Bernoulli, Johann I an Basnage de Beauval, Henri (1697.03.30)

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Basnage de Beauval, Henri, 1656-1710
Ort	Groningen
Datum	1697.07.06
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 673:Bl.26-30
Fussnote	Am Briefkopf die alte Nummer "12". Der Brief ist erwähnt als "nuper" geschrieben in Joh. I B. an Leibniz 1697.07.06 (Leibniz, Math. Schriften 3, 425). Er bezieht sich zugleich auf die Zusendung der Phil. Trans XIX, 1696/7, für welche sich Johann Bernoulli in seinem Brief an Basnage von 1696.03.30 bedankt. Das Datum des Briefes liegt also zwischen 1697.03.30 TP und 1697.07.06 TA, auf jeden Fall aber vor Erscheinen der Juni-Nummer der Histoire des Ouvrages des Savans, Amsterdam 1697.

Monsieur

Puisque Vous me demandez dans l'honneur de votre derniere du 31. du passé quelque chose de curieux qui regarde les sciences, je viens de recevoir fort à propos un extrait des Actes de Leipsic du mois de May qui contient diverses resolutions de mon probleme sur la plus vite descente des corps pesans; ainsi pour satisfaire en quelque façon à vôtre demande je vous envoye mon sentiment et les [re]marques que j'ay faites sur ces resolutions, comme aussy quelques nouveaux problemes proposés par mon frere sur la matiere de maximis et minimis.

Il y a justement un an, que je proposay ce probleme de la plus vite descente dans les Actes de Leipsic, comme tout nouveau, ne sçachant pas alors qu'il avoit été tenté déja par Galilée; j'accorday aux Geometres six mois de temps pour s'y appliquer, promettant de publier mes solutions si aprez le terme expiré il ne se trouvoit personne qui donneroit les siennes. Cependant Mr. Leibnits ce grand Geometre n'eut pas plutot appris la nouvelle de ce probleme qu'il le jugea digne de son application et de celle de tous les plus habiles Mathematiciens de l'Europe; c'est ce qui luy fit me faire l'honneur de m'ecrire pour me mander qu'il en étoit heureusement venu à bout, mais qu'il le trouvoit si beau et si curieux (à cause de l'adresse toute singuliere, et peu commune dont il s'y falloit prendre) qu'il me prieroit de prolonger le terme jusqu'à pâques 1697 pour avoir le temps de divulguer aussy ce probleme dans les pays eloignés particulierement en Italie et en France, où les Actes de Leipsic ne pourroient arriver que fort tard. Ne pouvant donc refuser cette demande à une personne pour qui j'ay tant d'estime que l'on peut avoir pour un homme de fort rares merites en toutes sortes de sciences: J'ay pris le dessein de notifier aux Geometres cette prorogation par un imprimé que je donnay au jour au commencement de cette année, ne doutant nullement, qu'il ne pourroient y avoir quelques uns, qui ne recevant pas regulierement les Actes de Leipsic seroient bien aises d'apprendre par là la proposition du probleme, et à qui par consequent il pourroit prendre envie de perdre (s'il faut ainsi dire) quelques heures à une recherche si utile qui aide à penetrer dans le plus fin de la Geometrie.

En effet mon imprimé tomba entre les mains de plusieurs personnes, qui n'avoient pas sçû au paravant la premiere publication: cependant comme on trouve toujours de differens juges, mon probleme connut la méme fortune, ayant eu le malheur d'étre présenté à un certain petit ésprit dans notre voisinage qui ne cherchant que le gain et le profit, et portant le titre de mathematicien peutetre à aussy bon droit que le moindre de mes écoliers eut assez d'impudence de dire avec dedain que ce probleme étoit bon pour les Allemans mais que les Hollandois n'y répondroient pas suivant en cela la belle coutume de ceux qui meprisent d'un air imperieux tout ce qui surpasse leur foible portée comme fait le renard dans la fable; mais laissons ce miserable en qui se verifie ce qu'on dit ordinairement Spernit indoctus quod nequit assequi.

