Bernoulli, Johann I an Hermann, Jacob (1704.01.26)

Kurzinformationen zum Brief       mehr ...
Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Hermann, Jacob, 1678-1733
Ort	Groningen
Datum	1704.01.26
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 659, Nr.2
Fussnote	Autographe Korrekturen

Viro Doctissimo et Praestantissimo

Jacobo Hermanno S. S. Min. Cand.

S. P. D.

Joh. Bernoulli

Ut ad binas Tuas litteras respondeam simul, ante omnia gratias ago pro duplici voto, quo duplicem meam vocationem prosequi atque prolixissimae erga me benevolentiae affectum testari voluisti. Gavisus equidem sum cum intelligerem Te non abhorrere ab extranea quadam statione, sed potius eam accepturum et Parentes Tuos lubenter in id consensuros; quod si autem certus essem hunc Tibi serio animum esse, neque Tuos Parentes reluctaturos, nosci forte posset occasio citius quam putaris, qua Te non sine fructu commendare possem, jam enim aliquid bonis avibus molitus sum. De qua re plura alias.

Bene est quod Tibi probentur quae in Fatianam dissertationem de gravitate annotavi, nec est quod addas "quamquam effluvia magnetica ipsum quaque aurum pervadentia satis probant magnam auri porositatem", distinguendum enim est inter porositatem et raritatem corporum, effluvia illa probant tantum pororum multitudinem non amplitudinem, possunt pori quamvis innumerabiles occupare partem voluminis quantumvis exiguam; modo effluvia satis subtilia supponamus ut promtissime poros pervadere possint, adeo ut hoc argumentum Fatianum ab effluviis corporum poros pervadentibus desumptum, non magis probet raritatem eorum corporum, quam subtilitatem effluviorum.

Quod responsio mea ad Tuam difficultatem circa curvam quam mobile gravitate sua decurrens aequali vi ubique premat, Tibi plenissime satisfecerit, laetus intellexi; video autem te non animadvertisse, quod festinanter scribendo lapsum leviorem commiserim, nam quando dixi fundamentum solutionis consistere in hoc, "Quadratum celeritatis acquisitae etc." dicere debebam "quadruplex quadratum celeritatis acquisitae"; jam pro natura curvae quaesitae alia reperitur aequatio, nempe haec $dx={\frac {ndy{\sqrt {y}}\pm dy{\sqrt {b}}}{\sqrt {y-nny\mp 2n{\sqrt {by}}-b}}}$, ubi si $n$ ponitur $=0$, habebitur $dx={\frac {dy{\sqrt {b}}}{\sqrt {y-b}}}$, adeoque $x=2{\sqrt {by-bb}}$; id est hoc casu ubi curva premitur ubique vi infinite parva seu nulla, erit tunc parabola, et hoc aliunde jam patet, curva enim quaesita debet illa esse, quam grave projectum libere describit, hanc vero parabolam esse jam Galilaeus demonstravit. Quod si $n=1$ id est si velimus curvam premi vi ubique aequali ipsi mobilis ponderi, curva erit iterum algebraica nam erit $dx={\frac {dy{\sqrt {y}}-dy{\sqrt {b}}}{\sqrt {4by-b}}}$ id quod est integrabile. Haec Tibi excerpo ex litteris olim meis ad Hospitalium, cui hoc problema solutum dedi et alia multa ad vim centrifugam pertinentia, quae me rogaverat; ille vero nunc haec omnia cum publico communicavit in Actis Acad. Scient. anni 1700 pag. 9 quae nuper prodierunt: miror et rideo Hospitalium jam ante mortem meam vitula mea tam scite ara[n]tem; si quondam ejus litteras ad me et meas ad ipsum responsiones publici juris facerem, certe non aliter quam cornicula in fabula orbi erudito sisteretur deplumis. Pro curva aequalis ubique vis centrifugae a sola actuali celeritate acquisita genitae, invenio aequationem Tuam adhuc nonnihil simpliciorem hanc ${\frac {dyly}{\sqrt {aa-\square ly}}}=dx$, supponendo scilicet ${\frac {dsdy}{ddx}}=y$ et $ds$ seu elementum curvae constans.

