Bernoulli, Johann I an Leichner, Johann Wilhelm Theodor (1723.01.06)

Kurzinformationen zum Brief       mehr ...
Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Leichner, Johann Wilhelm Theodor, 1682-1733
Ort	Basel
Datum	1723.01.06
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 674:Bl.110-111
Fussnote

Viro Excellentissimo atque Doctissimo

Joh. Wilhelmo Theodoro Leichnero

S. P. D.

Joh. Bernoulli.

Quas ad me dedisti litteras humanissimas die 4. 8bris accepi quidem, sed non item illas alteras, quas jam ante complures annos mihi scripsisse testaris. Respondissem utique, si eas accepissem, quamvis raro se offerant tales, quas innuis, occasiones ad Te mittendi Litteras, ex nostratibus enim studiosis nemo quod sciam in Academiis Lipsiensi, Hallensi, Jenensi aliave nunc degit neque facile in aliam concedunt studiorum gratia, cum ea excolere possint in Universitate Patria; Haec quoque causa est, cur extra tempus nundinarum Lipsiensium, quas quidam ex Mercatoribus nostris frequentare solent, nihil possim mittere D.^o Menkenio, nisi pro ea re uti velim cursore publico; id quod nunc facio, certe eum tantum in finem, ut hasce includere possim ad Te, Vir Clarissime, ubi eas acceperit porro deferendas, utque ei aperiam simulque commendem desiderium Tuum quod eo tendit, ut ille problema, quod Geometris propositum velles, Actis Eruditorum inserat. Hanc viam prima vice adhiberi necesse fuit, quoniam alias responsionem meam diu adhuc expectaturus eras, deque meo silentio nescio forsan, quid sinistri judicaturus. A Cl. Hermanno diu nihil litterarum accepi; quid ejus rei causa sit, an animi alienatio an quid aliud, ego sane nescio. Quod attinet ad problema Tuum de catenariis horizontalibus, videtur illud mihi perpulchrum quidem, sed et in plerisque casibus arduum et difficile. Memini quondam et me de iis cogitasse; succurrunt casus, ut puto, in quibus rem ad aequationes differentiales perduxi. Prae caeteris unum notavi casum, ubi catenaria horizontalis eadem prorsus est cum catenaria verticali ordinaria diu a nobis determinata, quae nempe formatur per catenam, ab utroque extremo libere pendentem. Concipe namque catenulam perfecte flexilem in plano horizontali jacentem $AEB$, ejusque terminos $A$ et $B$ trahi secundum rectas parallelas $AC$ et $BD$, et quidem utrumque aequali velocitate; Continuetur tractio eo usque donec figura curvedinis sensibiliter non mutetur amplius inter movendum, quam figuram ubi catenula acquisiverit, quam ideo voco "perseverantem", pronum mihi fuit statim colligere, eam non posse esse diversam a catenaria vulgari; sit enim $\alpha \epsilon \beta$ curva catenae, quam adepta est in statu perseverantiae, patet singulas catenae particulas minimas $mn$ aequali tunc velocitate $mo$ protractas, aequalem renitentiam habere, quae renitentia originem habet partim a vi, quam vocitant "inertiae" partim a frictione particulae $mn$ super plano horizontali vel etiam a sola vi inertiae, si nimirum abstrahatur a frictione, utpote quae abesse posset, supponendo catenam et planum omni asperitate carere: undecunque autem proveniat illa renitentia sive a sola vi inertiae sive conjunctim quoque a vi frictionis superandae, manifestum est, quamlibet particulam $mn$ aequali gaudere renitentia, quae exercetur secundum directionem motus $mo$ parallelam ipsis $A\alpha$, $B\beta$. Unde vires renitentes ad curvandam catenam $\alpha \epsilon \beta$ eandemque postea in statu perseverantiae conservandam idem praestant quod vires ponderum in particulis catenae in plano verticali pendentis, nam et haec pondera sunt aequalia in partibus catenae aequalibus, habentque ut ibi directiones parallelas; quare similem utrobique curvaturam induere debet catena, hoc est, catenariae horizontalis Tua et altera illa verticalis sunt curvae similes, Q. E. D. Hujus rei veritatem confirmavi experimento quod institui facillimo; scilicet sumsi asserculum