Renau d'Eliçagaray, Bernard an Bernoulli, Johann I (1714.07.19)

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Autor	Renau d'Eliçagaray, Bernard, 1652-1719
Empfänger	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Ort	Paris
Datum	1714.07.19
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 666, Nr.3*
Fussnote	Darin enthalten "Problesme general sur l'equilibre de puissances par le moyen des Cordes" (22,5 S.). 3 Blätter mit Figuren

Monsieur

J'ay êté dans un si grand mouvement d'affaire depuis la seconde lettre que vous m'avez fait l'honneur de m'escrire que je n'ay pas eu un moment pour mediter sur nôtre question ni pour vous faire reponce.

Je la commenceray par vous assurer Monsieur que je ne cherche que la verité; que j'ay toujours crû que vous êtiez dans le même sentiment, et que j'ay de la joye de vous y voir inflexible. Je n'ay eu aucune intention d'abuser de Vôtre complaisance, ce qui seroit indigne de Vous, et j'ose le dire de moy. L'estime que j'ay pour Vous, et la reputation que Vous vous êtes justement acquise par la Sagacité et l'exactitude qui regnent dans les découvertes que l'on a de vous, m'ont seules porté Monsieur à Vous prier de donner quelqu'attention à mon Memoire, persuadé que si le principe que je tasche d'êtablir, et de deffendre contre les attaques de feu M. Hughens, est veritable; Vous en conviendriez bien tost, et que cela êcarteroit toutes les mauvaises difficultés qu'on pourroit faire, qui ne servent qu'à obscurcir une question qui est d'elle même ce me semble, tres simple, et tres claire: que si au contraire, j'estois dans l'erreur, personne ne m'en tireroit plustost que vous Monsieur, par la force et l'evidence que vous scavez donner à vos preuves. Et Vous y auriez moins de peine que vous ne le scauriez croire. Mon traité de la Theorie de la Manoeuvre des Vaisseaux n'y mettra jamais d'obstacle; peut être pourrai-je vous en persuader Monsieur quand j'auray l'honneur de vous dire que je ne l'ay composé que comme un essay que je ne pensois point donner au public. Quelques-uns de mes amis s'en rendirent les Maistres, ils le firent voir à l'Accademie des sciences, qui le jugea utile, et le Roy ordonna qu'il fust imprimé; ils prirent tout le soin de l'impression sans moy qui êtois absent occupé au service de sa Ma.^té et je n'eu[s] d'autre soin et d'autre empressement que celuy d'empescher qu'il ne parust sous mon nom; ne cherchant point à me donner pour sçavant, les gens de ma profession ont d'autres obligations plus essentielles à remplir. Les Mathematiques peuvent bien leur être utiles; Mais de la maniere que la guerre s'est faite en France depuis vingt cinq ans, Elle demande un homme tout entier, et parmi toutes les occupations qu'on m'a fait l'honneur de m'y donner, il seroit contre toute raison, que je cherchasse quelque rang et quelque distinction entre les sçavants. C'en seroit assez pour moy que d'avoir entrée dans les nouvelles Methodes que vous avez trouvées Monsieur et les autres Excellens Maistres de nôtre tems, de vous suivre et de profiter des découvertes où elles vous ont conduits.

Vous pouvez juger par là Monsieur que je n'ay pas plus d'attache au traité de la Theorie de la manoeuvre des vaisseaux que j'en aurois pour un ouvrage êtranger; qu'il seroit tres facile de me faire convenir des erreurs qui pourroient s'y trouver; comme je conviens d'avoir pris deux unités differentes dans la construction Geometrique que vous donnez de la routte et de la vitesse du vaisseau suivant Vostre principe, dans Vôtre premiere lettre, ce qui rend nul le raisonnement par lequel je pretendois tirer de là une absurdité dans cette construction. Il ne me sera jamais honteux de reconnoistre et d'avoüer que je me serois trompé, cet aveu ne le doit pas être même dans un scavant de profession. Il n'y a de honte en matiere de science qu'à soutenir l'erreur. Vous voyez par là Monsieur, que je seray toujours prest à abandonner le principe de la Theorie de la manoeuvre des vaisseaux que j'establis dans mon memoire, si l'on me fait voir clairement que c'est une erreur, et la chose est bien facile; car je ne le deduis que de deux ou trois principes sur le mouvement des fluides, tres simples dont tout le monde convient avec vous. Il n'y a qu'à faire voir clairement que la deduction que j'en fais de ces principes, n'en est pas une suitte evidente et necessaire comme elle me le parroist et à beaucoup d'autre[s] personnes êclairées. Je conviens meme de l'erreur de ce principe, s'il dedruit le principe de la statique par le quel vous le combattez. Car j'admets ce principe de statique comme un principe fondamental dont je n'ay jamais douté tel que vous l'êtablissez et n'êtoit que je ne voulois me servir que des principes propres aux fluides pour demontrer celuy des fluides qui fait le sujet de mon Memoire, je n'en aurois point employé d'autres pris des solides que celui la même de statique dont vous vous servez. Puisque (le principe) de mon Memoire en est une suitte necessaire: comme je suis persuadé Monsieur que vous en allez bientost convenir.

