Clairaut, Alexis Claude an Bernoulli, Johann I (1732.10.01)

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Autor	Clairaut, Alexis Claude, 1713-1765
Empfänger	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Ort	Paris
Datum	1732.10.01
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	BS UB, Handschriften. SIGN: L I a 684, pp.729-733
Fussnote	Letztes Blatt 22 x 17 cm. Im Text finden sich in den Formeln Clairauts autographe Korrekturen von Johann I Bernoulli. Sie sind mit anderer Tinte über die entsprechende Stelle geschrieben. Auf p.727 ist der Nenner eines Bruches von Johann I Bernoulli mit Bleistift um den fehlenden Wurzelausdruck ergänzt.

A Paris ce premier octob. 1732

Monsieur

On ne peut rien [imaginer] de plus flatteur que la lettre que vous m'avés fait l'honneur de m'ecrire. Mais je suis si confus quand je considere combien je suis eloigné de la meriter que je ne sçai comment y repondre, aussi aije deja tardé longtems dans l'embarras où j'etois de vous en temoigner ma reconnoissance. Malgré toutes les choses obligeantes dont votre lettre est remplie Monsieur il y en a une qui m'a causé beaucoup de chagrin, c'est qu'il m'a parû que vous souhaitiés que je differasse mon Voyage [à] Basle. Vous ne sçauriés croire combien il m'en a couté pour m'y resoudre. Cependant je m'y suis determiné dans la crainte de vous importuner et je compte profiter du tems qui me reste, pour me rendre familier les principes de Physique et de mecanique à quoi je ne m'etois pas encore appliqué, afin de me mettre plus en etat de profiter de vos lumieres et de mieux admirer les sçavantes applications que vous avés faites de la plus sublime geometrie à l'une et l'autre de ces deux sciences.

Voici deux petits morceaux de geometrie que je prens la liberté de vous envoyer. J'espere que [vous] voudrés bien avoir la bonté de les examiner et de me dire si je ne me suis pas trompé dans mes solutions et si je m'y suis pris de la meilleure façon. L'un de ces deux Problemes m'est venu à l'occasion d'un fragment d'une [de] vos lettres, ecrite à m.^r Cramer, qu'il me communiqua, vous lui parliés du Probleme de la ligne la plus courte entre deux points donnés sur une surface courbe et celle de la plus vite descente etc. Je crois avoir resolu celui ci qui les renferme tous les deux avec beaucoup d'autres. Trouver entre deux points donnés sur une surface courbe quelconque une Courbe telle que chacun de ses points souffrant une action quelconque qui soit comme une fonction de ses coordonnées. Cette courbe en souffre pendant tout son cours le moins qu'il est possible. Voici comme je m'y prens pour le resoudre.

Soit $N$, $n$, $\nu$, trois points infinimens proches [Figur] de cette courbe et $NM$, $MP$, $AP$; $nm$, $mp$, $Ap$; et $\nu \mu$, $\mu \pi$, $A\pi$; les coordonnées correspondantes à chacuns de ces points. Il est clair par la proprieté de la courbe que le point $n$ doit etre tellement placé par rapport aux points $N$ et $\nu$ que l'action qui s'exerce sur le petit coté $Nn$ plus celle qui s'exerce sur le coté $n\nu$ soit un minimum. Imaginant donc que $PMN$, $pmn$, $\pi \mu \nu$, soient trois tranches de la surface courbe et que $N$ et $\nu$ soit deux points donnés, l'un sur la 1^ere et l'autre sur la 3^eme. Il faut trouver sur la 2^eme $pmn$, le point $n$ tel que l'action qui s'exerce sur $Nn$ plus celle sur $n\nu$ soit un minimum.

Soit donc nommé les données $AP$ $a$, $PM$, $b$, $MA$ $p$ qui marque la position de la tranche $pmn$, $e$; $A\pi$ $g$, $\pi \mu$, $h$, $\mu \nu$, $i$, et les inconnues $Pm$, $y$, et $mn$, $z$, (il est clair par l'eq. de la surface courbe que l'on aura une valeur de $z$ en $Ap$ et $pm$ c'est à dire en $e$ et en $y$).

Soit nommé de plus la fonction qui exprime l'Action sur le point $N$ ou sur le coté $Nn$, ${\textrm {F}}.abc$ et celle qui exprime l'action sur $n\nu$, ${\textrm {F}}.eyz$. Soit nommé encore la difference de $z$, $dy\varphi .ey$ parce qu'ayant la valeu[r] de $z$ en $e$ et en $y$ on doit avoir celle de $dz$ en $dy$ et en $y$ et $e$ c'est à dire que ce doit etre une fonction de $e$ et de $y$ multipliée par $dy$. Soit exprimé de meme la difference de ${\textrm {F}}.eyz$ par $dy\varphi .eyz$.