bene dedolatum $\alpha FG\beta$, longitudinis circiter trium pedum et latitudinis sesquipedalis, quem posui in mensam horizontalem; deinde adaptavi normam $HAB$ extremitates catenulae $AEB$ cruri longiori $AB$ affixas gerentem, quo facto crus brevius manu pretensum lento motu secundum latus $A\alpha$ promovi, ubi jucundo spectaculo observari mihi datum norma vixdum unum pedem progressa catenam $AEB$ jamjam induisse curvaturam suam perseverantem $\alpha \epsilon \beta$. Cum iterassem saepius experimentum, mutata semper curva initiali $AEB$, arcuando nimirum catenulam modo in circulum, modo in parabolam, modo in aliam, formando etiam eam in lineam flexuosam vel serpentinam, deprehendi tamen semper post breve longitudinis spatium a norma percursum eandem singulis vicibus curvam $\alpha \epsilon \beta$ catenulae inductam fuisse adeo, ut nihil referat, qualis sit curva initialis $AEB$, haec enim per motum translationis brevi se accommodat ad perseverantem curvaturam $\alpha \epsilon \beta$, citius tamen aut tardius nonnihil, prout $AEB$ minus magisve discrepat et difformis est ipsi $\alpha \epsilon \beta$. Sed ut etiam, quod palmarium est experirer, utrum nempe catenaria $\alpha \epsilon \beta$ eadem esset ut ratiocinando praevideram, cum catenaria verticali. Normam $AB$ postquam pervenisset in situm $\alpha \beta$, firmavi ad asserem, hunc postea paulatim et blando motu elevando circa latus $FG$ erexi in situm verticalem, hoc peracto observavi non sine quadam voluptate, catenam tunc pendentem ex terminis $\alpha$ et $\beta$ eandem omnino retinuisse formam, quam habebat, cum jaceret in assere horizontali, quin et durante elevatione nullam ex particulis catenulae loco suo deturbatam fuisse. Quod si directionis motus $AC$ et $BD$, secundum quas extremitates catenae trahuntur non sunt parallelae vel motus utrobique non est aequalis curva $\alpha \epsilon \beta$ singulis momentis mutabitur et nunquam perveniet ad statum perseverantiae; ejusque adeo natura in locis singulis dependebit partim ab initiali curva $ACB$, partim a longitudine spatii quod extremitates $A$ et $B$ protractae peragrarunt; Sed ingenue fateor me nondum invenisse modum determinandi geometrice naturam ejusmodi catenariarum horizontalium, quae tractione continuo variantur et ita nunquam perveniunt ad statum perseverantiae; si quam habes, Vir Cl. methodum pro earum investigatione, rogo ut eam publici juris facias; obstringes haud dubie omnes Mathematicos exceptis quibusdam invidis Britannis. Ecce nunc aliam catenariam, quae desinit in perseverantem. Sit in plano horizontali angulus invariabilis $ACB$, qui circa verticem $C$ lento motu rotetur, secumque trahat catenulam laxam $AB$ extremitatibus laterum $A$ et $B$ alligatam; experientia docuit curvam catenulae $AB$ brevi induere curvaturam perseverantem; quaeritur ejus determinatio, saltem per aequationem aliquam differentialem? quam ego inveni, haec est $dy\int ydt+dx\int xdt=aadx$, quae ablatis integralitatis signis $\int$ desinit in aequationem differentialem tertii gradus.

Caeterum non minus esset curiosum considerare alterius generis catenarias horizontales, quae scilicet generantur trahendo unum catenulae terminum super data quadam linea altero termino sponte progrediente. Finge ex. gr. catenulam $AB$ ab initio in rectum extensa et perpendiculariter insistentem rectae $AC$, cum qua sit in eodem plano horizontali; finge nunc terminum $A$ duci secundum rectam $AC$ et post se trahere ipsam catenulam $AB$, ubi pervenerit $A$ in $\alpha$ et $B$ in $\beta$, percipies catenulam induere formam curvilineam $\alpha \beta$, quaeritur cujus illa sit indolis, postquam nimirum $A$ datum spatium $A\alpha$ percurreret, nam singulis in locis aliam induet formam et magis magisque ad rectitudinem $CA$ accedet. Quod superest Vale Vir Clar. et me amare perge.

Dabam Basileae a. d.

---

Fussnoten

Zurück zur gesamten Korrespondenz