Problesme general sur l'equilibre des puissances par le moyen des Cordes.

[Figur folgt] $NGMFO$ est une corde (qu'on suposera toujours également tendue pour l'exactitude de la demonstration) qui passe par les poulies fixes $G$ et $F$ qui sont dans la même ligne horizontale $GMF$. Qu'on prenne dans $GMF$ un point quelconque $M$, et qu'une puissance la fasse mouvoir suivant la ligne droite $MB$ qu'on suppose perpendiculaire à l'horizontale $GF$ et lui fasse décrire telle longueur $MB$ qu'on voudra, de maniere que la corde $NGMFO$ changeant sa premiere position, prenne la situation $NGBFO$, et que ses deux parties $GB$, $BF$ fassent en $B$ tel angle $GBF$ qu'on voudra. Qu'on tire du point $M$, la ligne droite $MK$ perpendiculaire sur $GB$, et $ML$ perpendiculaire sur $FB$, qu'on tire aussi des points $K$ et $L$, les lignes droites $KI$ et $LH$ perpendiculaires sur $MB$. Cela suposé.

Trouver les poids qu'il faut suspendre aux points $N$, $B$, $O$, afin qu'ils soient en equilibre.

Resolution. Il faut suspendre au point $N$ un poids qui soit representé par $BK$; au point $O$ un poids qui soit representé par $BL$, et deux poids au point $B$ dont l'un soit representé par $BI$ et l'autre par $BH$. Je dis que le poids en $N$ representé par $BK$ sera en equilibre avec le poids en $B$ representé par $BI$, et que le poids en $O$ representé par $BL$ sera en equilibre avec le poids en $B$ representé par $BH$.

Preparation pour la demonstration. Qu'on supose que dans l'instant qui precede l'equilibre c'est à dire dans un tems infiniment petit, $B$ soit mû de $P$ en $B$, de façon que l'espace parcouru $PB$ soit infiniment petit, et qu'on tire les lignes droites $GP$, $FP$ qui representeront la situation $NGPFO$ de la corde au moment qui precede l'equilibre. Qu'on tire aussi des centres $G$ et $F$ avec les rayons $GB$, $FB$, les petits arcs $BC$, $BR$. Il est evident 1.^o que dans le tems que les poids qui sont en $B$ décriront l'espace $PB$, le poids $N$ décrira un espace egal à $PC$ et le poids $O$ un espace egal à $PR$. Ainsi les vitesses de ces poids seront exprimées respectivement par $PB$, $PC$, $PR$. 2.^o suivant les principes du calcul differentiel les petits arcs $BC$, $BR$ pouvant estre pris pour des lignes droites, les angles en $C$ et en $R$ sont droits. 3.^o l'angle $CPB$ et l'angle $GBM$ sont egaux puis qu'ils ne different que de l'angle $PGB$ infiniment petit. Par la meme raison $RPB=FBM$. Ainsi 4.^o les triangles $BPC$, $MBK$, $KBI$ sont semblables. Les triangles $BPR$, $MBF$, $LBH$ sont aussi semblables; Ce qui donnent les proportions suivantes. $BP:PC::MB:BK::BK:BI$. Et $BP:PR::MB:BL::BL:BH$.

Demonstration. La vitesse du poids $BI$ suspendu au point $B$ est à la vitesse du poids $BK$ suspendu au point $N$ comme $PB:PC::MB:BK$. Le poids en $N$ est au poids en $B$ par la suposition comme $BK$ à $BI$. Mais par les principes de Mechaniques receu de tout le monde, les puissances où les forces sont comme les produits des masses par les vitesses, et deux forces egales qui agissent l'une sur l'autre sont en equilibre. Donc icy la puissance du poids $N$ êtant le produit de sa masse $BK$ par sa vitesse $BK$; la puissance du poids $BI$ en $B$ êtant le produit de sa masse $BI$ par sa vitesse $BM$; et ${\overline {BK}}^{2}$ êtant egal à $BI\times MB$; les deux puissances en $N$ et en $B$ qui agissent l'une sur l'autre sont en equilibre.

