Hermann, Jacob an Scheuchzer, Johannes (1709.11.02)

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Autor	Hermann, Jacob, 1678-1733
Empfänger	Scheuchzer, Johannes, 1684-1738
Ort	Padova
Datum	1709.11.02
Briefwechsel	Hermann, Jacob (1678-1733)
Signatur	ZB Zürich. SIGN: Ms H 347, pp.201-204
Fussnote	Siegelspuren. p.203 Anmerkung "Respondi d. 4. Jan. 1710. petij Manfredi de aequat. 2di gradus. Item si potest emere pro me veteres Botanicos praecipue columnas"

Joh. Scheuchzero suo Iacobus Hermannus S. D.

Si unquam alias nunc certum aequum ut silentium meum praeter modum longum patienter feras quandoquidem ego ruri fui et nonnisi mihi reduci epistola Tua^[1] reddita fuit ex quo vides mihi non in potestate fuisse citius ad te responsoriam dimittendi. Quid interim egi? scripsi Illustri Leibnitio^[2] me audisse in Halensi Magdeburgica Universitate vacare Professionem medicam,^[3] mihique notum esse subjectum quod summo cum applausu et Studiosorum fructu exornaturus esset Spartam illam si ei praeficeretur, atque iis elogiis Johannem meum nominavi quae merita sua deposcunt et subjunxi Ipsum Cel. Leibnitium Academiae Hallensi non majus officium praestare posse quam si interposita sua Autoritate qua in Regionibus illis pollet, vocationem novi Professoris in Te derivare vellet. Expectabimus itaque quid ille responsurus sit.^[4] Calculum Problematis Tui^[5] nondum inire vacavit, et fateor festinatione mihi excidisse ut loco 2250 ponerem 2500 pro valore literae $c$ . En nunc meam Analysin, sint ergo $a=$ capitale, $b=$ capitale cum usura annua, $c=$ usura sola, $x=$ pensio annua; Secundo anno capitale erit $b-x$ , et hoc cum usura ${\frac {bb-bx}{a}}$ . Ergo Tertio anno Capitale erit ${\frac {bb-bx}{a}}-x={\frac {bb-bx-ax}{a}}$ ; hoc Capitale cum usura fiet ${\frac {b^{3}-bbx-abx}{aa}}$ , adeoque quarto anno Capitale existet $={\frac {b^{3}-bbx-abx}{aa}}-x={\frac {b^{3}-bbx-abx-aax}{aa}}$ ; atque sic deinceps, ut in adjecto laterculo^[6] scriptum est, capitalia singulis annis decrescunt.^[7]

${\textrm {capitale\;cum\;usura}}\left.{\begin{cases}b&{\textrm {primo}}\\{\frac {bb-bx}{a}}&{\textrm {secundo}}\\{\frac {b^{3}-bbx-abx}{aa}}&{\textrm {tertio}}\\{\frac {b^{4}-b^{3}x-abbx-aabx}{a^{3}}}&{\textrm {quarto}}\\{\textrm {etc.\;\ etc.}}\\&{\textrm {M}}\\V={\frac {b^{46}-\overbrace {b^{45}x-ab^{44}x-aab^{43}x{\textrm {\;etc.\;usque\;ad}}-a^{44}bx} }{a^{45}}}{\textrm {;}}&46^{\textrm {to}}\end{cases}}\right\}{\textrm {anno}}$ ^[8]