Inventio seriei Moyvraeanae cujus Auctor tantum mysterium facit tota quanta nititur methodo illa ab Ampliss. Leibnitio primum ed[ita] in Actis Lips. an. 1693 pag. 178; quae procedit per assumtionem alicujus seriei terminorum coefficientibus assumtitiis affectorum. Ecce ergo mysterium. Si $az+bzz+cz^{3}+dz^{4}+ez^{5}+fz^{6}{\textrm {etc.}}=gy+hyy+iy^{3}+ky^{4}+ly^{5}+my^{6}{\textrm {etc.}}$ quaeritur quid sit $z$; ponatur $z=Ay+Byy+Cy^{3}+Dy^{4}+{\textrm {etc.}}$ erit sumendo potestates hujus seriei, easque multiplicando per $a$, $b$, $c$, $d$ etc.

$\left.{\begin{array}{lllllllllllll}az&=&aAy&+&aByy&+&aCy^{3}&+&aDy^{4}&+&aEy^{5}&{\textrm {etc.}}\\bzz&=&&&bAAyy&+&2bABy^{3}&+&2bACy^{4}&+&2bADy^{5}&{\textrm {etc.}}\\&&&&&&&&bBBy^{4}&+&2bBCy^{5}&{\textrm {etc.}}\\cz^{3}&=&&&&&cA^{3}y^{3}&+&3cAABy^{4}&+&3cAACy^{5}&{\textrm {etc.}}\\&&&&&&&&&+&3cABBy^{5}&{\textrm {etc.}}\\dz^{4}&=&&&&&&&dA^{4}y^{4}&+&4dA^{3}By^{5}&{\textrm {etc.}}\\ez^{5}&=&&&&&&&&&eA^{5}y^{5}&{\textrm {etc.}}\\{\textrm {etc.}}&&&&&&&&&&{\textrm {etc.}}&{\textrm {etc.}}\end{array}}\right\}=gy+hyy+iy^{3}+ky^{4}+ly^{5}{\textrm {etc}}$ .

Comparando itaque coefficientes terminorum homogeneorum habebitur $aA=g$, $aB+bAA=h$, $aC+2bAB+cA^{3}=i$, $aD+2bAC+bBB+3cAAB+dA^{4}=k$, $aE+2bAD+2bBC+3cAAC+3cABB+4dA^{3}B+eA^{5}=l$, etc. unde coefficientes quaesitae erunt $A={\frac {g}{a}},$ $B={\frac {h-bAA}{a}},$ $C={\frac {i-2bAB-cA^{3}}{a}},$ $D={\frac {k-2bAC-bBB-3cAAB-dA^{4}}{a}}$ , $E={\frac {l-2bAD-2bBC-3cAAC-3cABB-4dA^{3}B-eA^{5}}{a}}{\textrm {etc.}}$ ergo $z={\frac {g}{a}}y+{\frac {h-bAA}{a}}yy+{\frac {i-2bAB-cA^{3}}{a}}y^{3}+{\frac {k-2bAC-bBB-3cAAB-dA^{4}}{a}}y^{4}+{\frac {l-2bAD-2bBC-3cAAC-3cABB-4dA^{3}B-eA^{5}}{a}}y^{5}+{\textrm {etc.}}$, prorsus ut habet Moyvraeus, vides itaque hic ejus sacra Eleusinia detecta, et simul rationem cur non inchoaverit seriem propositam $gy+hyy+iy^{3}{\textrm {etc}}$. a quantitate pura, nam si haec haberetur aequatio $az+bzz+cz^{3}{\textrm {etc.}}=g+hy+iyy{\textrm {etc.}}$ tunc coëfficientes comparandae cum datis forent numero infinitae adeoque determinari non possent; nondum ergo satisfecit Moivraeus quaestioni quando primus terminus alterutrius seriei est quantitas parva.

Ut Tibi nunc patefaciam fontem alterius theorematis Moivraeani seriem scilicet quampiam infinitam ad datam potestatem $m$ elevare, quod cum priori modo demonstrato maximi facere Moivraeum dixisti in primis Tuis litteris ad me datis, quamvis ejus formulam non expresseris, ecce quomodo eam eruo ex principiis calculi exponentialium a me publicatis in Act. Lips. an. 1697 pag. 125 et seqq. Esto ${\overline {a+by+cyy+ey^{3}+fy^{4}{\textrm {etc.}}}}^{m}=z$, adeoque sumendo logarithmos $m{\textrm {l.}}{\overline {a+by+cyy+ey^{3}}}{\textrm {etc.}}={\textrm {l.}}z$, eosque differentiando ut in loco citato docui ${\frac {b+2cy+3eyy+4fy^{3}{\textrm {etc.}}}{a+by+cyy+ey^{3}+fy^{4}{\textrm {etc.}}}}mdy={\frac {dz}{z}}$ posito itaque nunc $z=A+By+Cyy+Ey^{3}+Fy^{4}{\textrm {etc.}}$ ut habeatur ${\frac {dz}{z}}={\frac {B+2Cy+3Eyy+4Fy^{3}{\textrm {etc.}}}{A+By+Cyy+Ey^{3}{\textrm {etc.}}}}dy$ quod per consequens = ${\frac {b+2cy+3eyy+4fy^{3}{\textrm {etc.}}}{a+by+cyy+ey^{3}{\textrm {etc.}}}}mdy$ unde multiplicando series per crucem proveniet haec aequatio