Il est evident que l'on demontrera de même que la puissance du poids $BL$ en $O$, qui agit contre la puissance du poids $BH$, luy est egale; puisque ${\overline {BL}}^{2}=BH\times MB$. Par consequent elles sont en equilibre. Donc le poids en $N$ representé par $BK$ et le poids en $O$ representé par $BL$ sont en equilibre avec les poids $BI+BH$ en $B$, par le moien de la corde $NGBFO$; Ce qu'il etc.

Dans le cas où l'angle $GBF$ est droit; Il est evident que le quadrilatere $MKBL$ est un rectangle et que la diagonale $MB=BI+BH$. Et qu'au lieu des deux poids $BI$ et $BH$ suspendus en $B$, on y peut suspendre un seul poids representé par la diagonale $MB$ et qu'il sera en equilibre avec le poids en $N$ representé par $BK$ et avec le poids en $O$ representé par $BL$. Puis que par le problesme genral la puissance du poids $MB$ en $B$ sera ${\overline {MB}}^{2}$; et celle du poids $BK$ en $N$ sera ${\overline {BK}}^{2}$; celle du poids $BL$ en $O$ sera ${\overline {BL}}^{2}$, et que ${\overline {BK}}^{2}+{\overline {BL}}^{2}={\overline {MB}}^{2}=MB\times BI+MB\times BH$.

Il faut seulement remarquer que dans ${\overline {MB}}^{2}=MB\times BI+MB\times BH$, il n'y a que la partie $MB\times BI$ de la puissance en $B$ qui fasse effort contre la puissance du poids $BK$ en $N$; et que la partie $MB\times BH$ de la puissance du poids $MB$ en $B$ qui fasse effort contre la puissance du poids $BL$ en $O$.

Vous m'avez sans doute des-ja prevenu Monsieur sur l'application que je vas faire de l'equilibre de ces trois poids par le moien d'une corde tendue (qui est certain par la raison et par l'experience) à l'equilibre des trois voiles d'un vaisseau, que je crois avoir demontré dans mon Memoire, et sur ce que j'en tireray, comme une consequence necessaire, le seul principe, que j'ay voulu êtablir dans le meme Memoire, qui est que l'effort direct du vent qui donne perpendiculairement sur une voile est à l'effort avec lequel le même vent pousse cette même voile sans rien changer dans une routte oblique comme le quarré du Rayon est au quarré du sinus de complement de l'angle d'incidence de la direction du vent sur la direction de la routte oblique.

[Figur folgt]Pour faire l'application de l'equilibre des trois poids en $N$, $B$, $O$ par le moien de la corde $NGBFO$ à l'equilibre des trois voiles de l'article 32 du Memoire. Il n'y a 1.^o qu'à prolonger $MB$ en $P$, $KB$ en $k$, $LB$ en $l$, en sorte que $BP=MB$; $KB=Bk$, $LB=Bl$. 2.^o marquer sur les lignes $lBL$, $kBK$ les lignes egales $ABC$, $DBE$ et tirer la ligne $aBc$ êgale à chacune des precedentes, perpendiculaire sur $MBP$. Ces trois lignes égales representeront les trois voiles êgales du Memoire et leur situation.

Pour faire donc cette application, regardant le point $B$ comme le vaisseau je supose qu'un 1.^er vent pousse perpendiculairement la voile $ABC$ dans la direction $kBK$ de $B$ vers $K$ avec la vitesse $kB=BK$, qu'un 2.^d vent pousse perpendiculairm.^t la voile $DBE$ dans la direction $lBL$ de $B$ vers $L$ avec la vitesse $lB=BL$, et qu'un 3.^e vent pousse perpendiculairment la voile $aBc$ dans la direction $MBP$ de $B$ vers $P$ avec la vitesse $MB=BP$.

