Hermann, Jacob an Scheuchzer, Johann Jakob (1704.01.30)

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Autor	Hermann, Jacob, 1678-1733
Empfänger	Scheuchzer, Johann Jakob, 1672-1733
Ort	Basel
Datum	1704.01.30
Briefwechsel	Hermann, Jacob (1678-1733)
Signatur	ZB Zürich. SIGN: Ms H 318, pp.325-326
Fussnote	Beilage: "Animadversiones circa modum metiendi Altitudines trigonometricum"

Vir Excellentissime et Celeberrime

Fautor et Amice honoratissime!

Non est quod Tibi multum gratuleris de meo erga Te Amore, quandoquidem ex Tua Amicitia incomparabiliter plus honoris et emolumenti in me redundet, quam Tibi utilis possit esse mea. Mearum itaque partium est, tanta humanitatis officia omnibus modis demereri; quod etiam summa Cum Voluptate oblata quacunque occasione pro Virium mearum Modulo faciam.

Taedet me tantum laboris me Tibi dedisse in procurandis Scriptoribus Italicis^[1] quorum in ultimis meis memini. Si possibile esset rogarem ut duo Exemplaria libri Castelli de Aquis fluentibus^[2] transmitterentur pro Cl. nostro Bernoulli^[3] unum alterum pro me. Gratias ago maximas, quod Catalogum Autorum Tuorum Mathematicorum^[4] una cum Woodwardi Geographia^[5] mittere mihi benevole pollicitus es; quod promissum libenter acceptarem si modo vices reddere possem. Gratias insuper habeo pro communicatione Calculi circa Altitudinem Montis Cujusdam in Praegallia^[6]. Angulus $BAC$ tantum 35′, nimis acutus mihi videtur, hoc est linea stationum $BC$ quae est 84 Co^[7] in Tuo schemate nimis parva respectu Montis^[8] cujus Altitudo quaeritur, quam ut quicquam certi ex calculo concludi possit, si vel maxime nulla ratio haberetur Refractionis quae tamen Objecta altiora conspicienda praebet quam revera sunt. Deinde facile calculo subducto probari potest ex Consideratione Trianguli $BAC$ cuju[s] Angulus obtusus $ABC$ , 131°, Ang. acut. $BCA$ , 48° 25′^[9] atque adeo Ang. $BAC$ , 35′; probari inquam potest Altitudinem Montis esse 4657 Co quae altitudo major adhuc est ea quam invenisti 2974 Co. Sed revera haec altitudo enormis mihi videtu[r.]^[10] Non satis intelligo unde veniat angulus $ACB$ , 28° 40′ in Triangulo Tuo separatim descripto quo uteris in Calculo pro Montis altitudine, nam in primo Tuo Triangulo dixisti eum Angulum esse 48° 25′. Sed Calculum proxime faciam et ostendam Altitudinem Montis fore 4657 Co^[11] ut modo dixi, quod fluit ex eo quod Angulum $ACB$ assumam 48° 25′ ut in primo Tuo schemate descriptus est.

