Bernoulli, Johann I an Verzaglia, Giuseppe (1706.05.19)

Kurzinformationen zum Brief       mehr ...
Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Verzaglia, Giuseppe, 1669-1728
Ort	Basel
Datum	1706.05.19
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 675:Bl.145-146
Fussnote

Pereximio et Doctissimo Viro

Josepho Verzala

S. P. D.

Joh. Bernoulli

Quominus ad litteras Tuas humanissimas atque tot benevolentiae testimoniis refertas promptius pro more meo responderim, sane non una est causa; prae caeteris vero valetudinem meam non adeo firmam allegasse suffecerit. Laetus admodum intellexi vestram quoque Italiam quosdam alere Viros (interque eos Te inprimis Vir Eruditissime), qui nostra excolant studia, et quidem tanto cum successu ut ad profundiora illa Geometris superiorum saeculorum plane impervia feliciter penetrent; cui successui, ut quidem innuis, si meae lucubratiunculae aliquid contulerint, est quod mihi gratuler; ita enim scopum quem habui, ut ex laboribus meis qualibuscunque aliquid utilitatis ad publicum redundaret, quodammodo assecutus mihi videbor. Eodem nunc animo agitatus tua adimplere desideria pro viribus adnitar; sed cum nesciam, an litterae hae meae ad Te tuto perventurae sint necne, nolo prima hac vice multa scriptis consignare (pro quibus non una tantum alterave pagina sufficeret, si ad singula epistolae Tuae capita ampliter respondendum esset) non enim e re nostra fore iudico committere statim incerto itineris eventui quicquid laboris insumsissem[;] ubi autem intellexero has Tibi Vir doctissime recte traditas, et litteris posthac mittendis nullum ab armis oras vestras circumstrepentibus periculum imminere, ad proposita Tua fusius respondebo atque ad nutum Tuum me habebis Tibi semper obsequentissimum. Verum intellexi ex litteris Doctiss. Joannis Scheuchzeri ad nostrum Hermannum datis, Te peregrinationem meditari ac forte nostram quoque urbem visitaturum. Hic Tibi si animus esset, magno certe me gaudio perfunderes, atque utrique parceres et operae et tempori per litteras in tot fere annos protrahendis, quot hebdomadis tantum opus esset ad accipienda coram et ex ore meo omnia quae sunt in potestate mea et quaecunque veluti mysteria a minus perspicacibus considerari solent.

Seriem meam generalem in Actis Lips. 1694, p. 437 exhibitam eleganter applicuisti ad integrandum $x^{m}{\textrm {l}}x^{n}dx$, seriem inde resultantem etiam a me fuisse usurpatam cognoscere potuisti ex iis quae habeo in Act. 1697, pag. 125 et seqq. et alibi; admisisti vero lapsum calami quando scribis

$x^{m}{\textrm {l}}x^{n}dx=x^{m}{\textrm {l}}x^{n}dx+nx^{m}{\textrm {l}}x^{n-1}adx-nx^{m}{\textrm {l}}x^{n-1}adx-n.{\overline {n-1}}x^{m}{\textrm {l}}x^{n-2}aadx+n.{\overline {n-1}}x^{m}{\textrm {l}}x^{n-2}aadxetc.$loco cujus scribendum sic est $x^{m}{\textrm {l}}x^{n}dx=x^{m}{\textrm {l}}x^{n}dx+{\frac {n}{m+1}}x^{m}{\textrm {l}}x^{n-1}adx-{\frac {n}{m+1}}x^{m}{\textrm {l}}x^{n-1}adx-{\frac {n.{\overline {n-1}}}{{\overline {m+1}}^{2}}}x^{m}{\textrm {l}}x^{n-2}aadx+{\frac {n.{\overline {n-1}}}{{\overline {m+1}}^{2}}}x^{m}{\textrm {l}}x^{n-2}aadxetc.$ nam non ex illius sed ex huius integratione provenit $\int x^{m}{\textrm {l}}x^{n}dx={\frac {x^{m+1}{\textrm {l}}x^{n}}{m+1}}-{\frac {nx^{m+1}{\textrm {l}}x^{n-1}a}{{\overline {m+1}}^{2}}}+{\frac {n.{\overline {n-1}}x^{m+1}{\textrm {l}}x^{n-2}aa}{{\overline {m+1}}^{3}}}{\textrm {etc.}}$

