Montmort, Pierre Rémond de an Bernoulli, Johann I (1714.10.00 (?))

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Autor	Montmort, Pierre Rémond de, 1678-1719
Empfänger	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Ort	[s.l.]
Datum	1714.10
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 665, Nr.11*
Fussnote	Siegel. Der Postvermerk "despernay" auf der Adresseite deutet darauf hin, dass der Brief in Montmort bei Epernay verfasst worden ist. Am Briefkopf eigenhändige Notiz von Joh. I B. "Ecrit au commencement d' 8bre 1714." Am Rand von p.5 Marginalie "fin de n°11". Auf p.6 Bleistiftanstreichung und Marginalie "NB ce fragment est la suite de n°11. du commencemt d'octobre". Auf der Rückseite der Adressseite zwei Figuren und und eine Bleistiftnotiz von Otto Spiess "Diese Zeichnung gehört zu Brief 11 (Axiome) und (ist hier [gestrichen]) war bei Nr.8 fälschlich angeheftet". Die beiden Figuren finden sich auch auf der Rückseite von Montmorts eigenhändiger "Reponse a Mr. [N]as Bern. sur le her" (Beilage zu seinem Brief vom 15. August 1714 an Nic. I B., UB Basel L I a 22,2 Nr.192).

Axiome

Les forces des corps sont les produits des masses par leurs vitesses relatives.

I. Si deux corps égaux viennent dans des directions obliques frapper un plan les impressions qu'ils font sur ce plan sont dans le rapport des sinus des angles d'incidence. Ainsi les vitesses des corps egaux $K$ et $L$ etant $LB$ et $KB$, l'impression perpendiculaire qu'ils feront sur le plan sera $::BI$ et $BH$ car ces lignes $BI$ et $BH$ expriment les vitesses relatives de ces corps, les vitesses absolues etant $KB$ et $LB$.

II. Etant donnée la vitesse $BM$ avec la quelle un corp $=B=1$ frappe perpendiculairement le plan $aBc$ trouver l'impression que ce plan recoit vers $BK$ ou ce qui est la meme chose trouver quelle impression un corp placé en $B$ receveroit pour aller selon $BK$.

Soit prolongée la ligne $BK$ jusqu'en $f$ ensorte que $Bf$ soit $=BM$ du point $f$ soit abaissée une perpendiculaire sur le plan, cette ligne qui est le sinus de l'angle de complement et qui par les triangles semblables est $=BK$ exprimera l'impression vers $Bk$ car par l'art. 1.^er l'impression du vent $fB=BM$ selon $fB$ est $fh$ sur le plan $aBc$.

III. Soient les trois directions $BK$, $BP$ ou $BM$, $BL$ données telles que l'angle $KBL$ soit droit je dis que si trois corps dont les masses sont dans le rapport de $BK$, $PB$, $BL$ viennent frapper en meme temp et selon ces trois directions le point $B$ avec des vitesses égales, ce point $B$ sera autant poussé par les deux corps $BK$ et $BL$ vers $PB$, qu'il le sera vers $BM$ par le corp $PB$ et qu'ainsi le point $B$ restera en équilibre.

Je dis encore qu'il y aura équilibre si les trois corps étant egaux leurs vitesses sont comme les trois cotés du parallelogramme que forment les trois directions. Car dans la 1.^ere supposition on a pour l'impression perpendiculaire du poid $BK$, $BK^{2}$ et pour l'impression perpendiculaire du poid $BL$, $BL^{2}$ en supposant la vitesse commune aux trois poid = par Ex. $BM$, car par l'art. 1.^er les vitesses relatives sont $BK$ et $BL$ l'absolue etant $BM$ or $BK^{2}+BL^{2}=BM^{2}$ donc etc. et dans la 2.^e supposition, la masse de chacun des trois corps etant $BM$ on a par les Art. 1 et 2 les 3 impressions $=BI\times BM$, $BH\times BM$, et $BM^{2}::BI$, $BH$, $BM$.

