Renau d'Eliçagaray, Bernard an Bernoulli, Johann I (1714.09.07)

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Autor	Renau d'Eliçagaray, Bernard, 1652-1719
Empfänger	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Ort	Paris
Datum	1714.09.07
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 666, Nr.4*
Fussnote

Monsieur

Comme ce que j'ay eu l'honneur de vous envoyer, en der lieu, n'est pas entierement exacte, en ce qui regarde l'angle obtus, ou l'angle aigu, lors que la perpendiculaire les coupe en deux parties inegale, je prens la liberté de vous envoyer la remarque cy jointe, où j'adjoute ce qui manque à ce petit escrit, pour le rendre complet, touchant l'equilibre des poids suspendus à des cordes qui passent dans des poulies, quoy qu'il n'y ait que le cas de l'angle droit qui regarde mon affaire et dont il soit question pour tout ce qui me regarde, sur quoy j'attendray Monsieur vostre sentiment qui sera tousjours pour moy d'un grand poids, et d'une grande consideration ne pouvant pas estre plus veritablement ni plus parfaitement que je suis Monsieur Vostre tres humble et tres obeissant Serviteur Renau.

à Paris le 7.^e Septembre 1714.

Remarques sur ce que j'ai desja eu l'honneur de vous envoyer.

Dans le cas, où l'angle $GBF$ est obtus, ou aigu, et que la perpendiculaire $BM$ coupe l'angle $GBF$ en deux parties inegales (comme dans cette troisieme figure)[Figur folgt] ou l'angle $GBM$ est plus grand que l'angle $FBM$, et par consequent, la perpendiculaire $KI$ plus grande que la perpendiculaire $LH$, il faut considerer, que quoy que le poids $BK$ en $N$ soit en equilibre avec le poids $BI$ en $B$. Et le poids $BL$ en $O$, en equilibre avec le poids $BH$ en $B$, en telle sorte, qu'il est impossible, que les deux poids $BI$ et $BH$ en $B$ puissent descendre, en faisant monter les deux poids en $N$ et en $O$, ni que les deux poids en $N$ et en $O$ puissent descendre, en faisant monter les deux poids en $B$ par les raisons que l'on a dites. Il faut encore considerer dis-je, que le poids $BK$ en $N$, agissant sur le point $B$ suivant la direction $BK$, comme ${\overline {BK}}^{2}$. C'est une necessité qu'il agisse sur le même point B, suivant la direction horizontale $IK$, avec la puissance ${\overline {IK}}^{2}$, comme l'on fera voir cy aprés. De même le poids $BL$ en $O$, agissant sur le point $B$ suivant la direction $BL$, comme ${\overline {BL}}^{2}$. Il agit sur le même point B, suivant l'horizontale $HL$, comme ${\overline {HL}}^{2}$, et comme cette derniere action est plus petite, et directement opposée à l'action du poids en $N$, suivant l'horizontale $IK$, le point $B$ ne resteroit pas immobile au point $B$, il se mouveroit vers le point $N$.

Mais, pour avoir un poids en $N$, qui soit en equilibre avec les poids en $B$ et en $O$ et que le point $B$ reste immobile; Soit prie sur l'horizontale $IK$ la partie Iq, egale à l'horizontale $HL$; et du point $q$ soit tirée la Ligne $qk$, parallele à la perpendiculaire $MB$, coupant $BK$ au point $k$, et du point $k$ soit tiré la Ligne $ki$, parallele à $KI$, coupant $MB$ au point $i$. Je dis que mettant un poids en $N$, comme $Bk$, un en $O$, comme $BL$, et deux en $B$, dont l'un soit comme $Bi$, et l'autre comme $BH$, ces quatre poids seront en êquilibre, et que le point $B$ restera immobile. Pour le demontrer soit êlevé sur le point $k$ la ligne $kM$, perpendiculaire à $BK$, coupant $BM$ au point m.