Quantum ad Refractiones Radiorum quae faciunt ut curva Via ab Objectis altis ad Oculos nostros veniant; sic probo eas dari: Sit Mons $CB$ . Spectator in $D$ .^[12] Radius $BND$ veniens a summitate^[13] Montis $B$ . Lineae $AB$ , $FG$ , $Hh$ , $IK$ etc.; parallelae dirimentes Aerem diversarum densitatum. Iam Certum est Aerem qui est inter lineas $AB$ , et $FG$ rariorem esse eo qui est inter $FG$ et $Hh$ ; quia minus sibi incumbens sentit prementis Aeris pondus; eandem ob rationem Aer inter $FG$ et $Hh$ rarior erit quam ille qui est inter $Hh$ et $IK$ et ita ubique.^[14] Quia igitur Aer in $Fh$ densior est Aere in $AG$ ; sequitur Radium $BE$ non pergere mov[...] in linea $LE$ producta ipsius $BE$ , sed refringi in $EN$ accedendo magis ad perpendicularem $aEb$ ; Ita $EN$ non tendet via recta in $M$ sed refringetur in $O$ et hoc continget ubique ita quid[em] ut Radius $BE$ post innumeras refractiones demum via Curvilinea $BNOD$ versus spectatorem veniat. Sit jam $DZ$ tangens hujus Curvae in $D$ ubi radius Curvilineus oculum $D$ intrat, et quia haec tangens $DZ$ eandem directionem habet in $D$ quam ipsa Curva $BD$ , sequitur summitatem Montis $B$ visum iri in concursu hujus Tangentis et verticalis $BX$ productae quantum opus est; unde manifesto patet punctum $B$ hoc pacto multo altius apparere quam revera est. At quia Tabellarius in procinctu est abeundi mihi jam non licet esse prolixiori quapropter hic finio, reliqua hisce addenda proximae reservans occasioni.^[15] Vale Vir Celeberrime meque Amare perge

Qui sum Incluti Nominis Tui Cultor perpetuus Hermannus

Basileae 30 Ian. 1704.^[16]

Animadversiones circa modum metiendi Altitudines trigonometricum.^[17]

Altimetria quantum Trigonometria absolvitur in majoribus altitudinibus plane fallax est, eam praecipue ob rationem, quod radii solares qui a locis elevatis superne in observatorum oculos illabuntur rectilinei esse statuantur quos tamen lineas curvas esse ex jam dicendis patebit.

I. Experimenta Barometrica satis superque probant aerem in altioribus locis rariorem esse quam in depressioribus. Unde statim colligere est radium aliquem ex loco alto in linea recta oblique descendere non posse, sed potius innumeris refractionibus ita obnoxium fore, ut linea Curva inde prodeat.

II. Natura autem Curvi hujusmodi Radii definiri non potest, nisi quaedam lex statuatur secundum quam aeris densitas in variis sui[s] altitudinibus mutatur. Ponamus ergo Aeris densitates in eadem proportione crescere ac sunt altitudines ejus; quod adjecta Figura melius intelligi potest.

Sit punctum $A$ apex cujusd[a]m^[18] Montis, $AC$ altitudo Atmosphaerae supra apicem montis; Densitas aeris in $A$ repraesentetur per lineam $AD$ . Iunctis jam punctis $C$ et $D$ recta $CDF$ , erit densitas Aeris in $H$ designanda per rectam $HF$ , quia Aeris densitates ex hyp. sunt ut altitudines ab athmosphaera; h. e. $AD$ est ad $HF$ ut altitudo $AC$ est ad altitudinem $HC$ . Sit jam Curva $AB$ radius descendens ex $A$ , quaeritur ejus natura in hac constituta hypothesi?

Sint $CA=a$ , $AD=b$ , $CH=x$ , $BH=y$ . Fiat $CH.CA::AD.HE$ vel analytice $x.a::b.{\frac {ab}{x}}=HE$ .^[19] Sed $HE$ repraesentat raritatem aeris in $H$ si $HF$ ejusdem densitatem repraesentat.^[20] Celeberr. Bernoullius junior in Act. Lips. A.^o 1697 pag. 208^[21] demonstravit, quod existente $dx$ differentiali ipsius $x$ , $dy$ diff. ipsius $y$ ; futurum sit $dy={\frac {tdx}{\sqrt {ff-tt}}}$ ubi per $t$ intelligit raritatem quae respondet altitudini $x$ ; adeoque erit in nostro casu ut modo probavimus $t={\frac {ab}{x}}$ ; $f$ vero pro lubitu accipienda linea constans;^[22] eritque ergo $dy={\frac {abdx}{\sqrt {ffxx-aabb}}}$ ; fiat $fc=ab$ et aequatio mutabitur in $dy={\frac {cdx}{\sqrt {xx-cc}}}$ ubi si loco $x$ posueris ${\frac {cc+uu}{2u}}$ , locoque $dx$ , ${\frac {{\overline {uu-cc}}du}{2uu}}$ ; mutabitur $dy={\frac {cdx}{\sqrt {xx-cc}}}$ in $dy=-{\frac {cdu}{u}}$ , quae ultima aequatio indicat Curvam Radii luminosi $AB$ , esse Logarithmicam Curvam, quae^[23] sic breviter conservetur.