Puis que les trois voiles poussées par les trois vents sont égales, les masses de ces trois vents sont respectivement comme leurs vitesses. Par consequent leurs efforts sur les trois voiles égales êtant comme les produits de leurs masses par leurs vitesses, l'effort du 1.^er vent $kB$ sur la voile $ABC$ est ${\overline {kB}}^{2}={\overline {BK}}^{2}$, l'effort du 2.^d vent $lB$ sur la voile $DBE$ est ${\overline {lB}}^{2}={\overline {BL}}^{2}$, et l'effort du 3.^e vent $MB$ sur la voile $aBc$ est ${\overline {MB}}^{2}={\overline {BP}}^{2}$. Donc le point $B$ où le vaisseau en $B$ est poussé par les efforts ou puissances de ces trois vents precisement de la même maniere qu'il l'estoit par les trois poids $NOP$. Par le moien de la corde tenduë $NGBFO$, puis que par la seule veue de la situation de cette corde, on apperceoit clairement que l'effort du poids en $N$ se fait sur le point $B$ suivant la direction $BK$, que l'effort du poids en $O$ se fait sur le point $B$ suivant la direction $BL$, et l'effort du point $P$ se fait sur le point $B$ suivant la direction $BP$, et on vient de demontrer que la puissance du poids $MB$ en $B$, êtoit ${\overline {MB}}^{2}$; celle du poids $BK$ en $N$, êtoit ${\overline {BK}}^{2}$; et celle du poids $BL$ en $O$, êtoit ${\overline {BL}}^{2}$, et ces trois poids êtoient en equilibres donc aussi les trois voiles qui ont les mêmes puissances seront en equilibre au point $B$.

Je tire de là comme des consequences necessaires: 1.^o que l'effort du vent $MB$ qui donne perpendiculairement sur la voile $aBc$, tenant en equilibre les efforts des vents $kB$, $lB$ qui poussent perpendicul.^mt les voiles $ABC$, $DBE$, il est necessaire que le point $B$ soit autant poussé par l'effort du vent $MB$ sur la voile $aBc$ suivant $Bk$ qu'il est poussé suivant $BK$ par l'effort du seul vent $kB$, qui donne perpendiculairement sur la voile $ABC$; et que le même point $B$ soit autant poussé par l'effort du vent $MB$ sur la voile $aBc$ suivant $Bl$ qu'il est poussé suivant $BL$ par l'effort du seul vent $lB$ qui donne perpendiculairement sur la voile $DBE$. Car il est visible que sans cela la voile $aBc$ ne tiendroit pas les deux autres en equilibre.

2.^o D'où il suit necessairement que l'effort où la puissance avec laquelle le vent $MB$ qui donne perpendiculairement sur la voile $aBc$ pousse la voile $aBc$ ou le point $B$ suivant la routte directe $BP$, est à l'effort ou à la puissance avec laquelle il pousse le même point $B$ ou la même voile $aBc$ suivant la routte oblique $Bk$, comme ${\overline {MB}}^{2}={\overline {BP}}^{2}$ est à ${\overline {Bk}}^{2}$, c'est à dire comme le quarré du rayon est au quarré du sinus de complement de l'angle d'incidence $PBk$, et non pas comme le rayon à ce sinus de complement comme $BP$ à $Bk$. Ce que pretendoit M.^r Hughens et ce qui êtoit le seul sujet de nôtre dispute et ce qui est le Principe que j'ay voulu demontrer dans mon Memoire.

Je ne dis rien sur les trois plans que vous mettez à la corde $NGBFO$ à la place des trois poids $NPO$, et sur le quel un vent donne perpendiculairement dessus du haut en bas; puis que ces trois plans font sans contredit le même effet precisement que les trois poids comme vous me le dites vous même Monsieur, ainsi on conclueroit la même chose pour ces trois plans que pour les trois poids.

Il me semble qu'il ne me reste à present pour affermir mon principe qu'à faire voir clairement que le principe contraire que vous m'opposez conduit à une absurdité.

[Figur folgt] Soit pour cet effet la ligne droite $BG$ perpendiculaire à la ligne droite $BF$, soit pris sur $BG$ la partie $BK$, et sur $BF$ la partie $BL$ double de $BK$, et $BI$ troisieme proportionelle de $BK$ à $BL$. Soit achevé le rectangle $BISK$ et soit tiré la diagonale $BS$, sur laquelle soit pris $BQ$ moyenne proportionelle entre $BK$ et $BS$; du point $Q$ soit tiré $QY$ perpendiculaire à $BF$ et $QZ$ perpendiculaire à $BG$; sur la ligne $BG$ soit pris la partie $KG$ égale à la neuviesme partie de $ZK$, afin que $KG$ soit la dixiesme partie de $ZG$; de même sur la ligne $BF$ soit pris la partie $LF$ égale à neuf fois $YL$ afin que $YL$ soit la dixiesme partie de $YF$. Enfin soit achevé le rectangle $BLMK$ et soit tiré la diagonale $BM$.