Il y eut d'autres Juges plus equitables qui à la verité ont bien reconnû la beauté de mon probleme, et qui ont méme émployé toutes leurs forces pour rompre la barriere; mais faute de nôtre nouvelle analyse ou pour n'y etre pas suffisamment versés ils ont été obligés de lacher prise malgré toute la vigeur de leurs violens efforts, sans pourtant que cela leur ait fait perdre en rien l'estime qu'ils avoient conçue pour nôtre question si rare, qui leur a donné quelque peine non point inutile, car elle aura été recompensée par le plaisir qu'ils ont eu de faire de nouvelles déscouvertes qu'ils n'auroient peut etre jamais faites sans cette occasion, et méme de voir le défaut de leur methode et avec le temps le remede qu'il faut y apporter.

C'est comme cela Monsieur que mon probleme ayant passé par l'examen de plusieurs en Hollande demeura tout irresolu; il passa donc de là en Angleterre, là où j'avois grand'esperance qu'il trouveroit un destin plus favorable, vû qu'il y a dans ce pays là quelques excellens Geometres qui se servent adroitement de nôtre methode ou d'une autre tout à fait samblable à la nôtre. Effectivement le mois de Janvier des Transactions Philosophiques de Londres que vous avez eu la bonté de m'envoyer me fait voir que je ne me suis point trompé, y ayant trouvé une construction de la courbe de la plus vite descente parfaitement convenable à la nôtre. Quoique l'Autheur de cette construction par un excés de modestie ne se nomme pas, nous sçavons pourtant indubitablement par plusieurs circonstances que c'est le Celebre Mr. Newton, et quand méme nous ne le sçaurions point d'ailleurs, ce seroit assez de le connoistre par cet echantillion comme ex ungue Leonem. Ce sçavant homme est tres digne de la louange que j'ay promise à ceux qui donneroient une resolution legitime de ma question, j'avoue neantmoins que toute grande que je penserois la faire elle seroit comme fort petite à l'egard de celles qu'il s'est déja acquises par la publication de son ouvrage incomparable, dans le quel il fait voir tant de profondeur et tant de penetration d'esprit, que dés le moment que ce probleme me vint en pensée ces deux Excellens Maitres sçavoir Mr. Leibnits et Newton se presenterent les premiers à mon esprit comme capables de denouer le noeud, quand personne autre ne le seroit.

Il seroit à souhaitter seulement que Mr. Newton eust fait comme nous, c'est-à-dire, qu'il eût aussy publié la methode qui l'a conduit à la connoissance de la courbe cherchée, car c'est de là que le public tire le plus de profit; ou du moins, s'il a voulu cacher l'analyse, il n'auroit pas mal fait et il ne feroit pas mal encore d'affermir sa construction par une Demonstration synthetique, telle que ma methode m'a fournie, par la quelle je prouve demonstrativement à la maniere des Anciens qu'il n'y a qu'une seule ligne courbe tirée d'un point à l'autre selon la quelle le corps pesant descende au moindre temps et que cette courbe est la Cycloide commune ou comme quelques uns l'appellent la roulette, ce qui destruit entierement la pensée d'un Mathematicien du premier rang qui croyoit, qu'il y avoit plusieurs lignes courbes qui pourroient satisfaire au requis; cependant ayant trouvé deux differentes methodes, une indirecte et une directe, qui deduit la resolution du fondement meme de la chose, en considerant les maxima et minima et laquelle m'a mené à cette demonstration synthetique dont je viens de parler; je n'en ay pourtant publié que l'indirecte, partie que je la croyois suffisante pour convaincre celuy qui voudroit douter de la verité de nos resolutions, partie aussy qu'elle donne en meme temps la resolution de deux fameux problemes d'optique dont feu Mr. Huygens fait mention dans son traité de la lumiere page 44 sans en oser entreprendre la determination, sçavoir de trouver la courbure du rayon de la lumiere qui passe par une matiere inegalement rare, et la courbure de l'onde de la lumiere c'est-à-dire la ligne qui coupe perpendiculairement tous les rayons partant d'un meme point lumineux; car je fais voir, ce qui est admirable que si un diaphane commenceant par le point lumineux change continuellement de rareté en descendant verticalement en meme raison que sont les vitesses acquises d'un corps pesant qui tombe du meme point lumineux; la courbe de la plus vite descente sera précisement la meme que celle du rayon, c'est à dire que l'un et l'autre sera la roulette; et la courbe que j'appelle Synchrone, et dont je donne une construction tres simple scavoir celle qui determine les portions parcourues en temps égaux de toutes les roulettes decrites d'un méme commencement et sur une méme base horizontale, sera aussy parfaitement la meme que celle de l'onde qui se fait dans le dit diaphane par le point rayonnant; car l'une et l'autre sera perpendiculaire à ces roulettes.