Lineae $AC$ altitudinem Athmospherae vel aeris altitudinem repraesentantis, in utraque extremitatum, ut ex $A$ et $C$ , ducendae sunt perpendiculares indefinitae $AR$ , $CS$ , et ex superiore $CS$ , abscissa qualibet $CO$ arbitrariae longitudinis, centro $C$ . Atque per punctum $O$ Hyperbola aequilatera ducatur, rectam indefinitam $AR$ in $P$ intersecans, ductaque ex $P$ normalis $PQ$ ad $SC$ , tam diu versus $N$ producetur donec $NQ$ ipsi $QC$ aequalis fiat, quo facto et per $N$ ipsi $SC$ parallela ducta ut $TM$ ; super eadem hac indefinita $TM$ tanquam axe aut Asymptoto construatur Logarithmica transiens per verticem Montis $A$ cujus subtangens sit recta $OC$ . Dico Hanc Logarithmicam $AB$ curvaturam esse radii a summitate montis $A$ venientis in $B$ . Q. E. F.^[24]

Ex hac Constructione patet, quod, quia $OC$ arbitrariae longitudinis assumpta fuit, variando hanc $OC$ innumerae Logarithmicae $AB$ per $A$ transeuntes hoc pacto construi possint quae omnes radios solis a vertice Montis venientes referent.

Ex dictis itaque liquet quid de Variis modis altimetricis judicandum sit a Varenio in sua Geograph. Libr. I, Cap. IX in medium allatis.^[25]

De caetero nolim neque ausim certo affirmare radios solis habere curvaturam Logarithmicam, quia aer nunquam ita purus est ut omnibus vaporibus aqueis destitutus sit: quoniam ergo multis particulis aqueis impraegnatus est et aqua aliam refractionis admittit legem atque aer; facile est exin judicare quod anomalia haec ne quaquam permittat ut radii perfectas logarithmicas describant sed curvas iis eo magis accedentes quo minus vaporibus impletus aer existit.^[26]