On aura $Pp=e-a$, $Rm=y-b$, $Sn=z-c$, $p\pi =g-e$, $\nu \mu =h-y$, $S\nu =i-z$, $Nn={\sqrt {(e-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}$, $n\nu ={\sqrt {(g-e)^{2}+(h-y)^{2}+(i-z)^{2}}}$. Il faudra donc à present par les qualités du probleme que ${\textrm {F}}.abc\times {\sqrt {}}((e-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2})+{\textrm {F}}.eyz\times {\sqrt {}}((g-e)^{2}+(h-y)^{2}+(i-z)^{2})=Minim.$ c'est à dire que sa differentielle soit egalée à zero. On aura donc ${\textrm {F}}.abc({\frac {(y-b)\cdot dy+(z-c)\cdot dy\varphi .ey}{\sqrt {(e-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}})+dy\varphi .eyz{\sqrt {}}((g-e)^{2}+(h-y)^{2}+(i-z)^{2})+{\textrm {F}}.eyz({\frac {(h-y)-dy+(i-z)-dy\varphi .ey}{{\sqrt {}}((g-e)^{2}+(h-y)^{2}+(i-z)^{2})}})=0$ ou bien ${\textrm {F}}.abc({\frac {y-b+(z-c)\varphi .ey}{\sqrt {(e-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}})+\varphi .eyz{\sqrt {(g-e)^{2}+(h-y)^{2}+(i-z)^{2}}}={\textrm {F}}.eyz({\frac {h-y+(i-z)\varphi .ey}{\sqrt {(g-e)^{2}+(h-y)^{2}+(i-z)^{2}}}})$ qui est une equation dans laquelle quoiqu'il y ait deux inconnues, on peut trouver la valeur de $pm$ et de $mn$ c'est à dire la position du point $n$, par ce que l'on a une valeur de $z$ en $y$ et en $e$. Mais il est aisé de voir que cette valeur de $pm$ ne fait connoitre la courbe et que l'equation precedente n'est pas l'equation de la courbe. Il faut donc regarder cette equation seulement comme exprimant une proprieté de la courbe et tacher d'en tirer une equation entre $x$, $y$, et $z$ qui avec l'equation de la courbe de la surface donnera celles des courbes de projection de la courbe demandée. Soit pour cela remis dans l'equation precedente à la place de $y-b$, $z-c$ etc. leurs valeurs $Rm$, $Sn$, etc. et elle deviendra ${\textrm {F}}.abc({\frac {Rm+Sn\cdot \varphi .ey}{Nn}})+\varphi .eyz\cdot Nn={\textrm {F}}.eyz({\frac {r\mu +s\nu \cdot \varphi .ey}{n\nu }})$. Je mets presentement l'equation precedente sous cette forme $\varphi .eyz\times Nn+{\textrm {F}}.abc\times {\frac {Rm}{Nn}}+{\frac {{\textrm {F}}.abc\cdot \varphi .ey\cdot Sn}{Nn}}={\frac {{\textrm {F}}.eyz\cdot r\mu }{n\nu }}+{\frac {{\textrm {F}}.eyz\cdot \varphi .ey\cdot s\nu }{n\nu }}$ dans la quelle je remarque que le second terme du premier membre et le premier du second sont uniformes, c'est à dire que l'un est ce qu'est devenu l'autre quand $Pp$ est devenu $p\pi$ quand $Rm$ est devenu $r\mu$ etc. Je remarque ensuite que le 3^e terme du 1^er membre et le 2^e du 2^e seroient uniformes si au lieu de $\varphi .ey$ dans le 3^e du 1^er il y avoit $\varphi .bc$; je mets alors au lieu du terme ${\frac {{\textrm {F}}.abc\cdot \varphi .ey\cdot Sn}{Nn}}$, ${\frac {{\textrm {F}}.abc\cdot \varphi .bc\cdot Sn}{Nn}}$ et afin de conserver l'egalité dans les deux membres de l'equation j'ajoute en meme tems ${\frac {{\textrm {F}}.abc(\varphi .ey-\varphi .bc)Sn}{Nn}}$ c'est à dire ${\frac {{\textrm {F}}.abc\cdot Sn\cdot d(\varphi .bc)}{Nn}}$. J'ecris presentement l'equation ainsi $\varphi .eyz\cdot Nn+{\frac {{\textrm {F}}.abc\cdot Rm}{Nn}}+{\frac {{\textrm {F}}.abc\cdot \varphi .bc\cdot Sn}{Nn}}+{\frac {{\textrm {F}}.abc\cdot Sn\cdot d(\varphi .bc)}{Nn}}={\frac {{\textrm {F}}.eyz\cdot r\mu }{n\nu }}+{\frac {{\textrm {F}}.eyz\cdot \varphi .ey\cdot s\nu }{n\nu }}$ ou bien $\varphi .eyz\cdot Nn+{\frac {{\textrm {F}}.abc\cdot d(\varphi .bc)Sn}{Nn}}=d({\frac {{\textrm {F}}.abc\cdot Rm}{Nn}})+$$d({\frac {{\textrm {F}}.abc\cdot \varphi .bc\cdot Sn}{Nn}})$ ou en mettant pour $a$, $b$, $c$ leurs valeurs ordinaires $x$, $y$, $z$, pour $Nn$, $ds$, pour $Rm$, $dy$ etc., et $\varphi .eyz$ differant infiniment peu de $\varphi .abe$ on pourra mettre aussi à sa place $\varphi .xyz$. D'où l'equation deviendra $ds\varphi .xyz+{\frac {{\textrm {F}}.xyz\,dz\,d(\varphi .xy)}{ds}}=d({\frac {{\textrm {F}}.xyz(dy+\varphi .xy\cdot dz)}{ds}})$ laquelle avec celle de la surface courbe donnera la Courbe cherchée.