Presentement soit un vaisseau au point $B$ de figure à fondre l'eau egalement de tous cotez, qui a une voile $ABC$, que l'on supose être un plan et perpendiculaire à $BG$ et qui est de telle grandeur qu'un vent $BG$ qui a la vitesse $BG$ donnant perpendiculairement dessus fasse aller seul le vaisseau suivant $BG$ avec la vitesse uniforme $BK$.

Suposons encore que ce vaisseau ait une autre voile $EBD$ perpendiculaire à $BF$ qui soit aussi de telle grandeur qu'un vent $BF$ qui a la vitesse $BF$ donnant perpendiculairement dessus fasse aller le vaisseau suivant $BF$ avec la vitesse uniforme $BL$.

Je puis faire toutes ces supositions Monsieur par le 21.^e article de mon Memoire puis que vous m'accordez tout jusqu'au 22.^e article.

Maintenant au lieu de suposer que ce vaisseau soit poussé separement par ces deux vents comme l'on vient de faire, suposons qu'il soit poussé en même temps par ces deux vents. Vous dites Monsieur qu'il n'ira pas comme je pretens par la diagonale $BM$ du rectangle formé par les deux vitesses uniformes $BK$ et $BL$, avec la vitesse uniforme $BM$.

Mais qu'en prenant sur $BF$ une troisieme proportionelle de $BK$ à $BL$, qui est $BI$ et achevant le rectangle $BISK$ et tirant la diagonale $BS$ et enfin prenant dessus une partie qui soit moienne proportionelle entre $BK$ et $BS$ qui est $BQ$, le vaisseau ira suivant $BS$ avec la vitesse uniforme $BQ$.

Examinons si cela est possible, et pour cet effet, exprimons la superficie de la voile $ABC$ que l'on supose être un plan par, $P$;

La petite voile $EBD$ de même par, $p$,

Le plan du vaisseau par, $q$,

La Densité de l'eau par, $D$

Et la Densité de l'air par, $d$.

Le vaisseau n'êtant poussé que par le seul vent $BG$ va suivant $BG$ avec la vitesse uniforme $BK$, ainsi la vitesse avec laquelle le vent $BG$ donne àlors sur la voile $ABC$ sera exprimée par $KG$, par consequent la force avec la quelle le vaisseau est poussé àlors suivant $BG$ est exprimée par ${\overline {KG}}^{2}\times Pd$, par article de mon Memoire.

Et le vaisseau allant suivant $BG$ avec la vitesse uniforme $BK$, la resistance qu'il trouve à fendre l'eau est exprimée par ${\overline {BK}}^{2}\times Dq$. Article

Mais dans le mouvement uniforme la force avec la quelle le vaisseau est poussé est egale à la resistance qu'il trouve à fendre l'eau. On aura donc cette egalité ${\overline {KG}}^{2}\times Pd={\overline {BK}}^{2}\times Dq$.

De même le vaisseau êtant poussé par le seul vent $BF$ va suivant $BF$ avec la vitesse uniforme $BL$ ainsi le vent $BF$ ne donne àlors sur la voile $EBD$ qu'avec la vitesse $LF$, ainsi la force avec la quelle le vent $BF$ pousse àlors la voile $EBD$ sera exprimée par ${\overline {LF}}^{2}\times pd$.

Et le vaisseau allant avec la vitesse uniforme $BL$ sa resistance à fendre l'eau sera exprimée par ${\overline {BL}}^{2}\times Dq$, ce qui donne aussi cette égalité ${\overline {LF}}^{2}\times pd={\overline {BL}}^{2}\times Dq$.

De plus le vaisseau allant comme vous dites Monsieur, suivant $BS$ avec la vitesse uniforme $BQ$ par le concours des deux vents; Le vent $BG$ donnera continuellement et perpendiculairement sur la voile $ABC$ avec la vitesse exprimée par, $ZG$, par consequent avec la force exprimée par, ${\overline {ZG}}^{2}\times Pd$; et en même tems le vent $BF$ donnera de la même maniere sur la voile $EBD$ avec la vitesse exprimée par, $YF$, et par consequent avec la force exprimée par ${\overline {YF}}^{2}\times pd$.

