Bernoulli, Johann I an Woolhouse, John Thomas (1728.12.23)

Kurzinformationen zum Brief       mehr ...
Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Woolhouse, John Thomas, 1666-1734
Ort	Basel
Datum	1728.12.23
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 675:Bl.205-206
Fussnote	Am Briefkopf autograph "à Mr. Woolhouse". Datum und Schlussformel nebst Unterschrift autograph

à Bale ce 23. xbre 1728.

Monsieur

J'ay reçû la boëte pour Mr. Scheuchzer, que je lui ai envoyée incontinent; Il m'a repondu qu'elle lui est parvenue en bon êtat. Vous me marqués, que Vous en avés payé le port jusques ici; cependant on m'en a demandé environ 3 lb de Votre argent, aussi Mr. Scheuchzer m'a-t-il remboursé cet argent, ce que je Vous signifie par avis. J'ai aussi reçû vos deux derniéres lettres, l'une du 11.^e 9bre, et l'autre, qui étoit dans la boëte, du 30 8bre; Voici ce que j'ai à y repondre: Les deux Theses soutenuës ici l'une De Visu, et l'autre De Reflectione et Refractione atque de propagatione Luminis Vous seront apportées et rendues par l'Auteur méme de la premiére, qui partit derniérement pour Strasbourg, où il restera jusqu'au printemps prochain et de là il se rendra à Paris, où il aura l'honneur de Vous voir. La troisiéme Dissertation que Vous souhaitez Visus Vitia duo rarissima etc. n'est pas parvenue jusqu'à moi, ainsi je ne saurois Vous l'envoyer ni Vous en donner des nouvelles. Quant à ce que j'ai publié ci devant sur la Reflexion et Refraction des rayons de lumiére, n'est pas un livre; mais je l'ai donné sous la forme d'un Memoire, inseré dans les Actes de Leipsic pour 1701; j'ai taché d'expliquer ces deux grands principes de Catoptrique et Dioptrique par une nouvelle methode tirée de la Consideration de l'equilibre: je croi qu'on a traduit ce morceau en françois, pour le mettre dans le Journal des Savants, où vous le trouverez.

J'ai lû, Monsieur, la lettre du P. Castel à Mr. de Fontenelle, touchant leur dispute sur les infinis, puisque ce Pere souhaite mon sentiment là dessus, je veux bien le contenter, sans entrer dans une longue discussion de tout l'ouvrage de Mr. de Fontenelle, car j'aurois bien des remarques à faire, si je voulois examiner tout cet ouvrage. Je ne m'arreterai donc qu'aux deux points, qui font ici le sujet de leur controverse; Le premier regarde la maniere d'evaluer la suite ${\frac {1}{2}}$, ${\frac {2}{3}}$, ${\frac {3}{4}}$, ${\frac {4}{5}}$, ${\frac {5}{6}}$ etc., dont Mr. de Fontenelle pretend que la somme est moindre que celle de l'infinité d'unitez $1$, $1$, $1$, $1$, $1$, $1$, etc. Si on ne considère que la différence en elle méme de ces deux sommes, je dis, qu'elle n'est pas rien, mais qu'elle est quelque chose, et méme qu'elle est infinie, car il est visible, que cette différence compose cette suite ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+$ etc. que l'on sait étre $=\infty$. Mais d'un autre coté cette suite, quoique d'une somme infinie, étant infiniment plus petite, que ${\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {3}{4}}+{\frac {4}{5}}$ etc., il est clair que ces deux suites ${\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {3}{4}}+$ etc. et $1+1+1+1$ etc. doivent passer pour égales, suivant la commune notion, que nous avons de la raison d'egalité; Car $A$ et $B$ doivent étre egales, lorsque $A-B$ est infiniment plus petit que $A$ ou $B$, sans cela tout le fondement du Calcul differentiel tomberoit en ruine. Ainsi le P. Castel a raison de conclure que les sommes de ces deux suites ${\frac {1}{2}}$, ${\frac {2}{3}}$, ${\frac {3}{4}}$, ${\frac {4}{5}}$ etc. et 1, 1, 1, 1, etc. sont egales, de ce que la premiére est plus de la moitié, plus des deux tiers, plus des trois quarts etc. de la seconde.

Peutétre que Mr. de Fontenelle aura ici recours à la distinction de son invention entre les grandeurs finies determinables et indeterminables, mais je ne comprends rien à cette distinction, toute grandeur indeterminable, c'est à dire, plus grande qu'aucune grandeur donnée de méme Espece, doit étre infinie, c'est la notion vulgaire des Anciens, quod data quavis quantitate minus est, id est infinite parvum, et quod data quavis quantitate majus est, id est infinite magnum, non obstant, qu'il y ait des degrés aussi dans l'une et dans l'autre des infinités.