Ce que l'on vient de dire de l'angle droit est encore vray pour un angle quelconque car si les trois poids sont comme les trois cotés du parallelogramme $BLMK$ (fig. 2.^e) $BK$, $BM$, $BL$ on trouve en prenant pour trouver les vitesses relatives qui naissent de differentes directions un rayon ou vitesse commune $BM$, on trouve dis je le rapport des impressions $::BK\times Bf$, $BL\times BR$, $BM^{2}$.

Et si les trois vitesses sont $::BK$, $BL$, $BM$ les masses étant égales on a les impressions $::BI$, $BH$, $BM$, or la Geometrie apprend que $BI+BH=BM$ et que $BK\times Bf+BL\times BR=BM^{2}$ dans un parallelogramme quelconque donc etc.

En sorte que generallement trois directions etant données il y aura équilibre entre l'action de trois corps qui iront selon ces trois directions si les vitesses aiant le meme rapport que les trois cotés du parallelogramme formé par ces trois directions, les trois corps sont égaux, ou si les masses de ces trois corps etant comme les trois cotés du parallelogramme les vitesses sont égales.

IV. Il suit de l'art. precedent que si les directions selon lesquelles deux corps égaux viennent frapper le point $B$ sont données et en meme temps leur vitesse, on aura la direction et la vitesse du 3.^eme corp qui feroit l'équilibre, car pour cela il n'y a qu'à achever le parallelogramme en prenant sur les directions des cotés qui soient dans le rapport des vitesses; la diagonale de ce parallelogramme marquera la vitesse du 3.^eme corp et la direction selon laquelle il doit pousser.

Si les vitesses sont égales et le rapport des deux corps donné, il faut prendre sur les directions deux lignes qui soient dans le rapport des deux poids, achever le parallelogramme, sa diagonale exprimera la masse du 3.^eme corp et la direction selon laquelle il doit frapper pour faire l'equilibre.

Ainsi par Ex. si deux poids dont les masses soient 3 et 4 poussent le point $B$ avec une vitesse $=A$ ils feront parcourir au point $B=1$ la diagonale d'un parallelogramme dont les cotés seront 3 et 4 avec la vitesse $A$, ce seroit la meme solution si la masse de chacun des deux corps etant $A$ leur vitesse etoit comme 3 et 4. Ainsi deux poids dont les masses soient 5 et 10, fig. 2, poussant selon $BK$ et $BL$ avec une vitesse $A$, l'angle $KBL$ etant donné et tel que la grande diagonale soit 13 ils feront parcourir au point $B$ la diagonale 13 avec une vitesse $=A$. Ce seroit la meme chose si les masses de chacun des deux corps etant $A$ leurs vitesses etoient 5 et 10 les directions etant les mêmes.

Remarque

V. Tout ce qu'on vient de dire peut s'appliquer à des vents en substituant pour les differentes vitesses des vents des poids égaux dont les vitesses soient dans la raison des quarrés des vitesses des vents. La raison est que qui dit poid dit un corp composé de parties tendantes touttes également vers le centre de la terre ensorte qu'un poid ne differe d'un autre que par le nombre de ses parties, mais que le poid d'un vent est le produit de sa masse par sa vitesse ou le quarré de sa vitesse le nombre des parties etant proportionel à la vitesse en sorte qu'un vent qui a trois degrés de vitesse doit estre regardé comme un poid qui a trois degrés de masse et trois degrés de vitesse ou plustost comme un poid $=9$.

VI. Si un vent souffle avec la vitesse ${\sqrt {}}BM=Bq$ le long de la perpendiculaire $BM$, l'impression qui en resulte vers $Bk$ est $BK=Bq\times Bp$ par Ex. si le parallelogramme $MKBL$ est donné de position dont les deux cotés et la diagonale soient 3, 4 et 5 et qu'un vent souffle selon $BM$ avec une vitesse ${\sqrt {}}BM={\sqrt {}}5$ il est clair par l'art. 2.^e et V que l'impression selon $Bk$ est $3=Bq\times Bp={\sqrt {}}5\times {\frac {3}{{\sqrt {}}5}}$ et que l'impression selon $BL$ est 4.