Et pour connoistre quel rapport il y a entre la force exprimée par, ${\overline {ZG}}^{2}\times Pd$, et la force exprimée par, ${\overline {YF}}^{2}\times pd$, j'ay les deux égalités precedentes ${\overline {KG}}^{2}\times Pd={\overline {BK}}^{2}\times Dq$ et ${\overline {LF}}^{2}\times pd=$${\overline {BL}}^{2}\times Dq$, qui me donne cette proportion ${\overline {KG}}^{2}\times Pd.{\overline {LF}}^{2}\times pd::{\overline {BK}}^{2}\times Dq.{\overline {BL}}^{2}\times Dq$; mais par la construction $BK.BL::1.2$, et à cause des multiplicateurs communs ${\overline {BK}}^{2}\times Dq$ sera donc à ${\overline {BL}}^{2}\times Dq$ comme 1 est à 4 et par consequent aussi ${\overline {KG}}^{2}\times Pd.{\overline {LF}}^{2}\times pd::1.4$ ce qui me donne cette êgalité $4{\overline {KG}}^{2}\times Pd={\overline {LF}}^{2}\times pd$. Prenant presentement la force exprimée par ${\overline {YF}}^{2}\times pd$ et celle exprimée par ${\overline {LF}}^{2}\times pd$ à cause des multiplicateurs communs et que par la construction $YF.LF::10.9$, on aura ${\overline {YF}}^{2}\times pd.{\overline {LF}}^{2}\times pd::100.81$, et par consequent cette équation ${\overline {YF}}^{2}\times pd={\frac {100}{81}}{\overline {LF}}^{2}\times pd$ et substituant à la place de ${\overline {LF}}^{2}\times pd$, son egale $4{\overline {KG}}^{2}\times Pd$, on aura ${\overline {YF}}^{2}\times pd={\frac {400}{81}}{\overline {KG}}^{2}\times Pd$.

Enfin prenant la force exprimée par ${\overline {ZG}}^{2}\times Pd$ pour la comparer à la force exprimée par ${\overline {KG}}^{2}\times Pd$ à cause des multiplicateurs communs et que par la construction $ZG.KG::10.1$, on aura ${\overline {ZG}}^{2}\times Pd.{\overline {KG}}^{2}\times Pd::100.1$, et par consequent cette equation ${\overline {ZG}}^{2}\times Pd=100{\overline {KG}}^{2}\times Pd$.

J'ay donc enfin ces deux equations ${\overline {ZG}}^{2}\times Pd=100{\overline {KG}}^{2}\times Pd$ et ${\overline {YF}}^{2}\times pd={\frac {400}{81}}{\overline {KG}}^{2}\times Pd$; Donc ${\overline {ZG}}^{2}\times Pd.{\overline {YF}}^{2}\times pd::100{\overline {KG}}^{2}\times Pd.{\frac {400}{81}}{\overline {KG}}^{2}\times Pd$, et à cause des multiplicateurs communs ${\overline {ZG}}^{2}\times Pd.{\overline {YF}}^{2}\times pd::81.4$; Mais ${\overline {ZG}}^{2}\times Pd$ exprime la force avec laquelle le vent $BG$ pousseroit continuellement le vaisseau suivant la direction $BG$, et ${\overline {YF}}^{2}\times pd$, celle avec la quelle le vent $BF$ le pousseroit en même tems et continuellement suivant la direction $BF$ si par le concours des deux vents le vaisseau alloit comme vous pretendez Monsieur suivant $BS$ avec la vitesse uniforme $BQ$; ainsi la force avec la quelle le vaisseau seroit poussé suivant $BG$ seroit à la force avec la quelle il seroit poussé en même tems suivant $BF$ comme 81 est à 4; Et le vaisseau allant suivant $BS$ avec la vitesse uniforme $BQ$ sa vitesse suivant la direction $BG$ est exprimée par $BZ$, et sa vitesse suivant la direction $BF$ est exprimée par $BY$, mais $BZ.BY::BK.BI$, et par la construction $BK.BI::1.4$; Donc la vitesse du vaisseau suivant la direction $BG$ seroit à sa vitesse suivant la direction $BF$ comme 1 est à 4. Ce qui feroit que le vaisseau quoy que poussé suivant la direction $BG$ comme 81, sa vitesse suivant la même direction ne seroit que comme 1, dans le tems que n'êtant poussé suivant la direction $BF$ que comme 4, sa vitesse suivant la même direction seroit comme 4, ce qui est absolument impossible.