Si l'on veut que l'action exprimée par ${\textrm {F}}.xyz$ soit constante par exemple $=1$ il est clair que la courbe devient alors la plus courte entre ses points, ainsi on n'a qu'à faire ${\textrm {F}}.xyz=1$ et par consequent $\varphi .xyz=0$ dans l'equation precedente et elle deviendra ${\frac {dz}{ds}}d(\varphi .xy)=d({\frac {dy+\varphi .xy\,dz}{ds}})$ qui sera l'equation generale des Lignes les plus courtes entre leurs points. On peut donner à cette equation generale une autre forme que voici. Soit mis $K$ à la place de $\varphi .xy$ on aura ${\frac {dzdK}{ds}}=d({\frac {dy+Kdz}{ds}})$ ou ${\frac {dzdK}{ds}}={\frac {dsddy+dsKddz+dsdKdz-dydds-Kdzdds}{ds^{2}}}$ ou ${\frac {dydds+Kdzdds}{ds^{2}}}={\frac {ddy+Kddz}{ds}}$ ou ${\frac {dds}{ds}}={\frac {ddy+Kddz}{dy+Kdz}}$. On peut meme lui donner cette forme en faisant $ds$ constant et l'on aura $ddy=-Kddz$.

Soit proposé pour un exemple de ce probleme de trouver les lignes les plus courtes entre leurs points sur toutes les surfaces dont les equations sont sous cette forme $dz=dy\varphi .y$ c'est à dire de toutes les surfaces cilindriques. On aura en supposant $ds$ constant, $dxddx+dyddy=-dzddz$ à cause que $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ qui etant substituée dans $ddy=-Kddz$ la fera devenir ${\frac {dzddz+dxddx}{dy}}=Kddz$ ou ${\frac {dzddz}{dy}}+{\frac {dxddx}{dy}}=Kddz$. Mais puisque $dz=dy\varphi .y$, $K$ sera $\varphi .y$ c'est à dire ${\frac {dz}{dy}}$ donc ${\frac {dzddz}{dy}}=Kddz$ d'où l'equation deviendra ${\frac {dxddx}{dy}}=0$ ou $ddx=0$ ou $dx=mds$ ou $x=ms+b$ pour l'equation des lignes les plus courtes sur les surfaces cilindriques ce qui peut se voir aisement d'ailleurs car ces lignes sont alors celles qui deviendroient des lignes droites si l'on applatissoit la surface cilindrique, or c'est ce qui arriveroit à la courbe dont la relation de l'arc $S$ à l'abscisse seroit exprimée par une equation du 1^er degré.

Il sera aisé de tirer de l'equation generale de la courbe de la moindre action celle de la courbe de la plus vite descente dans quelque hypothese de vitesse meme que ce soit car on n'a qu'à faire $F.xyz=$ à l'unité divisée par la quantité qui exprime alors la vitesse dans tous les points de la courbe; c'est par exemple ${\sqrt {}}z$ dans l'hypothese de Galilée. On peut tirer aussi la solution de plusieurs autres proble[mes] de ce Probleme generale. Mais la brieveté d'une lettre ne me permet pas Monsieur d'en dire davantage sur ce probleme, je vous demande même mille pardons d'en avoir parlé si longtems.