Fussnoten

↑ Hermann bat Scheuchzer in seinem Brief von 1704.01.23 um die in Basel offenbar zahlreich vorhandenen italienischen Publikationen.
↑ Castelli, Benedetto, Della misura dell'acque correnti, Roma (Stamparia Camerale) 1628. Die Schrift zirkulierte in mehreren Neuausgaben, unter denen eine dritte erweiterte aus Bologna von 1760.
↑ Johann I Bernoulli (1667-1748).
↑ Dieser Hermann im Brief von 1704.01.12 versprochene Katalog der mathematischen Bücher aus Scheuchzers Bibliothek ist also noch nicht eingetroffen.
↑ Woodward, John, Specimen geographiae physicae quo agitur de terra, et corporibus terrestribus speciatim mineralibus: nec non mari, fluminibus, et fontibus. Accedit Diluvii universalis effectuumque ejus in terra descriptio, Tiguri [Zürich] (D. Gessner) 1704.
↑ Bergell.
↑ Hermanns Symbol für die verwendete Längeneinheit "Co" bedeutet vermutlich "calceo" ("in Schuh"). Scheuchzer verwendet nämlich bei seinen barometrischen Höhenbestimmungen als Basiseinheit der Länge den dezimalgeteilten Zürcher Schuh. Siehe die entsprechende Anmerkung im Brief Johann Jakob Scheuchzer an Hermann von 1704.01.12. Die Basis der Zürcher Längenmasse war der Schuh oder Fuss. Der Fuss war in 12 Zoll zu je 12 Linien mit je 12 Scrupeln unterteilt. Daneben gab es aber auch den dezimal geteilten Fuss zu 10 Zoll zu je 10 Linien mit je 10 Scrupeln. Eine dezimalgeteilte Zürcher Rute hatte 10 Schuh Länge, während eine Pariser toise 6 pieds zu je 12 pouces zu je 12 lignes mit je 12 douzièmes (Scrupel) umfasste. Als Umrechnungsfaktor ins metrische System gilt heute: 1 Zürcher Schuh (oder Fuss) = ca. 30,138 cm. Siehe dazu Bindschedler, Martin, Masse und Gewichte in Stadt und Kanton Zürich, Auszug aus: "Allgemeine Angaben und vorläufige Ergebnisse zur Geschichte der Familie Bindschedler", Stand der Forschung 2010, Zürich 2010 (Online), p. 5. Dieser Umrechnungsfaktor gibt im Folgenden einigermassen realistische Grössenordnungen.
↑ Es handelt sich laut Brief von 1704.02.06 um den Piz delle nuove im Bergell.
↑ Hier und im Folgenden wurden die Kommata zwischen der Grad- und der Minutenangabe bei den Winkelgrössen weggelassen.
↑ Textverlust wegen abgenutztem Seitenrand.
↑ Hermanns Nachberechnung der Berghöhe auf Grund von Scheuchzers Angaben von Basislänge und Höhenwinkel ergeben unter der Annahme von 1 Zürcher Schuh = 0,30138 m eine Höhe von 1404 m über der Basis. Scheuchzer hat jedoch nur ca. 896 m erhalten. Aus Hermanns Brief von 1704.02.06 geht hervor, dass Scheuchzer für seine trigonometrische Höhenmessung in diesem Fall nicht - wie Hermann voraussetzte - eine horizontale, sondern eine geneigte Basis benutzt hatte. Dies hatte Scheuchzer ihm wahrscheinlich in seinem Brief von 1704.02.04 mitgeteilt, der nur im Entwurf erhalten ist und an der betreffende Stelle den Text durch "etc. etc. etc." ersetzt hat. Hermanns Berechnungen trafen daher auf den konkreten Fall gar nicht zu.
↑ Dieser Punkt wurde ergänzt.
↑ Im Manuskript steht "sumitate".
↑ Dieser Punkt wurde ergänzt.
↑ Hermann zeigt in diesen Ausführungen lediglich, warum durch die kontinuierliche Refraktion eines Lichtstrahls in den an Dichte von oben nach unten zunehmende Luftschichten der Atmosphäre eine gekrümmter Sehstrahl entsteht, so dass ein Berg für einen Beobachter im Tal höher erscheint, als er wirklich ist. Die genaue Identifikation der Kurve als Logarithmica nimmt Hermann erst in der nachfolgenden Beilage Modus metiendi altitudines (1704) (= Na. 101) vor.