Vous voyez Monsieur par ce que je viens de faire voir que l'on ne sçauroit jamais faire tenir une autre routte au vaisseau que celle qui est prescritte par ma Regle n'y luy donner une autre vitesse que celle qu'elle prescrit aussi, sans tomber dans les mêmes absurdités.

Car prenant une ligne $BQ$ pour representer cette autre routte, le point $Q$, tombant ailleurs qu'au point $M$, comme il le feroit, on pourroit toujours tirer du point $Q$ les lignes $QZ$, et $QY$, perpendiculaires à $BG$, et à $BF$, et donner à $KG$ et à $LF$, les mêmes rapports à $ZG$ et à $YF$ que l'on a donné dans l'exemple precedent; Et par les mêmes raisons on déduira necessairement les mêmes absurdités, ce qui prouve invainciblement que le vaisseau ne va point par une autre routte que par $BM$.

Pour ne parler que de ce dont vous ne disconvenez point Monsieur, je ne me suis point servy dans ce raisonnement des resistances latterales par ce que vous les revoquez non seulement en doute, mais que vous dites qu'elles ne sont rien de reelles et qu'elles ne sont qu'idéales, je ne sçaurois m'empescher de vous dire que quelqu'effort que je me fasse pour les revoquer aussi en doutes il m'est impossible d'y parvenir et en voicy la raison.

[Figur folgt] Le vaisseau allant selon vous Monsieur suivant $BQ$ avec la vitesse uniforme $BQ$; le vent $BG$ qui a la vitesse $BG$ et qui va partout paralellement à luy même donnera réellement, continuellement et perpendiculairement sur la voile $ABC$ avec la vitesse exprimée par $ZG$ c'est à dire avec la force exprimée par ${\overline {ZG}}^{2}\times Pd$; ainsi le vaisseau se trouvera réellement poussé continuellement, suivant $BG$, c'est à dire paralellement à $BG$ par cette force, et s'il n'y avoit pas une resistance réelle par la partie diametralement opposée à cette force, il est plus clair que le jour que le vaisseau obeiroit continuellement à cette force, les corps devant toujours aller du côté vers lequel ils sont plus poussés, ce qui peut passer pour un axiome; d'où il suit necessairement que le vaisseau doit toujours céder à la force ${\overline {ZG}}^{2}\times Pd$ dans le sens suivant lequel cette force agit c'est à dire parallelement à $BG$ jusqu'à ce que la resistance dans le sens contraire soit egale à la force qui le poussera àlors; Ainsi si la resistance latterale c'est à dire la resistance suivant $BG$ n'êtoit jamais réelle, le vaisseau obeissant toujours à cette force, iroit à la fin suivant la determination $BG$ aussi viste que le vent $BG$ va lui même.

On dira à cela que le vent $BF$ agissant en meme tems sur le vaisseau empeschera que le vaisseau obeisse plus qu'il ne fait allant suivant $BQ$ avec la vitesse $BQ$; Mais je demandray sur quoy est fondé cette pretention, car le vent $BF$ agissant même seul, ne fait aller le vaisseau que suivant $BF$, et quelque vitesse que l'on supose qu'il donne au vaisseau quand elle seroit infinie il n'y auroit point de vitesse n'y même une infiniment petite qui fust diametralement opposée à la vitesse $BG$; Le vent $BF$ ne produit donc aucun effet diametralement contraire à $BG$ donc le vent $BF$ n'empeschera point que le vaisseau n'obeisse continuelement à l'impulsion du vent $BG$ jusqu'à ce que la resistance en sens contraire soit devenuë égale à cette impulsion.

Il y a encore quelques-uns qui disent que quoy que le vaisseau êtant poussé séparement par chacun des deux vents $BG$ et $BF$ fasse aller le vaisseau suivant $BG$ avec la vitesse uniforme $BK$, et suivant $BF$ avec la vitesse uniforme $BL$, il ne s'en suit pas que par le concours des deux il doive aller par $BM$ avec la vitesse uniforme $BM$ diagonale du rectangle fait par les côtez $BK$ et $BL$ parceque disent-ils la resistance que le vaisseau trouveroit à fendre l'eau en ce cas là, seroit plus grande que la force avec la quelle le vaisseau seroit poussé.

Mais je repons à cela que c'est une petition de principe puisque c'est suposer ce qui est en question; il le faudroit demontrer sans le suposer. Mais outre que j'ay démontré le contraire, de cette suposition suit necessairement les absurdités que l'on vient de faire voir sans me servir de rien pour cela dont il y puisse avoir le moindre doute.