quae series hoc commodi habet, quod existente $n$ numero integro et positivo, degereret illa in seriem finitam seu abrumpentem; ubi vero $m=-1$, series huic casui non satisfacit singulis tunc terminis infinitum quid continentibus, cum tamen constet $\int x^{-1}{\textrm {l}}x^{n}dx$ (seu quod idem est $\int {\textrm {l}}x^{n}d{\textrm {l}}x$ sumta $a$ pro unitate) esse $={\frac {{\textrm {l}}x^{n+1}}{n+1}}$. Hunc in finem aliam excogitavi methodum integrandi $x^{m}{\textrm {l}}x^{n}dx$, per seriem quae quidem in omni casu extenditur per terminos numero infinitos, excepto tamen casu $m=-1$; ubi primo tantum termino remanente reliqui omnes evanescunt: series autem haec est $\int x^{m}{\textrm {l}}x^{n}dx={\frac {{\textrm {l}}x^{n+1}}{n+1}}+{\frac {{\overline {m+1}}^{1}.{\textrm {l}}x^{n+2}}{1.n+2}}+{\frac {{\overline {m+1}}^{2}.{\textrm {l}}x^{n+3}}{1.2.n+3}}+{\frac {{\overline {m+1}}^{3}{\textrm {.l}}x^{n+4}}{1.2.3.n+4}}{\textrm {etc.}}$, in qua omnes termini signo + afficiuntur, quamvis interim haec series hoc quoque laboret incommodo quod nihil determinati exprimat in casu $n=-1$. Juvat itaque duas hic habere series, ut sicubi una deficiat altera succurrere possit.

Miror autem Vir Eximie Te in generali mea serie assequi non posse qua arte extrahantur valores quantitatis $x$ ex ${\frac {x}{a+x}}$, ${\frac {x}{\sqrt {aa-xx}}}$, et quantitatis $s$ ex ${\frac {as-yy+sy}{ay-aa-as}}$, quandoquidem Te non fugit, posse integram aliquam seriem cujus termini sunt dati, tanquam quantitatem finitam et cognitam considerari; esto igitur totius seriei summa sive accurate sive approximando inventa $S$, erit in primo exemplo ${\frac {x}{a+x}}=S$, unde $x={\frac {aS}{1-S}}$; haud difficilius reperitur $x$ in altero et $s$ in tertio exemplo. Quodsi tamen, ut fere suspicor, desideres valores ejusmodi per novas series, fabricabis eas per continuam divisionem vel aliis multis modis qui non adeo difficiles sunt, quos autem nunc non expono ob rationem supra dictam; res utique succedit non tantum in hisce levioribus, sed in aliis quoque multo abstrusioribus, esto namque universalissime $a+bx+cxx+ex^{3}+fx^{4}{\textrm {etc.}}=l+my+nyy+py^{3}+qy^{4}{\textrm {etc.}}$ dico in potestate esse determinare valorem ipsius $x$ per seriem ex $y$ ejusque dignitatibus, et vicissim valorem ipsius $y$ per seriem ex $x$ eiusque dignitatibus compositam, per $a$, $b$, $c$ etc. ut et per $l$, $m$, $n$, etc. intellig[e] coefficientes datas: dico etiam quamlibet seriem $a+bz+czz+ez^{3}{\textrm {etc.}}$ non tantum quadrari sed ad quamcunque indefinitam dignitatem cujus exponens sit $n$ elevari posse. De his autem ut et de curva celerrimi descensus, pro qua singularem habeo methodum quam suadente Leibnitio nondum publicavi, item de Catenariis velariisque, de analysi aequationum harum $addx=dsdy$ et $addx=dy^{2}$ quarum solutiones a me inventas frater olim in Actis edidit; deque caeteris quae a me sciscitaris, alio tempore Tecum agam, et satisfacere conabor; nunc a nostro Hermanno vicissim salutatus vale et mihi fave.

Dabam Basileae a. d. XIV Kalend. Jun. MDCCVI

P. S. Si quid apud vos vicinisque Italiae regionibus peragatur vel in lucem prodeat quod ad Mathesin et cognata nostra studia spectet, gratissimum esset ejus me fieri participem.

---

Fussnoten

Zurück zur gesamten Korrespondenz