↑ Hier folgt eine Notiz von der Hand Johann Jakob Scheuchzers: "Ad confirmationem horum vide Mesure de la Terre de l'Acad. des Sciences, Paris 1671, p. 27." Es handelt sich um dem Bericht der trigonometrischen Vermessung des Meridians Paris-Amiens durch Jean Picard. Im Aufsatz [Picard, Jean], Mesure de la Terre, Paris (Imprimerie Royale) 1671, beginnt auf p. 27 das Kapitel "Description d'un instrument propre à observer le Niveau".
↑ Es handelt sich beim folgenden Text um Hermann, Jacob, Modus metiendi altitudines (1704) (= Na. 101). Diese Beilage wurde erstmals als eigenes Opus aufgeführt in: Nagel, Fritz, A Catalog of the Works of Jacob Hermann (1678-1733), in: Historia Mathematica 18 (1991), pp. 36-54. Scheuchzer gibt Hermanns Ausführungen zur trigonmetrischen Höhenmessung unter Berücksichtigung der atmosphärischen Refraktion mit lobender Erwähnung Hermanns und unter Beigabe von dessen Figuren in deutscher Sprache wieder in: Scheuchzer, Johann Jakob, Schweizerische Berg-Reisen (Beschreibung der Natur-Geschichten des Schweizerlands, Teil 3), Zürich (M. Schaufelberger/Chr. Hardmeyer) 1708, pp. 159-160, nebst Figur III und IV auf der dort beigefügten Tafel.(Digitalisat). Johann Jakob Scheuchzer bezieht sich auf die vorliegenden Ausführungen Hermanns auch in einem handschriftlichen Text erhalten in: ZB Zürich Ms H 347, fo. 62r/v (Digitalisat in e-manuscripta).
↑ Im Manuskript steht "cujusdm".
↑ Gemeint ist hier $x.a::b.{\frac {ab}{x}}$ mit ${\frac {ab}{x}}=HE$ . Das Gleichheitszeichen im Text bezieht sich also nur auf den Bruch ${\frac {ab}{x}}$ .
↑ Hermann unterscheidet hier "raritas" und "densitas" des Mediums Luft. Wenn - wie hier angenommen - die "densitas" der Entfernung $x$ von $C$ direkt proportional ist, ist die "raritas" $t$ eine Hyperbelfunktion von $x$ , wobei für Hermann $HE=f\cdot {\frac {1}{t}}$ mit $f=$ const. gilt.
↑ Bernoulli, Johann I, Curvatura radii in diaphanis non uniformibus ... (= Op. XXXVII). Johann I Bernoulli identifiziert hier die Brachystochrone (die Bahnkurve des schnellsten Falls) als Zykloide mittels einer Analogie aus der Optik, nämlich der Bewegunge eines Lichtstrahls in einem Medium unterschiedlicher "raritas". Die "raritas" des Mediums nimmt hierbei von oben nach unten zu, während bei Hermanns Überlegungen die "raritas" der Luft nach unten abnimmt, da die "densitas" zunimmt.
↑ Hermann verwendet hier den Buchstaben f zur Bezeichnung der Geraden $CDF$ . In der obigen von Johann Bernoulli übernommenen Formel bezeichnet er hingegen mit $f$ den bei Bernoulli mit $a$ bezeichneten Proportionalitätsfaktor, der den Brechungswinkel des Lichtstrahls mit der Vertikalen in einer bestimmten Höhe mit der Dichte des Mediums in dieser Höhe gemäss sin $\alpha ={\frac {a}{t}}$ verbindet.
↑ Im Manuskript steht "qae".
↑ Q. E. F.= Quod Erat Faciendum.
↑ Varenius, Bernhard, Geographia generalis, in qua affectiones generales Telluris explicantur, Amstelodami (L. Elzevier) 1650, lib. 1, c. IX.
↑ Hermann erkennt klar, dass wegen der Abhängigkeit der Dichte der Luft von deren Temperatur und Feuchtigkeit die Kurve des Lichtstrahls nie eine genaue Logarithmica sein kann.