Il est aussy à remarquer que cett'identité de ces courbes, ne se rencontre pas seulement dans l'hypothese de Galilée, lorsque les vitesses acquises des chûtes sont en raison soudoublée des hauteurs verticales, mais en toute autre hypothese, desorte que ces deux speculations prises de deux si differentes parties des mathematiques telles que sont la Dioptrique et la mechanique, ont entre elles une liaison absolument necessaire et essentielle.

Voyla donc la raison pourquoy je n'ay donné au jour que la voye indirecte, en supprimant encore la directe, ce que Mr. Leibnits luy méme m'a conseillé de faire, voyant que celle cy toute simple qu'elle est, étoit d'une grande consequence, dont quelques uns, qui sont accoutumés de faire parade au dépens d'autruy, se pourroient finement servir, pour en tirer quelques petites nouvelles decouvertes, ce qui leur suffiroit déja pour s'en attribuer la possession et toute la gloire de l'invention. Cependant comme je n'envie rien aux honnetes gens, je n'ay pas fait difficulté de communiquer cette methode à Mr. Le Marquis de L'Hospital, qui comme Mr. Leibnits l'a fort approuvée en y remarquant je ne sçay quoy de surprenant et extraordinaire; je ne refuse pas non plus d'en faire part à qui voudra, on n'a qu'à me la demander par un mot de lettre.

Mr. Leibnits en cherchant nôtre courbe de question est parvenu d'abord à une tres belle proprieté, qui n'a point été considerée jusqu'à present; voycy ce que c'est, si on s'imagine une ligne droite verticale tirée du point superieur d'où le poids commence à descendre le long de la courbe, les ordonnées ou les lignes droites horizontales comprises entre la droite verticale et la courbe, seront en méme raison que les segmens correspondants d'un cercle decrit sur la plus grande largeur de la courbe et qui en touche la base; or il demontre dans ce qui vient de publier, que cette proprieté convient à la cycloide, dont le cercle generateur est celuy méme qui a les segmens proportionels aux ordonnées exterieures de la cycloide. Nous pouvons tirer grand usage de cette nouvelle decouverte, car comme la quadratrice de Dinostrate est propre pour la section des angles ou des secteurs de cercles, ainsi la cycloide outre qu'elle en fait la meme chose nous apprend maintenant une maniere tres aisée de couper les segmens circulaires en raison donnée, ce qui à mon avis est de beaucoup plus important: la cycloide est donc preferable à la Quadratrice d'autant plus qu'on la peut décrire par un mouvement continu tres simple, au lieu que cellecy ne se construit que par l'invention de plusieurs poins.

Pour revenir à nôtre sujet Mr. Leibnits remarque en Galilée deux fautes considerables; c'est que cet homme là qui étoit sans contredit le plus clairvoyant de son temps dans cette matiere, etant cependant destitué de nôtre nouvelle analyse, vouloit conjecturer que la courbe de la chainette etoit une parabole, et que celle de la plus vite descente étoit un cercle, au lieu que la premiere, comme Mr. Leibnits a fait voir le premier, se determine par les logarithmes; ou comme j'ay montré par les arcs paraboliques etendus en lignes droites; et au lieu que la seconde, dont je suis le premier inventeur, est la cycloide, c'est à dire qu'elle se construit par la rectification des arcs circulaires: en sorte que dans l'une et l'autre Galilée a deviné quelque chose d'approchant.

Quant à la resolution de Mr. le Marquis de l'Hospital, qui paroit dans le méme mois de May des Actes de Leispic; elle s'accorde aussy parfaitement avec les notres. Il n'y a pas ajouté l'analyse, mais comme il m'a fait sçavoir par une lettre, sa methode est fondée sur mes principes que je luy avois communiqués autrefois pour la recherche generale des funiculaires ou des courbes des chainettes; lorsqu'on considere les cordes ou les chaines d'une pesanteur non uniforme ainsi Mr. le Marquis a reduit avec adresse la courbe de la plus vite descente à une espece de funiculaire, ce qui est assûrement fort curieux; il avoue que ce probleme qu'il n'a resolu que sur le point du dernier terme luy a parû tres-difficile, mais qu'il étoit empeché de s'y appliquer plutot serieusement par une longue maladie.