A cause des triangles semblables $mB:Bk::MB:BK$, mais on a demontré, que la vitesse du poids suspendu en $B$ étoit à la vitesse du poids suspendu en $N$ comme $MB:BK$, donc ces vitesses sont aussi comme $mB:Bk$, et comme $Bk:Bi$; Le poids en $N$ est au poids en $B$ (par la suposition) comme $Bk$ est à $Bi$, donc icy la puissance du poids en $N$, estant le produit de sa masse $Bk$ par sa vitesse $Bk$, la puissance du poids $Bi$ en $B$ estant aussi sa masse $Bi$ multipliée par sa vitesse $mB$; et ${\overline {Bk}}^{2}$ estant êgal à $mB\times Bi$, ces deux puissances en $B$ et en $N$, qui agissent l'une sur l'autre, sont en equilibre.

De même, par les mêmes raisons, le poids $BL$ en $O$ est en equilibre avec le poids $BH$ en $B$. De sorte que les deux poids suspendus en $B$ ne sçauroient descendre ni monter, en faisant monter ou descendre les poids qui sont en $N$ et en $O$.

Il n'y a plus qu'à demontrer, que le point $B$ ne sçauroit non plus se mouvoir horizontalem^t, ni d'un côté, ni de l'autre. Pour cet effet, soient achevé les rectangles $BIkr$ et $BHLR$.

Representons nous presentement le Cas de l'angle droit, expliqué cy devant, fig. 2.^e,[Figur folgt] c'est à dire, le cas où l'angle $GBF$ est droit, et où on a fait voir, que le poids $BM=BP$ êtoit en êquilibre avec le poids $BK$ en $N$, et le poids $BL$ en $O$, que le poids $BK$ en $N$ agissoit sur le point $B$ suivant la direction $BK$ avec la puissance ${\overline {BK}}^{2}$, le poids $BL$ en $O$ suivant la direction $BL$ avec la puissance ${\overline {BL}}^{2}$, et le poids $MB=BP$ agissoit aussi suivant $MB$ avec la puissance ${\overline {MB}}^{2}$. Ces trois poids etant en equilibres, il est necessaire que le poids $BM$ en $B$ agisse autant sur le point $B$ suivant la direction $Bk$, directement opposée à la direction $BK$, que le poids $BK$ en $N$ agit en sens contraire suivant $BK$. C'est à dire, qu'il est necessaire que le poids $BM$ en $B$ agisse sur le point $B$ suivant la direction $Bk$ avec la puissance ${\overline {Bk}}^{2}={\overline {BK}}^{2}$, et autant suivant la direction $Bl$, que le poids $BL$ en $O$ agit sur le point $B$ suivant la direction contraire $BL$, c'est à dire avec la puissance ${\overline {Bl}}^{2}$$={\overline {BL}}^{2}$. D'où il suit, que dans tous les rectangles, si la diagonale represente la masse et la vitesse d'un corps suivant la diagonale, sa puissance suivant sa diagonale est à sa puissance suivant tel côté que l'on voudra du rectangle, comme le quarré de la diagonale est au quarré de ce côté; Deplus la masse agissante suivant la Diagonale est à la masse agissante du même corps suivant tel coté que l'on voudra, comme la diagonale est à ce côté, c'est à dire que la Diagonale $BM=BP$ representant la masse et la vitesse d'un corps suivant la diagonale $BP$, sa masse agissante et sa vitesse suivant le côté $Bk$ sera representée par $Bk$, et suivant $Bl$, la masse agissante et la Vitesse du corps $BM$ sera representée par $Bl$; car le poids $BK$ en $N$, agissant sur le point $B$ suivant la direction $BK$ avec la puissance ${\overline {BK}}^{2}$, et le poids $BP$ en $B$, agissant suivant la direction $Bk$ avec la puissance ${\overline {Bk}}^{2}={\overline {BK}}^{2}$, il est evident, que toute la masse du poids $BP$ n'agit point suivant la direction $Bk$, parceque sa vitesse suivant cette direction, êtant exprimée par $Bk$, sa puissance suivant la même direction seroit $BP\times Bk$ plus grande que ${\overline {Bk}}^{2}={\overline {BK}}^{2}$. Ainsi, pour que sa puissance, suivant cette direction, ne soit que ${\overline {Bk}}^{2}={\overline {BK}}^{2}$, il est necessaire, que la masse agissante du poids $BP$, suivant la direction $Bk$, soit exprimée par $Bk$, et ne soit que de cette quantité. Et de même il est necessaire, que la masse agissante du poids $BP$, suivant la direction $Bl$, soit exprimée par $Bl$, et ne soit que de cette quantité. Cela étant ainsi revenons au rectangles $Bikr$ et $BHLR$.