$\left.{\begin{array}{lllllllllllllllllll}aB+2aCy+3aEyy+4aFy^{3}{\textrm {etc.}}&&bA+bBy+bCyy+bEy^{3}&{\textrm {etc.}}\\\qquad \quad +bBy+2bCyy+3bEy^{3}{\textrm {etc.}}&&+2cAy+2cByy+2cCy^{3}&{\textrm {etc.}}\\&=&\\\qquad \qquad \qquad +cByy+2cCy^{3}{\textrm {etc.}}&&\qquad \qquad +3eAyy+3eBy^{3}&{\textrm {etc.}}\\\qquad \qquad \qquad +eBy^{3}{\textrm {etc.}}&&\qquad \qquad \qquad \qquad +4fAy^{3}&{\textrm {etc.}}\end{array}}\right\}\times m$

et comparando coefficientes terminorum homogeneorum, erit $aB=mbA$, $bB+2aC=mbB+2mcA$, $cB+2bC+3aE=mbC+2mcB+3meA$, $eB+2cC+3bE+4aF=mbE+2mcC+3meB+4mfA$, etc., id quod dat (cum primus terminus $A$ necessario sit $a^{m}$) $A=a^{m}{\textrm {,}}$ $B={\frac {mbA}{a}}{\textrm {,}}$ $C={\frac {{\overline {m-1}}\cdot bB+2mcA}{2a}}{\textrm {,}}$ $E={\frac {{\overline {m-2}}\cdot bC+{\overline {2m-1}}\cdot cB+3meA}{3a}}$ , $F={\frac {{\overline {m-3}}\cdot bE+{\overline {2m-2}}\cdot cC+{\overline {3m-1}}\cdot eB+4mfA}{4a}}$, adeoque $z$ seu ${\overline {a+by+cyy+ey^{3}{\textrm {etc.}}}}^{m}$ $=a^{m}+{\frac {mbA}{a}}y+{\frac {{\overline {m-1}}\cdot bB+2mcA}{2a}}yy+{\frac {{\overline {m-2}}\cdot bC+{\overline {2m-1}}\cdot cB+3meA}{3a}}y^{3}+$${\frac {{\overline {m-3}}\cdot bE+{\overline {2m-2}}\cdot cC+{\overline {3m-1}}\cdot eB+4mfA}{4a}}y^{4}$ etc. cujus progressionis natura leviter attendenti facile patet adeoque nullo negotio quousque lib[uerit], continuari poterit. Nunc ergo judica an haec duo theoremata tant[i] sint, quanti ea aestimat Moyvraeus. Alia meo judicio abstrusiora latent, in progressionibus finitis earumque summis per compendium inveniendis, habemus quidem regulas vulgares pro summandis progressionibus arithmeticis et geometricis, item numerorum figuratorum, et forte pro paucis aliis; sed sunt quaedam quae plus industriae requirere videntur, ita ego inveni modum summandi progressionem arithmetice proportionalium ad quamcunque potestatem elevatorum, et quousque placet continuatorum; ut Tibi salivam moveam des mihi summam totius hujus progressionis $1^{10}+2^{10}+3^{10}+4^{10}+5^{10}\dots +1000^{10}$ quam intra quadrantem horae assignare possum; proponas idem (si placet) fratri meo, habebit quo leniat dolores podagricos, si cogitationes ab iis abstraxerit et huic quaesti[oni] studiose applicare voluerit; prae[lat]issimum est remedium.