Il me reste encore à dire quelque chose sur la resolution de mon frere, d'autant plus que j'y trouve de nouvelles propositions qui me touchent en particulier. Il ne nie pas que mon probleme ne soit dans le nombre de ceux qui par leur subtilité sont beaucoup à dessus des autres qui se resolvent par la methode ordinaire des maximorum et minimorum. Il est à presumer (puisqu'il dit qu'étant solicité par Mr. Leibnits, il n'a plus voulu eviter la peine de s'y attacher) que ce probleme l'a occupé longtems et qu'il luy a donné grande peine; en effet il croyoit pendant longtemps avec Galilée que nôtre courbe étoit un cercle, ce dont je m'étonne puisque ces sortes de problemes ne sont point sujet à un grand travail ni à un calcul prolixe et penible, comme sont ordinairement les problemes algebraiques; au moins je puis dire qu'à l'heure que je me suis proposé ce probleme je l'ay aussy resolu, non point par hazard comme quelqu'un se persuade, mais de propos deliberé comme s'il m'avoit été proposé par un autre. Mrs. Leibnits et Newton en diront autant, car l'un et l'autre s'est rendu maitre de la solution le premier jour qu'ils ont vû le probleme.

Quoiqu'il en soit mon frere trouva en fin la veritable resolution par une methode tout à fait la méme ou fort peu differente de celle de Mr. Leibnits, dont il luy a plu me faire part il y a longtemps dans ses lettres particulieres; non obstant que je trouve dans celle de Mr. Leibnits le raisonnement plus succinct sans tous ces detours d'analogies dont mon frere se sert pour appuyer le sien. Ainsi donc mon frere fait le quatrieme de ceux que les trois grandes nations l'Allemagne, l'Angleterre et la France chacune le sien nous a donné pour concourir avec moy dans une si belle recherche en trouvant tous une meme verité. Ce merveilleux accord est donc capable de servir de preuve de la bonté de nos methodes, auprés de ceux qui n'ont pas le temps de les examiner, ou qui sans les entendre les veulent renverser.

Mon frere fait aussy mention de Curva refractionis c'est à dire de la courbure du rayon de la lumiere, disant qu'en suivant les mémes traces on la trouvera avec une pareille facilité; cependant je suis étonné qu'il n'ait vû que ces deux courbes (qu'il croyoit differentes) n'en font qu'une seule, comme j'ay dit cy-dessus.

A l'occasion de ces speculations mon frere nous assure qu'il s'est procuré un accés libre à la connoissance des choses beaucoup plus sublimes et plus difficiles: pour en donner un echantillon, il nous propose à son tour deux autres problemes, s'adressant particulierement à moy; en ces termes: Si vicem reddere volet (Frater).

Quelques difficiles que ces problemes paroissent, je n'ay pas manqué de m'y attacher à l'instant meme que je les ay lû, mais voyez avec quel succés au lieu de 3 mois qu'on me donne pour sonder le guet et au lieu de tout le reste de cette année pour trouver la solution, je n'ay employé en tout que 3 minutes de temps pour tenter, commencer et achever d'aprofondir tout le mystere; et bien au delà; car je donneray les resolutions mille fois plus generales que ne sont les problemes, à sçavoir qu'au lieu qu'on veut seulement que $PZ$ soit comme une certaine puissance de $PF$; j'enseigneray une regle generale pour decrire la courbe cherchée $BFN$ lorsque $PZ$ doit etre composée de $PF$ et de la donnée $A$ de quelque façon qu'on se puisse imaginer; c'est-à-dire si sur l'axe $BG$ parallele à $PF$, on conçoit une courbe donnée quelconque $BH$, dont les ordonnées $GH$; j'enonce le probleme generalement, ainsi: On demande la construction de la courbe $BFN$ qui de toutes les isoperimetres soit telle, qu'en ayant pris sur les appliquées prolongées $FP$, les lignes $PZ$ egales aux $GH$ appliquées correspondantes de la courbe donnée $BH$, il s'en fasse une autre courbe $BZN$ dont l'espace enfermé $NBZN$ soit le plus grand de tous les autres imaginables qui se pourroient ainsi faire par les autres isoperimetres $BFN$. Y a-t-il donc rien de si general que cela? car selon la proposition de mon frere la courbe donnée $BH$ ne seroit que du genre des paraboles, au lieu que ma construction est egalement facile quelque soit que la courbe $BH$.