Pour ce qui est de l'autre point, savoir si ${\sqrt[{0}]{a}}$ doit étre $=a^{0}$, comme pretend Mr. de Fontenelle, ou s'il est $=a^{\infty }$ selon le P. Castel, il me semble que cette question ne merite pas à beaucoup prés, qu'on s'echaufe tant de part et d'autre, il n'y a, qu'à s'entendre mutuellement et à donner des definitions des racines et des puissances de differents degrés, et la dispute cessera. Car si Mr. de Fontenelle veut que par ${\sqrt[{0}]{}}$ on entende, qu'il n'y a nulle extraction de racine à faire, mais que ce signe radical n'y est que pour la forme, ensorte qu'il ne signifie autre chose que la negation d'extraction, dans ce sens ${\sqrt[{0}]{a}}$ ne seroit ni $a^{0}$ ni $a^{\infty }$, mais il seroit $a^{1}$ ou simplement $a$. Mais si on veut suivre la routine, comme le P. Castel remarque fort bien, alors il est incontestable que ${\sqrt[{0}]{a}}=a^{\infty }$, car puisque generalement les expressions radicales se changent en potentielles, en renversant seulement les exposants ainsi ${\sqrt[{\frac {m}{n}}]{a}}=a^{\frac {n}{m}}$, ce dont je croi Mr. de Fontenelle conviendra, on ne pourra faire raisonnablement aucune exception sans enfreindre la loi d'uniformité; prenant donc $m=1$ et $n=\infty$, on aura sans doute ${\frac {m}{n}}={\frac {1}{\infty }}=0$ et ${\frac {n}{m}}={\frac {\infty }{1}}=\infty$; donc ${\sqrt[{0}]{a}}=a^{\infty }$, y a-t-il rien de plus clair? Mr. Nicole ose-t-il penser autrement? ou le nie-t-il peut étre par complaisance pour Mr. de Fontenelle, à cause de quelque obligation qu'il lui a?