Quod de Tschirnhausio dicis tam saepe paralogizante plane non miror; errare enim non tantum solenne sed et in deliciis ipsi esse videtur; notasti eum bis peccantem in eadem re, ego vero ante aliquot annos cum me corrigere vellet, ostendi ei eundem lapsum quater commisisse, circa comparationem arcuum parabolicorum, et haud dubie fuisset risui expositus post tot deliria, nisi Cl. Menkenius ejus schediasmata quibus me redarguere volebat suppressisset, meum vero quod demonstrationem continebat antequam imprimeret cum eo communicasset; quo viso sententiam suam protinus mutavit, et prioribus suis schediasmatis retractis substituit aliud, quo inventionis laudem si non sibi omnino arrogare saltem mecum partiri voluit, cum tamen paulo ante in contraria esset sententia et prius meum schediasma quod sine demonstratione Lipsiam transmiseram et ipsi Menkenius pariter communicabat, erroneum praedicaret diceretque arcuum parabolicorum rationem algebraicam algebraice assignare non posse, quemadmodum de his omnibus si opus esset testari possent litterae Tschirnhausii ad Menkenium et Leibnitium quarum copiam hi mihi fecerunt, et meae responsiones ad Ampl. Leibnitium et Menkenium. Vides hinc quam parum candide mecum actum fuerit quod in Actis Lips. an. 1698 eidem mensi Junio ambo nostra schediasmata fuerint inserta imo Tschirnhausianum quod ex meo reformatum est meo fuerit praefixum et tamen nihil solidi adhuc continet dissimulato interim quicquid antea inter nos privatim actum fuerat; Ampl. Leibnitius qui totam historiam novit utpote per cujus manus litterae nostrae expediebantur, utriusque et Tschirnhausii et Menkenii procedendi modum ex animo detestatus est; Haec et alia multiplex est causa, cur nomen meum in Actis tam frequenter, ut solebat, amplius non compareat. Jam olim observavi in Menkenio quod popularem suum Tschirnhausium erroris convinci non valde amaret, cum enim in peculiari quodam schediasmate modeste quidem et candide sed nonnihil apertius errorem Tschirnhausi circa causticam circuli quam cum alia quadam curva quatuor tantum dimensionum cum tamen ipsa ad sextam ascendat eandem esse asserebat, ostenderem: Menkenius meum schediasma non vulgatum illico remisit, nec aliter imprimere voluit quam ita mutatum ut nulla mentio erroris tamquam a Tschirnhausio commissi appareret, ut videre est in Actis an. 1692, m. Jan.

Problema de transformatione curvarum algebraicarum in alias algebraicas longitudine aequales; scio quidem in parabolis (non tantum Apolloniana sed in omnibus) esse facillimum, et praevidi statim pro hoc casu specialissimo multos fore solutores; sed optime judicas pro sagacitate Tua problema generaliter propositum plus habere difficultatis in recessu quam prima fronte videatur [;] id tamen generalissime solvi et simul constructionem inveni in praxi facillimam curvarum novarum datae aequalium, quae praeterea alia praestat hactenus non cognita. Nemo est quod sciam qui problema generale adhuc solverit, excepto Ampl. Leibnitio qui ante aliquot dies mihi aliquem solvendi modum perscripsit sed qui nonnullis laborat difficultatibus quas tollendas esse respondi, praeterquam quod pro practica constructione modus ille nullius esset utilitatis. Verum quidem est uti dicis generaliter facile inveniri $dt={\frac {dx+pdy}{\sqrt {1+pp}}}$ et $du={\frac {dx-pdy}{\sqrt {1+pp}}}$, ubi si $p$ constans sit, aequationes tunc fore integrabiles, sed recte addis "hoc non satisfacere", nam curva quae inde oritur non est nova vel diversa a proposita sed est eadem cum illa, et tantum habet diversas coordinatas, memini ante complures annos in hanc eandem formulam per methodum Diophanteam me incidisse, sed statim ejus insufficientiam animadverti; si vero $p$ sit variabilis, tunc aeque difficile inventu est ac problema ipsum quid loco $p$ utrinque poni debeat, ut utraque aequatio integrabilis evadat. Est aliquis Cheynaeus Scotus, vir ut videtur satis versatus in profundioribus, qui in suis litteris ad me putat hoc problema solvi posse per formationem seriei alicujus assumtitiae ut supra feci pro theorematis Moivraeanis, quae series postea certis conditionibus fieri possit abrumpens id est finita; sed ostendi esse merum paralogismum. Videbis suo tempore meam methodum. Interim mihi nondum dixisti quousque frater meus in adyta hujus problematis penetraverit. Qui magno problemati isoperimetrico se parem me imparem censuit, utique hoc tenue quod ego solvi potiori jure solvere debet ipsi, qui potest majus potest et minus, en hic Rhodus hic saltus; eoque minus declinare debet quod ego non sim problematis hujus Auctor, sed alius quispiam qui me non magis quam illum ad saltum hunc invitavit. Vale.

Dabam Groningae a. d. VII. Kal. Febr. MDCCIV.

---

Fussnoten

Zurück zur gesamten Korrespondenz (Hermann, Jacob)

Zurück zur gesamten Korrespondenz (Bernoulli, Johann I)