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[1] Hermann bat Scheuchzer in seinem Brief von 1704.01.23 um die in Basel offenbar zahlreich vorhandenen italienischen Publikationen.

[2] Castelli, Benedetto, Della misura dell'acque correnti, Roma (Stamparia Camerale) 1628. Die Schrift zirkulierte in mehreren Neuausgaben, unter denen eine dritte erweiterte aus Bologna von 1760.

[3] Johann I Bernoulli (1667-1748).

[4] Dieser Hermann im Brief von 1704.01.12 versprochene Katalog der mathematischen Bücher aus Scheuchzers Bibliothek ist also noch nicht eingetroffen.

[5] Woodward, John, Specimen geographiae physicae quo agitur de terra, et corporibus terrestribus speciatim mineralibus: nec non mari, fluminibus, et fontibus. Accedit Diluvii universalis effectuumque ejus in terra descriptio, Tiguri [Zürich] (D. Gessner) 1704.

[6] Bergell.

[7] Hermanns Symbol für die verwendete Längeneinheit "Co" bedeutet vermutlich "calceo" ("in Schuh"). Scheuchzer verwendet nämlich bei seinen barometrischen Höhenbestimmungen als Basiseinheit der Länge den dezimalgeteilten Zürcher Schuh. Siehe die entsprechende Anmerkung im Brief Johann Jakob Scheuchzer an Hermann von 1704.01.12. Die Basis der Zürcher Längenmasse war der Schuh oder Fuss. Der Fuss war in 12 Zoll zu je 12 Linien mit je 12 Scrupeln unterteilt. Daneben gab es aber auch den dezimal geteilten Fuss zu 10 Zoll zu je 10 Linien mit je 10 Scrupeln. Eine dezimalgeteilte Zürcher Rute hatte 10 Schuh Länge, während eine Pariser toise 6 pieds zu je 12 pouces zu je 12 lignes mit je 12 douzièmes (Scrupel) umfasste. Als Umrechnungsfaktor ins metrische System gilt heute: 1 Zürcher Schuh (oder Fuss) = ca. 30,138 cm. Siehe dazu Bindschedler, Martin, Masse und Gewichte in Stadt und Kanton Zürich, Auszug aus: "Allgemeine Angaben und vorläufige Ergebnisse zur Geschichte der Familie Bindschedler", Stand der Forschung 2010, Zürich 2010 (Online), p. 5. Dieser Umrechnungsfaktor gibt im Folgenden einigermassen realistische Grössenordnungen.

[8] Es handelt sich laut Brief von 1704.02.06 um den Piz delle nuove im Bergell.

[9] Hier und im Folgenden wurden die Kommata zwischen der Grad- und der Minutenangabe bei den Winkelgrössen weggelassen.

[10] Textverlust wegen abgenutztem Seitenrand.

[11] Hermanns Nachberechnung der Berghöhe auf Grund von Scheuchzers Angaben von Basislänge und Höhenwinkel ergeben unter der Annahme von 1 Zürcher Schuh = 0,30138 m eine Höhe von 1404 m über der Basis. Scheuchzer hat jedoch nur ca. 896 m erhalten. Aus Hermanns Brief von 1704.02.06 geht hervor, dass Scheuchzer für seine trigonometrische Höhenmessung in diesem Fall nicht - wie Hermann voraussetzte - eine horizontale, sondern eine geneigte Basis benutzt hatte. Dies hatte Scheuchzer ihm wahrscheinlich in seinem Brief von 1704.02.04 mitgeteilt, der nur im Entwurf erhalten ist und an der betreffende Stelle den Text durch "etc. etc. etc." ersetzt hat. Hermanns Berechnungen trafen daher auf den konkreten Fall gar nicht zu.

[12] Dieser Punkt wurde ergänzt.

[13] Im Manuskript steht "sumitate".

[14] Dieser Punkt wurde ergänzt.

[15] Hermann zeigt in diesen Ausführungen lediglich, warum durch die kontinuierliche Refraktion eines Lichtstrahls in den an Dichte von oben nach unten zunehmende Luftschichten der Atmosphäre eine gekrümmter Sehstrahl entsteht, so dass ein Berg für einen Beobachter im Tal höher erscheint, als er wirklich ist. Die genaue Identifikation der Kurve als Logarithmica nimmt Hermann erst in der nachfolgenden Beilage Modus metiendi altitudines (1704) (= Na. 101) vor.