Pour ce qui est de l'autre probleme, par le quel on demande d'entre toutes les cycloides qui ont le meme commencement et la meme base horizontale, celle suivant la quelle le corps pesant arrive le plus vite à une ligne verticale donnée; il est vray que c'est là proprement le probleme pour la resolution du quel ce genereux non nemo me promet le prix de 50 écus blancs, d'où je conclus que la difficulté luy en a paru si effroyablement grande qu'il ne pouvoit point se persuader qu'il y eût homme au monde capable de la surmonter. Cependant voyez comme la fortune se joue des hommes; cette inconstante ne luy ayant montré qu'un chemin tres rude et tres epineux, m'a été si favorable qu'elle m'a mené par une voye douce tres courte et tres aisée; par la quelle j'ay meme plus trouvé que je ne cherchois. Car je determine aussy quelle cycloide il faut prendre si à la place de la droite verticale, on prend toute autre ligne oblique donnée de position. Enfin tout cela n'est qu'un simple corollaire de ce que j'ay déja publié sur la courbe Synchrone, ensorte que nôtre nonnemo sera bien surpris de se voir satisfait sur sa question au meme mois des Actes où il la propose: Ma methode est si feconde, qu'elle n'en demeure pas là; mais elle passe plus outre, en resolvant aussy le probleme si à la place des courbes de la plus vite descente c'est à dire à la place des cycloides, on substitue des courbes de quelque autre espece que ce soit par ex. des cercles ou des paraboles, ce que mon frere tient pour si desesperé que sans le vouloir seulement entreprendre il se contente de l'avoir proposé disant Qui speculationem de maximis et minimis promovere volet, tentabit. Nobis sufficiat proposuisse.

Au reste j'ay déja envoyé à Mr. Leibnits mes solutions, et je l'ay prié d'etre nôtre Juge; il est donc juste et necessaire que l'inconnu Prometteur remette de méme le prix entre les mains du Juge, ce qu'il ne refusera pas de faire étant honnete homme comme j'espere; Aussitot que cela sera fait Mr. Leibnits publiera mes solutions, et prononcera en meme temps la sentence si elles seront legitimes ou non. Cependant je proteste par avance que ce n'est pas l'envie de gagner, mais uniquement bien l'interest des pauvres pour lesquels j'ay destiné cet argent qui me fait agir avec empressement. Car j'aurois honte de prendre de l'argent pour une chose qui m'a donné si peu de peine, et qui ne m'a point fait perdre de temps, si ce n'est ce que j'employe à ecrire cecy: Quand meme elle m'auroit donné quelque occupation, ce n'est pas là le moyen de recompenser l'esprit, l'ardeur noble qu'il sent pour ces belles sciences est bien au dessus de tout l'argent, car la moindre decouverte qu'on y fait vaut plus que toutes les richesses: ce ne sont donc que les ames mercenaires, qui me voudront blamer de ce que je n'ay pas aussy promis une somme d'argent lorsque j'ay proposé mes problemes. Je dis cela, afin que celuy qui a voulu exercer sa liberalité en m'offrant un prix sçache, qu'il feroit tort aux pauvres et non point à moy, s'il vouloit retracter sa parole.

P. S. Je vous prie Monsieur d'accorder à cette lettre quelque place dans votre Histoire des ouvrages des sçavans; mais je souhaiterois que cela se fit au plutot. Je ne doute pas que n'etant point François je ne me sois servi en plusieurs endroits des façons de parler que le genie de Vôtre langue ne souffre pas, c'est pourquoy Vous aurez la bonté de les corriger, ou de changer comme bon Vous semblera. Quand la lettre sera imprimée vous m'obligerez beaucoup de m'en envoyer incontinent deux exemplaires, pour en faire part à mon frere et à celuy qui propose le prix.

J'ay reçû les remarques de Mr. Leibnits,que vous avez pris la peine de m'envoyer dont je vous rend graces. J'ay appris avec bien du plaisir que Mrs. Dirckens le Pere et le Fils se divertissent aussy dans nos études. Si le Fils en a pas reussi dans la resolution de mon probleme, il ne faut pas qu'il se rebute pour cela ou qu'il perde le courage: Je connois quelques mathematiciens du premier ordre qui n'ont pas été plus heureux que luy. Asseurez les je vous prie de mes treshumbles respects, et dites leur que je leur offre mes services de tout mon coeur, s'ils me jugent capable de les servir.

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Fussnoten

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