L'autre Probleme est une maniere d'avoir l'element des Epicicloïdes spheriques de M^r Herman. Comme dans mon petit traité des Courbes à doubles courbur[es] j'avois resolu un probleme qui y a beaucoup de rapport, je crus quand j'en entend[ois] parler à m^r de Maupertuis que je pourrois le trouver [par] mes equations generales, mais quand je l'eus un peu examiné je vis qu'il s'y falloit prendre d'une autre façon, la voici que j'ai l'honneur de vous montrer et que je vous supplie de vouloir bien examiner.

Je commence par ce Lemme. Trouver l'expression de l'Element d'une courbe dont tous les points $M$ sont trouvés sur le plan $ABC$,[Figur] en prenant sur les rayons $BC$ d'un cercle $AB$ les parties $BE$ egales à une fonction de l'arc $AB$ et sur les perpendiculaires $DE$ les parties $EM$ egales à une fonction de $BE$ ou de $AB$.

Soient conçues les quantités $AB$, $BE$, $EM$ être devenues au point $m$ infiniment proches de $M$, $Ab$, $be$, $em$, et soit nommé $AB$, $z$, $BE$, $nx$, $EM$, $y$, $CB$, $r$, on aura $Bb=dz$, $eL=ndx$, $EL-MR=dy$, $CE=r-nx$. Et

$CB\,(r)\,:Bb\,(dz)\,::r-nx:{\frac {rdz-nxdz}{r}}=EL$

$Bb\,(dz)\,:CB\,(r)\,::eL\,(ndx)\,:{\frac {nrdx}{dz}}=ED=LD$ d'où $DM=Dm={\frac {nrdx}{dz}}-y$.

Mais $CB\,(r)\,:Bb\,(dz)\,::Dm\,({\frac {nrdx}{dz}}-y)\,:{\frac {nrdx-ydz}{r}}=mR$.

Presentement l'Element $Mm={\sqrt {}}(MR^{2}+mR^{2})$ mais $MR=EL-dy={\frac {rdz-nxdz-rdy}{r}}$ donc $Mm={\sqrt {}}(({\frac {nrdx-ydz}{r}})^{2}+({\frac {rdz-nxdz-rdy}{r}})^{2})$

Probleme

Soit conçu le cercle $FqB$ avec point $N$ fixe [Figur] sur son plan tourner ou plutôt rouler sur le cercle $AB$, en sorte que le plan $NBF$ fasse toujours un angle constant avec le plan $ACB$. On demande l'expression de l'Element de la courbe decrite dans ce mouvement par le point $N$. Soient tirés $NG$ perpendiculaire à $FP$, le rayon $NP$ mené $qh$ parallele à $NG$, abbaissé $GE$ perpendiculaire à $CB$ et au plan $ABC$, mené l'ordonnée $NM$ de la courbe à double courbure $AN$. Il est clair que l'element cherché est la racine du quarré de l'Element de la courbe de projection sur le plan $ABC$ plus le quarré de la difference de $NM=GE$.

Soit fait $AB=z$, $Bb=x$, $NG=ME=y$ et le rapport de $GB$ à $BE$ toujours constant par la supposition $=n$, on aura $BE=nx$, $GE=x{\sqrt {}}(1-nn)=NM$, soit nommé encore $CB=r$, $FP=Pq=PB=a$, $NP=b$, on aura $NP\,(b)\,:qP\,(a)\,::GP\,(x-a)\,:{\frac {ax-aa}{b}}=Ph$, qui donne $Bh={\frac {ax-aa}{b}}+a={\frac {a}{b}}(x-a+b)$ et par consequent $qh={\frac {a}{b}}{\sqrt {}}(bb-(x-a)^{2})$ et $y={\sqrt {}}(bb-(x-a)^{2})$ et l'arc $Bq=\int {\frac {adx}{{\sqrt {}}(bb-(x-a)^{2})}}$. Presentement par la proprieté du roulement l'arc $Bq$ sera egal à l'arc $AB$ d'où l'on aura $dz={\frac {adx}{{\sqrt {}}(bb-(x-a)^{2})}}$. Il faut substituer à present ces valeurs de $y$, de $dz$ etc. dans l'expression generale de l'Element de la Courbe de Projection, qui est dans le cas du Lemme precedent. On aura $ydz=adx$ et par consequent ${\frac {nrdx-ydz}{r}}={\frac {nrdx-adx}{r}}$, ${\frac {rdz-nxdz-rdy}{r}}={\frac {radx-naxdx-ardx+xrdx}{r}}={\frac {{\frac {r-an}{r}}xdx}{{\sqrt {}}(bb-(x-a)^{2})}}$.