Si les directions restant les memes la vitesse du vent selon $PM$ est 5 pour trouver l'impression vers $Bk$ il faut sur $PB$ prolongé prendre une ligne $=25=BM^{2}$, de l'extremité de cette ligne abaisser une perpendiculaire sur $BK$ prolongé, cette ligne prise sur $BK$ prolongé que l'on trouve $=15$ exprimera l'impression du vent $=BM=5$, vers $BK$. L'autre coté de ce parallelogramme qui seroit 20 exprimeroit l'impression que feroit ce meme vent vers $Bl$.

Si les directions sont $BK$ et $BL$ dans le parallelogramme obliquangle dont les deux cotés sont 5 et 10 et les diagonales 13 et 9, pour trouver l'impression qu'un vent dont la vitesse est 13 poussant selon $MB$ fera vers $BK$ il faut prendre sur $MB$ prolongé une ligne $=13^{2}=169$ de l'extremité de cette ligne abaisser une perpendiculaire sur $BK$ prolongé. On aura sur $BK$ prolongé une ligne $=65$, cette ligne exprimera l'impression que le vent $MB$ fera vers $BK$ prolongé, l'impression vers $Bl$ seroit 130.

VII. Si deux vents soufflent contre le point $B$ selon les directions $KB$ et $BL$ du parallelogramme $BKML$ dont les trois cotés sont 3, 4 et 5 avec des vitesses ${\sqrt {}}3$ et ${\sqrt {}}4$, ces deux vents feront au point $B$ selon $BP$ une impression $=5$ car par les art. 1, 2 et 5 l'impression perpendiculaire du vent ${\sqrt {}}KB$ qui souffle selon $BK$ est $BI$ et l'impression selon $PB$ du vent ${\sqrt {}}BL$ est $BH$ et l'on scait que $BI+BH=BM$.

Or un vent dont la vitesse seroit ${\sqrt {}}BP$ feroit au point $B$ selon $PB$ une impression $=PB$, donc ces trois vents seront en équilibre et de meme si ces deux vents soufflent selon ces memes directions avec des vitesses 3 et 4 pour mettre le point $B$ en équilibre il faut sur $BK$ prolongé prendre une ligne $BK^{2}=9$ et sur $BL$ prolongé une ligne $BL^{2}=16$ former un parallelogramme dont ces deux lignes soient les cotés, la diagonale de ce parallelogramme qui sera ${\sqrt {}}337$ exprimera l'impression qui feroit équilibre et sa direction.

Si les vitesses du vent sont 5 et 10 dans nostre parallelogramme fig. 2 il faut prendre sur $BK$ et $BL$ prolongées des lignes $=BK^{2}$ et $BL^{2}$, former sur ces deux cotés le parallelogramme, sa diagonale exprimera la direction et l'impression du vent qui feroit equilibre.

Remarque

Les chemins que deux fluides egaux poussants deux corps egaux avec differentes vitesses font parcourir à ces corps sont comme les racines des forces ou des impressions que ces vents font sur ces corps. Pour le prouver j'etablis cette proposition.

Si un corp $A$ est poussé par un vent dont la vitesse est $v$ je suppose qu'il parcourra l'espace $e$ en une minute, je dis que si le meme corp $A$ est poussé par un vent dont la vitesse est $V$ il parcourra dans la meme minute un espace $E$ qui sera à $e::V.v$.

Demonstration.

Quand il y a plus de vitesse le temp du choq ou de partance est plus court et est plus court dans la proportion des vitesses, donc avec des vitesses inegales $v$ et $V$ il s'applique sur le corp $c$ un egal nombre de parties par ce que les instants pendant les quels ces parties s'appliquent sont plus long et plus courts dans la proportion des vitesses, il n'y a donc dans ces deux chocs de differences que dans les vitesses et il n'y en a point dans le nombre des parties de vent appliquées sur l'un et l'autre corp pendant le choc, donc en comparant l'action de ces deux fluides on peut les regarder comme n'agissant que par leurs vitesses, donc les chemins parcourus sont comme les vitesses qui sont les racines des impressions.

Il suit de cette demonstration que pour connoitre les chemins que le vaisseau parcourra dans tous les exemples cy dessus il n'y a qu'à prendre les racines de ce que nous avons trouvé pour les impressions ainsi dans le 2.^e exemple de l'art. VII où l'on suppose les vitesses des vents selon $BK$ et $BL$ $=3$ et 4, on trouvera avec M.^r Bernoulli que le chemin que le vaisseau parcourra par l'action de ces deux vents est ${\overline {337}}{\frac {1}{4}}$ environ 4.5, dans le meme temps que par l'action du vent 3, il auroit parcouru 3, et que par l'action du vent 4 il auroit parcouru 4.

