Bernoulli, Johann I an Scheuchzer, Johannes (1709.11.13)
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| Kurzinformationen zum Brief mehr ... | |
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| Autor | Bernoulli, Johann I, 1667-1748 |
| Empfänger | Scheuchzer, Johannes, 1684-1738 |
| Ort | Basel |
| Datum | 1709.11.13 |
| Briefwechsel | Bernoulli, Johann I (1667-1748) |
| Signatur | ZB Zürich. SIGN: Ms H 321a, Nr. 26, pp. 75-78 |
| Fussnote | Siegel, Adresse teilweise abgeschnitten |
Clarissimo et Eximio Viro
Johanni Scheuchzero
S. P. D.
Joh. Bernoulli
Pro communicatione itinerarii Tui alpini gratias ago;[1] legi illud magno cum delectamento, et lectum postea transmisi nostro Zuingero, ut jussisti: deprehendi ibi varia curiosa, inprimis circa montium altitudines ex mercurii descensu computatas, et definitam altitudinem arborum proventus, quod sane curiosissimum, si quod dicis generaliter verum esset, sed dubito an idem in aliis montibus ex. gr. Pyrenaeis quoque observabile sit: nec minus curiosum est, quod de effossione chalybis habes, deque ejus triplici materia et parandi modo: ubi agis de petrae Fabariensis altitudine ope fili vel funiculi sumta, potuisses quoque inserere, quae tum temporis observabamus praesertim de sonitu mirabili et echo quam ad scaturiginem ambulantibus et in medio antro vociferantibus vel sibilantibus parietes petrosi undiquaque reddiderunt nobis.
Difficultates quas habes in radicibus extrahendis ope formulae quam invenisti in Guisneo[2] tales sunt, quae facillime Tibi eximerentur si viva voce Tecum colloqui liceret, per litteras autem non nisi per multa verba: interim Guisneus nec bene explicat regulam nec bene quadrat quae dicit ad radices quascunque extrahendas, exempla enim quae adducit supponunt radices fere jam cognitas, atque innotescere semper num radices sint rationales nec ne; quod vero attinet ad substitutionem quam Tu non capere ais,[3] ecce eam paulo clarius expositam; pro exemplo primo $ a^{3}-3aab+3abb-b^{3} $ (vid. p. XXX) considerat $ a^{3} $ tanquam primum membrum binomii comparandum cum $ p $, et reliquum $ -3aab+3abb-b^{3} $ tanquam posterius comparandum cum $ q $; quicquid nunc in formula (vel saltem ut quidem ille dicit sed perperam,[4] duobus primis terminis $ p^{m}+mp^{m-1}q $) contingit litteris $ p $ et $ q $, eandem quoque affectionem dare debemus quantitatibus $ a^{3} $ et $ -3aab+3abb-b^{3} $, hoc est quemadmodum in formula video $ p $ elevatum esse ad $ m $, ita quoque $ a^{3} $, quod locum subit ipsius $ p $, elevandum est ad $ m $, et sic proveniet $ a^{3m} $ (nam si dimensio aliqua sit ad ulteriorem dimensionem elevanda, multiplico tantum earum exponentes, et hoc modo cubus seu tertia dimensio ipsius $ a $ elevata ad dimensionem $ m $, dabit dimensionem cujus exponens erit $ 3m $) pariter pro $ p^{m-1} $ habebis $ a^{3\times {\overline {m-1}}} $ hoc est $ a^{3m-3} $, adeoque pro $ mp^{m-1}q $ scribendum $ ma^{3m-3}\times {\overline {-3aab+3abb-b^{3}}} $, ubi vides pro $ m-1 $ non poni (ut quidem putabas) $ m-3 $, sed manere $ m-1 $, et illud tantum multiplicari per 3 (propter $ a^{3} $), unde provenit $ 3m-3 $: reliqua hujus exempli nunc intelliges. Quantum ad alterum pag. XXXII $ 9aa+12ab+4bb $: Hic iterum $ 9aa $ pro primo membro $ p $ binomii $ p+q $, et reliquum $ 12ab+4bb $ pro altero membro ejusdem $ q $ sumitur; adeoque quem admodum $ p $ elevatur ad $ m $ ita et $ 9aa $ elevandum ad $ m $, id quod fit si partes multiplicantes singulas ex quibus quantitas elevanda componitur elevamus ad $ m $, et sic $ 9aa $ elevatum ad $ m $ dabit $ 9^{m}a^{m}a^{m} $ id est $ 9^{m}a^{2m} $ (nam $ a^{m}\times a^{m} $ idem est ac $ a^{2m} $) ob eandem rationem $ p^{m-1} $, hic erit $ 9^{m-1}a^{m-1}a^{m-1} $ seu $ 9^{m-1}a^{2m-2} $; ex quo iterum vides pro exponente $ m-1 $ non poni ut falso credebas $ 2m-2 $, sed hoc venire ex eo quod exponens ille $ m-1 $ per $ 2 $ (nempe per dimensionem ipsius $ a $) sit multiplicandus. Reliqua jam ut opinor Tibi erunt clara.[5]
Obstrinxisti me plurimum quod Schmutzium vestrum de Tubo optico pro me conficiendo compellare volueris. Conditiones quas ille offert sunt honestae, scilicet se suo periculo unum elaboraturum et ad probandum exhibiturum, illumque se nisi satisfecerit recepturum, quantum vero ad pretium quod circiter decem thalerorum dicit, cum nihil certi aestimaverit, spero non nihil aequiorem fore, saltem Viri, qui honestus adeo apparet, aequitati relinquo pretii constitutionem. Ideoque rogo, ut eum de novo compelles, et ut Tubum conficiat vitris quam fieri possit accuratissimis instructum moneas; cum enim non tam pro terrestribus objectis quam pro coelo lustrando eum desiderem, facile conjicies, me expetere tubum non mediocriter bonum, sed talem qui sit exquisitae probitatis. Ubi data occasione videris Ornatissimum Juvenem Goswilerum vestrum, velis quaeso eum meis verbis quam officiosissime salutare, eique animum meum gratissimum testatum reddere pro singulari ejus erga me affectu et munere et litteris[6] patefacto, si quid a tenuitate mea in ipsius commodum proficisci valeat, habet me totum et sibi et suo Honorat. Parenti addictissimum. Vale.
Dabam Basileae a. d. XIII. IXbris MDCCIX.
[A Monsieur]
Monsieur Jean Scheuchzer
tres Celebre Docteur en medecine
à
Züric
Fussnoten
- ↑ Johannes Scheuchzer hatte Bernoulli mit seinem Brief von 1709.10.27 einen handschriftlichen Reisebericht zur kritischen Lektüre gesandt und Bernoulli gebeten, die Schrift anschliessend an Theodor III Zwinger weiterzuleiten. Zur Identifikation dieser Schrift siehe den Kommentar im genannten Brief.
- ↑ Guisnée, [Nicolas], Application de l’algèbre à la géométrie, ou Méthode de démontrer par l’algèbre, les théorèmes de géométrie, et d’en résoudre et construire tous les problèmes. L’on y a joint une Introduction qui contient les règles du calcul algebrique, Paris (J. Boudot/J. Quillau) 1705.
- ↑ Johannes Scheuchzer an Johann I Bernoulli von 1709.11.03. Vgl. zum Folgenden die Kommentare in den Fussnoten dieses Briefs.
- ↑ Hier weist Johann I Bernoulli auf das unbegründete Weglassen der Terme höherer Ordnung in der binomischen Reihe durch Guisnée hin. Guisnée glaubte wohl, dies tun zu können, weil er voraussetzt, dass die gesuchte dritte Wurzel rational ist.
- ↑ In beiden Fällen hat Johannes Scheuchzer den gleichen elementaren Fehler begangen, indem er zum einen $ 3(m-1)=3m-3 $ gleich $ 3m-1 $ setzt, zum anderen den Exponenten $ m-1 $ einfach durch $ 2m-2 $ ersetzen will, ohne zu erkennen, dass dies wegen $ 2(m-1)=2m-2 $ gilt.
- ↑ Dieser Brief von Heinrich Gossweiler an Johann I Bernoulli ist anscheinend nicht erhalten.
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