Voilà, Monsieur, mes petites remarques sur la Contestation de ces Messieurs; si Vous trouvez à propos de les communiquer au P. Castel, Vous lui recommenderez de ne me pas commettre avec Mr. de Fontenelle, qui est mon bon Ami, dont l'Amitié m'est tres chére. Il me reste à dire quelque chose sur certaines façons de parler du P. Castel: Il dit § 10.\emph[LaTeX!]{ Si ${\sqrt[{\infty }]{a}}=$${\sqrt[{0}]{a}}$, dont divisant par $a$, j'ai ${\sqrt[{\infty }]{}}={\sqrt[{0}]{}}$, et divisant encore par ${\sqrt {}}$, j'ai $\infty =0$}. Je n'approuve pas ce nouveau Calcul, car peut-on diviser des signes, qui ne sont pas des grandeurs, et ne sont autre chose que des denominations? Il n'en auroit pas besoin, ses raisonnements étant concluants sans cette étrange maniére de calculer. Dans le § suivant il pretend avoir demontré, que ${\frac {0}{0}}=1$, mais à parler generalement cela n'est pas vrai, car ${\frac {0}{0}}$ peutêtre telle quantité que l'on voudra, et ${\frac {0}{0}}$ est aussi bien $=$ à $n$ qu'à 1, étant visible, que $0=0n$. Mais cette expression ${\frac {0}{0}}$ doit étre déterminée par la nature du sujet, dont il s'agit, ainsi ${\frac {aa-xx}{aa-ax}}$ dans le cas où $x$ devient $=a$, se change en ${\frac {0aa}{0aa}}={\frac {0}{0}}$, mais on se tromperoit, si on en vouloit conclure que ce ${\frac {0}{0}}$ seroit $=1$, car ici il est $=2$. On a de moi une régle generale pour determiner la valeur de ces expressions, voyés la Prop. I, Sect. IX de l'Analyse des infiniment petits. Je ne comprens pas en quel sens le P. Castel dit § 15 que les radicaux sont reciproques en raison doublée aux puissances, quand on parle d'une raison doublée, on presuppose une autre raison, dont elle est doublée, comme par Ex. quand on dit que la raison des cercles est doublée de celle de leurs Diamètres, mais ici je ne vois point de raison soit directe soit reciproque dont la raison des radicaux soit doublée, je ne croi pas, qu'il veuille dire, que par Ex. ${\sqrt[{3}]{a}}$ est à ${\sqrt[{3}]{b}}$ en raison doublée reciproque de $a^{3}$ à $b^{3}$, vû que [c]ela seroit manifestement faux. § 22 le P. Castel assure que Mr. de [Fon]tenelle fait constamment dans son Livre ${\sqrt[{0}]{a}}=a^{0}$. Cependan[t] je ne me souviens pas de l'avoir remarqué dans son ouvrage, je voudrois savoir quelques Endroits, où il le dit positivement. Je n'approuve pas ce que je trouve dans § 26. Qu'une racine infinie reduit la puissance à un infiniment petit; car il le reduit toujours à l'unité, étant constant que ${\sqrt[{\infty }]{a}}=a^{\frac {1}{\infty }}=a^{0}=1$ tellement que si $a$ est une fraction, la racine l'augmente, bien loin de la diminuer. Il en est de méme de ce qu'il y a dans le § 28. Car quand la racine seconde surpasse la troisiéme, la troisiéme surpasse la quatriéme etc., cela n'est vrai qu'à l'egard des entiers plus grands que l'unité: Pour les fractions c'est tout le contraire; je sens la force de ce Calcul ${\sqrt[{4}]{\frac {1}{a}}}>{\sqrt[{3}]{\frac {1}{a}}}>{\sqrt[{2}]{\frac {1}{a}}}>{\sqrt[{1}]{\frac {1}{a}}}>{\sqrt[{0}]{\frac {1}{a}}}$. Ainsi le § 30 ne finit pas bien en disant que ${\sqrt[{10}]{a}}$ est plus petit que ${\sqrt[{9}]{a}}$, puisque cela seroit faux si $a$ étoit moindre que l'unité. Il est vrai que le P. Castel n'oublie pas à la fin du § 42 d'excepter les fractions de cette régle, mais cette exception est trop génerale pour laisser passer la régle, puisque celleci n'a pas plus d'étendue que l'exception elle méme. Au § 43, ligne derniére de la page 20 il met ${\sqrt[{-\infty }]{4}}={\sqrt[{-\infty }]{\frac {1}{4}}}$; je croi qu'il y a ici faute d'impression et qu'il a voulu mettre ${\sqrt[{-\infty }]{4}}={\sqrt[{\infty }]{\frac {1}{4}}}$, ou ${\sqrt[{\infty }]{4}}={\sqrt[{-\infty }]{\frac {1}{4}}}$. Quand dans le § 58 le P. Castel dit qu'il est faux que $a^{0}$ ne soit pas exacement $=a^{\frac {1}{\infty }}$, puisqu'ils ne different que d'un infiniment petit, Mr. de Fontenelle ne lui passera pas cette raison, car il dira qu'une égalité exacte entre deux quantitez demande, qu'elles ne différent de rien. Car c'est ainsi qu'il le prend lorsqu'il dit p. 53, § 166 de son ouvrage et en plusieurs autres endroits que $\infty ^{\frac {1}{\infty }}$ est plus grand que 1; quoiqu'il n'en différe que d'un infiniment petit, mais je conviens que cette façon de parler détruit la maxime du Calcul differentiel, et que quand il dit p. 54, § 167 que le $\infty ^{\frac {1}{\infty }}>1$ est $<2$, c'est comme s'il disoit, le $x+dx>x$ est $<2x$. Ce que le P. Castel avance dans le § 60, que si 0 n'est pas $={\frac {1}{\infty }}$, ils sont au moins infiniment peu differens, n'empéche pas que $0$ ne puisse étre à ${\frac {1}{\infty }}$ en telle raison qu'on voudra, car $0{\text{·}}{\frac {1}{\infty }}::n\times 0{\text{·}}{\frac {m\times 1}{\infty }}$, puisque $n\times 0$ est aussi $0$ et ${\frac {m\times 1}{\infty }}$ est aussi ${\frac {1}{\infty }}$. Je dis plus, l'un peutétre infiniment plus grand que l'autre, de méme que $dx$ est infiniment plus grand que $ddx$ et celuici infiniment plus grand que $dddx$ quoique chacun soit $0$ par rapport à $x$.

Je reviens, Monsieur, à ce qui Vous regarde, quant à Votre demande reiterée de lier une correspondance avec moi, il faut que je vous répete la reponse que j'ai deja eu l'honneur de Vous donner, qui est que la multitude d'affaires dont je suis continuellement accablé ne me permet pas de vous repondre reguliérement à vos lettres, outre que mon appointement de Professeur n'est pas suffisant pour soutenir les frais d'une grande Correspondance, Vous dites bien que les lettres que Vous m'écrirez auront port payé, mais je ne sai ce que vous voulez dire par là. Si vous croyez que j'ai reçû jusqu'à present Vos lettres franchies, vous vous trompés, car j'en ai toujours payé les ports, il est bon, que vous le sachiez pour prendre vos mesures en cas que Vous veuillés franchir Vos lettres, de peur qu'on ne les fasse payer deux fois. Mr. Zuinger à qui j'ai parlé sur votre Chapitre, m'a dit qu'il répondra à votre lettre par une bonne occasion, puisque vous l'aviez prié trés expressement de ne vous pas envoyer ses lettres par la poste. Voila tout ce qu'il m'a dit. Je suis au reste avec beaucoup de consideration Monsieur Votre tres humble et tr. ob. [Serv.]^r JBern[oulli]

---

Fussnoten

Zurück zur gesamten Korrespondenz