Fin.

Selon M.^r Bernoulli et M.^r Huguens l'impression vers $BK$ du vent qui pousse selon $MB$ avec une vitesse ${\sqrt {}}BM=Bq$ est $Bq\times Bp$. Dans les denominations de M.^rs Huygens et Bernoulli autant que je peux m'en souvenir c'est $BK\times BM$ ou $BS^{2}$ or cette expression est la meme qu'icy nostre $BK$, car on a $Bq.BM::Bp.BK$ donc $BK={\frac {BM\times Bp}{Bq}}=Bp\times Bq$.

M.^r le ch. Renau et ceux qui soutiennent son sentiment pretendent que le vaisseau doit toujours suivre le chemin d'un diagonale dont les directions des deux vents sont les cotés. Cela ne se trouve vray que dans le seul cas ou les vitesses des vents sont les racines des cotés du parallelogramme que forment les directions données.

Je suis enfin convaincu Monsieur non seulement que M.^r le chevalier Renau a tort mais encore que vous avez raison. Je vous envoye mes idées sur la dispute afin que vous connoissiez que c'est avec connoissance de cause que je me declare de vostre parti. Vous avez vu par mon 1.^er memoire que je m'etois aperçu de l'erreur de M.^r Renau et que je l'avois demontrée mais j'etois encore trop neuf dans ces matieres pour ne pas tomber moy meme dans l'erreur, surtout écrivant à la haste et avec moins de precaution et d'exactitude que lorsque l'on écrit pour le public. Je le reconnus quelques jours apres que mon memoire fust parti pour Basle et je mandai à M.^r Nicolle quelque chose d'assez approchant de ce qui est icy. Je luy demontrois que les impressions des vents $BK$ et $BL$ etoient $::BI^{2}$ et $BH^{2}$. Mais je ne voyois pas encore bien clair et je n'avois pas assez reconnu tous les environs. Enfin de nouvelles reflexions appuyées des lumieres que vostre lettre à M.^r Renaut m'a donné, ont arrangé mes idées comme vous le voyez. Quand vous m'aurez assuré qu'elles sont bonnes je tacherai de les faire servir à de tromper M. Renau et ses amis. Je recus hyer une reponse au memoire que je luy avois envoyé il y a environ un mois. Il me combat et apparemment avec raison en bien des choses mais pour ce qui le regarde j'ay vu en gros qu'il persiste dans son erreur. Je crois que vostre lettre le mettra dans le chemin de la verité dont je vois qu'il est encore fort eloigné. Vous pouvez compter qu'etant convaincu je ferai vos affaires en ce pays c'est à dire que je soutiendrai la verité. Si vous trouvez que je me trompe je vous demande pour mes peines que vous preniez celle de m'instruire. J'attendrai avec impatience vostre sentiment. Je suis ravi d'avoir etudié ces matieres, je ne scavois que ce qu'il y a de plus simple dans les mechaniques, la force des 5 machines, et meme assés superficiellement, c'est ce qui fait que j'ay eu quelque peine à bien entrer dans cette dispute. Je vous remercie des lumieres que vous m'avez donné. J'ay fait voir vostre lettre et mon memoire à M.^r de Waldegrave et à M.^r l'abbé Dorbais qui sont gens d'esprit et des amis de M.^r vostre neveu. Ils ont entendu l'un et l'autre avec un peu d'aide mais enfin fort bien. Ils sont contents de l'un et de l'autre. Pour ce qui vous regarde ils ont certainement raison. Pour mon affaire vous en jugerez. Je suis bien faché de n'avoir pas icy vostre livre. Je scaurois si je ne m'ecarte en rien de vous. A Dieu Monsieur si vous me faistes l'honneur de m'ecrire vous me ferez un extreme plaisir. Remond de Monmort

[Figur folgt] [Figur folgt]

A Monsieur

Monsieur Bernoulli Professeur

de Mathematique

Basle

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Fussnoten

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