[16] Hier folgt eine Notiz von der Hand Johann Jakob Scheuchzers: "Ad confirmationem horum vide Mesure de la Terre de l'Acad. des Sciences, Paris 1671, p. 27." Es handelt sich um dem Bericht der trigonometrischen Vermessung des Meridians Paris-Amiens durch Jean Picard. Im Aufsatz [Picard, Jean], Mesure de la Terre, Paris (Imprimerie Royale) 1671, beginnt auf p. 27 das Kapitel "Description d'un instrument propre à observer le Niveau".

[17] Es handelt sich beim folgenden Text um Hermann, Jacob, Modus metiendi altitudines (1704) (= Na. 101). Diese Beilage wurde erstmals als eigenes Opus aufgeführt in: Nagel, Fritz, A Catalog of the Works of Jacob Hermann (1678-1733), in: Historia Mathematica 18 (1991), pp. 36-54. Scheuchzer gibt Hermanns Ausführungen zur trigonmetrischen Höhenmessung unter Berücksichtigung der atmosphärischen Refraktion mit lobender Erwähnung Hermanns und unter Beigabe von dessen Figuren in deutscher Sprache wieder in: Scheuchzer, Johann Jakob, Schweizerische Berg-Reisen (Beschreibung der Natur-Geschichten des Schweizerlands, Teil 3), Zürich (M. Schaufelberger/Chr. Hardmeyer) 1708, pp. 159-160, nebst Figur III und IV auf der dort beigefügten Tafel.(Digitalisat). Johann Jakob Scheuchzer bezieht sich auf die vorliegenden Ausführungen Hermanns auch in einem handschriftlichen Text erhalten in: ZB Zürich Ms H 347, fo. 62r/v (Digitalisat in e-manuscripta).

[18] Im Manuskript steht "cujusdm".

[19] Gemeint ist hier $x.a::b.{\frac {ab}{x}}$ mit ${\frac {ab}{x}}=HE$ . Das Gleichheitszeichen im Text bezieht sich also nur auf den Bruch ${\frac {ab}{x}}$ .

[20] Hermann unterscheidet hier "raritas" und "densitas" des Mediums Luft. Wenn - wie hier angenommen - die "densitas" der Entfernung $x$ von $C$ direkt proportional ist, ist die "raritas" $t$ eine Hyperbelfunktion von $x$ , wobei für Hermann $HE=f\cdot {\frac {1}{t}}$ mit $f=$ const. gilt.

[21] Bernoulli, Johann I, Curvatura radii in diaphanis non uniformibus ... (= Op. XXXVII). Johann I Bernoulli identifiziert hier die Brachystochrone (die Bahnkurve des schnellsten Falls) als Zykloide mittels einer Analogie aus der Optik, nämlich der Bewegunge eines Lichtstrahls in einem Medium unterschiedlicher "raritas". Die "raritas" des Mediums nimmt hierbei von oben nach unten zu, während bei Hermanns Überlegungen die "raritas" der Luft nach unten abnimmt, da die "densitas" zunimmt.

[22] Hermann verwendet hier den Buchstaben f zur Bezeichnung der Geraden $CDF$ . In der obigen von Johann Bernoulli übernommenen Formel bezeichnet er hingegen mit $f$ den bei Bernoulli mit $a$ bezeichneten Proportionalitätsfaktor, der den Brechungswinkel des Lichtstrahls mit der Vertikalen in einer bestimmten Höhe mit der Dichte des Mediums in dieser Höhe gemäss sin $\alpha ={\frac {a}{t}}$ verbindet.

[23] Im Manuskript steht "qae".

[24] Q. E. F.= Quod Erat Faciendum.

[25] Varenius, Bernhard, Geographia generalis, in qua affectiones generales Telluris explicantur, Amstelodami (L. Elzevier) 1650, lib. 1, c. IX.

[26] Hermann erkennt klar, dass wegen der Abhängigkeit der Dichte der Luft von deren Temperatur und Feuchtigkeit die Kurve des Lichtstrahls nie eine genaue Logarithmica sein kann.

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