Pour ce qui est de la vitesse du vent que vous dites Monsieur que j'ay suposé infinie par rapport à celle du vaisseau dans ma Theorie de la manoeuvre, à la verité je n'en ay point parlédu tout dans cet ouvrage par ce que je m'y suis pris d'une maniere où ces differentes vitesses êtoient inutiles, et vous dites fort bien Monsieur que c'est ce que M.^r vôtre frere a dit dans les Journaux de Leipsic contre ma Theorie qui m'a donné lieu d'en parler, j'en conviens, et je l'ay fait pour luy faire voir que considerant même les choses par ce côté là elles ne faisoient rien contre ma Theorie comme j'en avertis dans ce même traité page et qu'au contraire elles confirmoient toutes mes regles; je m'en sers presentement tres utilement pour resoudre toutes les difficultés que l'on me fait d'une maniere incontestable; Mais je puis vous assurer Monsieur que je n'ay jamais cru que le rapport de la vitesse du vent à celle du vaisseau fût même bien éloigné. Pour peu que l'on ait navigué, et fait la moindre attention là dessus l'experience vous fait voir ce qui en est d'une maniere à ne vous en laisser aucun doute:

Lors que l'on va vent en poupe c'est à dire que le vent est tout à fait derriere et que ce n'est point un grand vent, si le vaisseau est bon voilier c'est à dire qu'il aille bien, ses voiles seront tout plates et battront le mast et à peine sentira-on le vent tant qu'on ira ainsi vent arriere; Mais si on prend les amures c'est à dire si on vient au plus pres du vent, les voiles s'enfleront, tout aussi tost on sentira un vent frais et le vaisseau s'il est petit carguera c'est à dire penchera souvent considerablement, ce qui fait voir que le vent donne àlors avec beaucoup de vitesse sur les voiles par ce que le vaisseau ne fuit presque pas le vent, et au contraire lors qu'on alloit vent arriere le vaisseau alloit presque aussi vîte que le vent et l'excedent de la vitesse du vent sur la voile n'êtoit pas assez considerable pour la faire enfler. Mais sans aller sur mer, si on va à cheval et que l'on ait un petit vent au dos, si on pousse son Cheval au Galop, on ne sentira plus de vent au dos, au contraire on en sentira un au né, souvent plus grand que celuy qu'en sentoit au dos, ce qui prouve que l'on va alors au moins une fois plus vîte que le vent.

Je n'ay pas eu l'honneur encore de vous faire reponce Monsieur sur ce que vous me dites, touchant ma maniere de determiner la derrive du vaisseau dans mon traité de la Theorie de la manoeuvre, par ce qu'elle dependoit absolument des principes qu'on me conteste et qu'aussi tost que nous en conviendrons il n'y auroit plus de difficultés pour convenir de cette derrive, en attendans je dois vous dire que je pouvois parler plus exactement que je n'ay fait dans l'endroit que vous me citez page 17 de la Theorie. Car au lieu de dire comme j'ay dit de faire $KL$ à $KG$ comme la resistance de costé est à celle de pointe; il falloit dire, de faire $KL$ à $KG$ dans la raison de la vitesse que le vaisseau a de costé à la vitesse qu'il a de pointe, êtant egalement poussé dans ces deux directions, par exemple suposant que le vaisseau soit poussé en même tems par deux forces egales l'une perpendiculairement à la quille et l'autre suivant la quille et que sa vitesse de pointe soit à sa vitesse de côté comme 10 est à 1, ce qui se peut connoistre par l'experience, il faudra toujours faire $KG$ à $KL$ comme dix est à un, apres que nous serons convenu du mouvement composé, ce cy sera tres aisé à demontrer.

Je vous rend mille graces Monsieur du Livre que M.^r de Montmor m'a donné de vôtre part, je vous assure que je l'estudiray bien et j'espere y apprendre beaucoup de belles et de bonnes choses, au systême pres, je suis persuadé qu'il n'y aura rien de plus beau, n'y rien de plus profitable pour apprendre à resoudre ce qu'il y a de plus difficile sur cette matiere, ainsi j'espere-bien en faire mon profit aussi-bien que de toutes les belles choses que vous donnez tous les jours, Personne n'estant avec une plus parfaite estime et de respect, que je suis Monsieur Vostre tres humble et tres obeissant Serviteur Renau

A Paris le 19.^e juillet 1714.

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Fussnoten

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