Ainsi l'element de l'Epicicloïde sera ${\sqrt {}}(({\frac {nr-a}{r}})^{2}dx^{2}+{\frac {({\frac {r-an}{r}})^{2}xxdx^{2}}{bb-(x-a)^{2}}}+(1-nn)dx^{2})=$$dx{\sqrt {}}(({\frac {nr-a}{^{r}}})^{2}+1-nn+{\frac {({\frac {r-an}{r}})^{2}xx}{bb-(x-a)^{2}}})$.

Coroll. 1. Si l'on veut à present avoir l'Element de l'Epicicloïde formée par un cone droit roulant sur $CBA$ et ayant son sommet en $C$, il faut faire attention que $CBP$ [Figur] se trouve un triangle rectangle d'où l'on a $CB\,(r)\,:PB\,(a)\,::1:n$, ce qui donne $n={\frac {a}{r}}$ d'où l'element devient $dx{\sqrt {}}(1-{\frac {aa}{rr}}+{\frac {(1-{\frac {aa}{rr}})^{2}xx}{bb-(x-a)^{2}}})=dx{\sqrt {}}(1-{\frac {aa}{rr}})\times {\sqrt {}}({\frac {bb-aa+2ax-{\frac {aa}{rr}}xx}{bb-aa+2ax-xx}})$.

Coroll. 2. Si l'on fait dans cette valeur $b=a$, c'est à dire que le point decrivant soit sur le cone on aura ${\sqrt {}}(1-{\frac {aa}{rr}})dx\times {\sqrt {}}({\frac {2a-{\frac {aa}{rr}}x}{2a-x}})$. Coroll. 3. Si l'on veut que $n=1$ alors le cercle $FqB$ roule sur l'autre dans le meme plan et la Courbe à double courbure devient l'Epicicloïde ordinaire dont l'element se trouve alors $dx{\sqrt {}}(({\frac {r-a}{r}})^{2}+{\frac {({\frac {r-a}{r}})^{2}xxdx}{bb-(x-a)^{2}}})$ ou ${\frac {r-a}{r}}dx{\sqrt {}}({\frac {bb-aa+2ax}{bb-xx+2ax-aa}})$. Coroll. 4. Si l'on avoit fait $n=1$ on auroit eu l'Epicicloïde formée en faisant rouler le cercle $FqB$ sur la convexité du cercle $AB$ et l'element auroit eté ${\frac {r+a}{r}}dx{\sqrt {}}({\frac {bb-aa+2ax}{bb-xx+2ax-aa}})$. Coroll. 5. Si dans l'un et l'autre de ces cas on fait $b=a$ on aura les elemens des epicicloïdes dont le point decrivant est sur le cercle roulant qui se trouveront ${\frac {r\mp a}{r}}dx{\sqrt {}}({\frac {2a}{2a-x}})$ qui est integrable comme on le sçait d'ailleurs. Coroll. 6. Si à present l'on fait dans l'expression generale $dx{\sqrt {}}(({\frac {nr-a}{r}})^{2}+{\frac {({\frac {r-an}{r}})^{2}xx}{bb-(x-a)^{2}}})$ de l'element de la courbe de projection $r=a$, elle deviendra ${\frac {a-an}{a}}dx{\sqrt {}}({\frac {bb-aa+2ax}{bb-aa+2ax-xx}})$ qui se trouve etre de nature Epicicloïdique, comme en effet cela doit etre car l'on sçait par la page 106, art. 157 du livre de recherches sur les Courb. à d. courb. que la Courbe de projection d'une courbe formée par le roulement d'une courbe sur une autre courbe egale dans quelque inclinaison de plan que ce soit, est toujours une Courbe semblable à l'Epicicloïde de la Courbe roulante. Coroll. 7. Si l'on fait $r=an$ dans la valeur generale de l'Element des Epicicloïdes Spheriques on la changera en ${\frac {dx}{n}}{\sqrt {}}(1-nn)$ dont l'integrale est ${\frac {x}{n}}{\sqrt {}}(1-nn)$ d'où l'on voit qu'alors l'Epicicloïde est algebriquement rectifiable et si de plus $n$ est un nombre rationel l'epicicloïde sera tout à la fois geometrique et rectifiable car quand $r=an$, $n$ marque le rapport du diametre du cercle roulant au diametre du cercle de la base.

Je suis tout Confus Monsieur de vous avoir si longtems ennuyé par ma longue lettre et je vous supplie de vouloir bien me le pardonner et de croire que je suis avec la veneration la plus profonde Monsieur Votre tres humble et tres obeissant serviteur Clairaut

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Fussnoten

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