Dans le rectangle $Bikr$ la diagonale $Bk$ represente la masse et la vitesse du poids suspendu en $N$, et sa puissance suivant $Bk$ estant ${\overline {Bk}}^{2}$, parce que nous venons de demontrer, sa puissance suivant la direction $iq$ sera exprimée par ${\overline {iq}}^{2}$; ainsi le poids $Bk$ en $N$ agit sur le point $B$ suivant la direction horizontale $Br$ avec la puissance ${\overline {Iq}}^{2}={\overline {Br}}^{2}$. De même dans le rectangle $BHLR$ la diagonale $BL$, representant la masse et la vitesse du poids $BL$ en $O$, et sa puissance suivant la direction $BL$ estant ${\overline {BL}}^{2}$, sa puissance suivant la direction $HL$ est representée par ${\overline {HL}}^{2}$. Ainsi le poids $BL$ en $O$ agit sur le point $B$ suivant la direction horizontale $BR$ avec la puissance ${\overline {HL}}^{2}={\overline {BR}}^{2}$. Mais par la suposition $Iq$ a êté fait egal à $HL$, donc le poids en $N$ tire autant le point $B$ suivant la direction horizontale $Br$, que le poids en $O$ tire le même point $B$ en sens contraire suivant la direction horizontale $BR$. Ainsi le point $B$ restera immobile; ce qu'il falloit demontrer.

Et pour rendre cette resolution generale, il faut encore parler de la situation des poulies et des cordes suivantes.

$NGBFO$ est encore une corde [Figur folgt] que l'on suposera tendue comme cy devant, qui passe par les poulies $G$ et $F$ qui ne sont point dans la même ligne horizontale, comme cy devant, faisant l'angle $GBF$ tel que l'on voudra, et que le point $B$ et la poulie $F$ soient toujours dans la même ligne horizontale $BF$, soit elevé du point $B$, $BM$ perpendiculaire à l'horizontale $BF$.

Sur $GB$, prenant $BK$ de telle grandeur que l'on voudra, et du point $K$ tirant $KI$ perpendiculaire sur $BM$ coupant $BM$ en $I$, si on suspend en $N$ un poids qui soit exprimé par $BK$, un en $B$, qui soit exprimé par $BI$, et un en $O$, qui soit exprimé par $KI$, je dis, que ces trois poids seront en êquilibre, et le point $B$ sera immobile; sur le point $K$ soit êlevé $KM$ perpendiculaire à $GB$, coupant $BM$ au point $M$.

Par ce qui a esté dit cy devant, la vitesse du poids $BI$ en $B$ est à la vitesse du poids $BK$ en $N$ comme $MB:BK::BK:BI$, et par la suposition, le poids en $N$ est au poids en $B$ $::BK:BI$. Donc icy, la puissance du poids en $N$ estant le produit de sa masse $BK$ par sa vitesse $BK$, la puissance du poids $BI$ en $B$ estant le produit de sa masse $BI$ par sa vitesse $Bm$, et ${\overline {BK}}^{2}$ estant egal à $BI\times Bm$, ces deux puissances, qui agissent l'une sur l'autre estant egales, sont en equilibre. Ainsi le poids en $B$ ne peut descendre ni monter en faisant monter ou descendre le poids en $N$.

Le point $B$ ne pourra pas non plus se mouvoir horizontalement, car dans le quadrilataire $BIKr$ la diagonale $BK$ representant la masse et la vitesse du poids $BK$ en $N$, suivant la direction $BK$, le côté $IK=Br$ representera la masse agissante et la vitesse du poids $BK$ suivant la direction horizontale $IK$ ou $Br$, et par la suposition la masse du poids en $O$ estant egale à $IK$ et sa vitesse estant necessairement la mesme que celle du point $B$, le point $B$ se trouve tiré en sens contraire par deux puissances egales et par consequent immobile, ce qu'il falloit demontrer.

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Fussnoten

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