de meme epaisseur mais chargées de differens poids, le nombre de leurs vibrations faites en meme temps sont en raison sousdoublée ou comme les racines des poids qui les tendent; ainsi dans cet exemple le nombre des vibrations de la corde $BD$ est au nombre des vibrations de la corde $AC$ ou de chaque filament comme est ${\sqrt {1}}$ à ${\sqrt {\frac {1}{4}}}$ ou comme 2 à 1: donc la corde $BD$ sonnera l'octave par dessus la corde $AC$: Ce n'est donc pas la rigidité des cordes dependante de leur structure, qui augmente le nombre de leurs vibrations, ce n'est que la force ou le poids, qui les bande, qui puisse leur donner le ressort propre à produire le son, qui sera plus ou moins aigu, selon que ce ressort est plus ou moins vif par plus ou moins de force du poids: desorte que si une corde etoit parfaitement flexible ou infiniment peu rigide, elle ne laisseroit pas de donner un son plus aigu qu'une autre corde d'egale longueur et d'egale epaisseur, mais qui seroit tendue par une force plus petite, je crois que le plus ou le moins de rigidité dans les cordes ne contribue rien à hausser ou à baisser les tons mais peutetre à les rendre plus ou moins clairs: car il semble que la roideur des cordes ne fait autre chose que d'empescher que les vibrations ne fassent de si longues excursions que celles des cordes qui sont plus souples ou plus flexiles tout le reste étant egal, sans que les vibrations soient pour cela plus frequentes, tout comme dans les oscillations le long d'une cycloide, lesquelles soit qu'elles parcourent de grands arcs ou de petits arcs, sont toutes d'une égale durée.

Ce que Vous rapportez pag. 255 touchant les verres dont vous dites que le son devient plus aigu à mesure qu'on y verse plus d'eau, est aussi manifestement contraire à l'expérience; il faut bien que Vous n'ayez pas fait l'experience avant que d'ecrire cela, car autrement Vous ne l'auriez pas écrit; je m'etonne que Vous ne Vous soyez pas bien informé de ce fait, qui est si facile à eprouver; c'est sans doute parceque vous etiez prevenu par un faux souvenir d'un ouïr dire ou d'une experience faite fort longtemps et dont il ne vous estoit resté qu'une fausse idée de l'issue. Je raisonnerois donc tout autrement que Vous, en disant que le son du Verre qui renferme de l'eau doit étre plus grave que celui du meme verre quand il est vuide, parceque l'eau étant unie avec le verre compose avec Lui une masse plus grosse que quand il est vuide, donc la force du ressort se repandant sur plus de matiere qui doit étre ebranlée, le ressort sera moins vif et par consequent les tremoussements seront moins rapides; on peut s'apercevoir de ce tremoussement communiqué à l'eau en frottant le bord du verre avec le bout du doigt que l'on aura mouillé, car il s'excite un son continuel pendant qu'on continue à faire le tour plusieurs fois en frottant, et durant ce son on observe l'eau enfermée sautiller et frissonner, marque evidente que l'eau participe ou absorbe une partie de la force du ressort, ou à parler plus proprement que l'eau aide à constituer une masse plus grande dont les parties qui doivent étre ebranlées toutes ensemble sont en plus grand nombre que celles du verre vuide et par consequent susceptibles de vibrations moins frequentes; il en est sans doute de la cloche dont Vous parlez pag. 254 comme du verre; Vôtre raison du contraire auroit lieu, si l'eau versée dans le verre demeuroit inebranlable et qu'elle rendit en meme temps inebranlable la partie du verre qu'elle occupe; car de cette maniere la force du ressort n'ayant qu'à animer le reste du verre produiroit des tremoussemens plus frequens et ainsi le son en deviendroit plus aigu.

Pardon, Monsieur, de la liberté avec la quelle je Vous ouvre mes pensées: je reviens à Vôtre lettre. Messrs. de Villars et Mr. Tacheron leur Gouverneur, sont fort assidus à mes leçons, ils en profitent ce me semble assez, et témoignent beaucoup de panchant pour les mathematiques, aussi ont-ils le talent excellent pour comprendre promtement ce que je leur montre, j'admire la vivacité de leur Esprit; j'ai commencé de traiter avec Eux les premiers Elements de Geometrie, car ils en avoient besoin; ils y font de bon progrés, j'ai lieu d'étre content de leur facilité en aprenant et de l'attention qu'ils me pretent quand je leur fai des demonstrations; je ne sçai si de leur coté ils sont aussi contens de moi; au moins je fai tout ce que je puis, pour leur donner contentement. De la maniere que Vous expliquez la raison pourquoi vous avez dit que la direction de l'aiguille aimantée vers le nord est un secours pour les latitudes; je pourrois dire par la meme raison qu'elle serviroit aussi pour les longitudes, car quand il ne s'agit que de juger par estimation, il sera aussi facile d'estimer combien on est avancé vers l'est ou vers l'ouëst, qu'il est facile d'estimer combien on est avancé vers le Nord ou vers le Sud: Vous deviez donc faire mention des longitudes aussi bien que des latitudes, puisque la direction de l'aiguille ne donne pas plus de secours pour les unes que pour les autres; effectivement les pilotes par le moyen des rumbes sçavent egalement prendre par estime les longitudes et les latitudes. Comme je ne reçois pas regulierement les Nouvelles de Mr. Bernard, je n'ai pas vû ce qu'il a critiqué de Vôtre Arithmetique; ayant examiné quelques demonstrations que Vous y donnez, je les ai trouvé bonnes, je juge que les autres le seront aussi; tout ce qu'il y a peutetre à redire, c'est que les jeunes commençants qui veulent apprendre l'arithmetique n'aiment pas à étre fatigués par de longues demonstrations, et que quand ils seront un peu avancés dans les mathematiques ils seront capables de se faire eux memes les demonstrations des regles d'arithmetique, qu'ils n'avoient apprises que par routine.

Vous avez raison, Monsieur, on a des formules pour les developpées exprimées par de seules differences premieres, j'en ai donnée dans les Actes de Leipsic de l'année 1701 p. 137, cependant il est vrai aussi que ces formules exprimées en differences premieres sont tirées des differences secondes et les supposent originellement.

Vous me deviez nommer l'endroit des Memoires de l'Academie où Mr. Guinée repond aux questions que Vous dites Lui avoir été proposées sur les plus grands et les moindres, pour pouvoir les lire et étre en etat d'en dire mon sentiment: Car pour dire la verité, je ne lis pas ces Memoires d'un bout à l'autre, y ayant beaucoup de choses qui ne me paroissent pas meriter mon attention. Quant au reste je me recommende à la continuation de Vos bonnes graces, et Vous prie d'etre assuré de celle de la haute estime que j'ai pour vous et pour vôtre merite: Je suis Monsieur Votre tres humble et tres obeissant serviteur J. Bernoulli

Bale ce 7. Aoust 1716.

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Fussnoten

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