Adeoque fractio $V$ quae est expressio Capitalis anno 46.^to adhuc superstitis aequalis erit nihilo, ex hypothesi,^[9] vel quod idem est numerator fractionis $V$ erit $=0$ , hoc est $b^{46}-M=0$ , adeoque $b^{46}=M$ , litera vero $M$ significat omnes quant.^es quae subter ea scriptae sunt, hoc est, $M=b^{45}x+ab^{44}x+aab^{43}x{\text{ etc.}}$ usque ad $a^{44}bx=b^{44}+ab^{43}+aab^{42}{\text{ etc}}.$ usque ad $a^{44}$ in $bx$ .^[10] Sed $b^{44}+ab^{43}+aab^{42}...+a^{44}$ est progressio geometrica,^[11] cujus summa^[12] invenitur aequalis ${\frac {b^{45}-a^{45}}{b-a}}=^{\textrm {*}}{\frac {b^{45}-a^{45}}{c}}$ ;^[13] ex datis primo $b^{44}$ et $a^{44}$ ultimo progressionis terminis. Ergo $M={\frac {b^{45}-a^{45}}{c}}$ in $bx={\frac {b^{46}x-a^{45}bx}{c}}$ ex hypothesi $=b^{46}$ ;^[14] hinc dicitur $x={\frac {b^{45}c}{b^{45}-a^{45}}}$ . Coeterum laetus intelligo Te Reynaeum^[15] nunc evolvere,^[16] hac sane in re prudenter agis suoque tempore hujusmodi studio Tibi operae pendent pretium. Aequatio Tua^[17] $x={\frac {a+1-{\frac {\sqrt {ab+a+b+1}}{\sqrt {c+1}}}}{-1+{\frac {\sqrt {ab+a+b+1}}{\sqrt {c+1}}}+1}}$ reducitur primo ad ${\frac {a+1-{\frac {\sqrt {ab+a+b+1}}{\sqrt {c+1}}}}{\frac {\sqrt {ab+a+b+1}}{\sqrt {c+1}}}}$ delendo in denominato $-1$ ab initio et $+1$ a fine, quae se mutuo destruunt: postea multiplico numeratorem et denom.^rem per ${\sqrt {c+1}}$ , fit $x={\frac {{\overline {a+1}}{\sqrt {c+1}}-{\sqrt {ab+a+b+1}}}{\sqrt {ab+a+b+1}}}$ (^[18]vel ponendo $a+1$ post signum radicale) $={\frac {{\sqrt {aac+aa+2ac+2a+c+1}}-{\sqrt {ab+a+b+1}}}{\sqrt {ab+a+b+1}}}$ , (et dividendo terminos fractionis per ${\sqrt {a+1}}$ fit) $={\frac {{\sqrt {ac+a+c+1}}-{\sqrt {b+1}}}{\sqrt {b+1}}}$ et tanxyzasdfasfdasfdasercadem $={\frac {\sqrt {ac+a+c+1}}{\sqrt {b+1}}}-1$ , non vero ${\frac {\sqrt {ac+a+c+1}}{\sqrt {b+1}}}$ , ut Tu putas.

Quod ad fasciculum^[19] attinet eum puto naufragium fecisse priusquam portu solveret nec enim credo unquam Tigurum^[20] delatum esse.

Instant nunc labores nostri Academici, et aliis praeterea occupationibus distractus hic epistolio finem impono. Tu interim Vale et me porro ama. Ne te quaeso, male habeant hae liturae, nam festinante calamo in calculo lapsus eram, neque vacavit de novo epistolium transcribere.

Dabam Patavii 2 9bris 1709

sine revisione ut vides.

^[21]

A Monsieur

Monsieur Jean Scheuchzer Celebre

Medecin

à Zurich

Fussnoten

↑ Dieser Brief ist anscheinend nicht erhalten.
↑ Jacob Hermann an Gottfried Wilhelm Leibniz von 1709.11.13. Siehe auch den Brief an Johannes Scheuchzer von 1709.09.28.
↑ Hermann hatte von der angeblichen Vakanz durch Theodor III Zwinger erfahren, siehe den Brief von 1709.09.28.
↑ Leibniz antwortet in seinem Brief von 1709.11.13 TP
↑ Zu dem von Scheuchzer gestellten Problem siehe Jacob Hermann an Johannes Scheuchzer von 1709.09.28.
↑ Gemeint ist die links neben dem laufenden Text angeordnete, unten wiedergegebene Tabelle.
↑ In der ersten Spalte stehen jeweils die verzinsten Kapitalien am Ende des in der letzten Spalte angegebenen Jahres unter Berücksichtigung der ausgezahlten Pensionen.
↑ Den letzten Bruch in der Tabelle hat Hermann nachträglich mit V bezeichnet. Mit M bezeichnet Hermann den unter der geschweiften Klammer nach Ausklammern von $-1$ stehenden Ausdruck $M=b^{45}x+ab^{44}x+aab^{43}x+...+a^{44}bx$ .
↑ Das Kapital sollte gemäss Aufgabenstellung nach 46 Jahren aufgezehrt sein, d. h. dann ist $V=0$ .
↑ Hermann klammert aus $M$ den Faktor $bx$ aus und erhält so $M=bx(b^{44}+ab^{43}+aab^{42}...+a^{44}).$
↑ Anfangsglied ist $a^{44},$ Endglied $b^{44}$ , Quotient $q={\frac {b}{a}}$ .
↑ $s_{45}$
↑ Die dieser Gleichung zugeordnete Anmerkung "* nam $b-a=c$ " steht im Manuskript am linken Seitenrand.
↑ Es gilt also $M=bx{\frac {b^{45}-a^{45}}{c}}$ . Da aber $V=0$ ist, folgt $M=b^{46}$ , woraus $x={\frac {b^{45}c}{b^{45}-a^{45}}}$ folgt.
↑ Charles René Reyneau (1656-1728).
↑ Reyneau, Charles René, Analyse démontrée, ou La méthode de résoudre les problêmes des mathématiques, et d’apprendre facilement ces sciences; Expliquée et demontrée dans le premier volume, et appliquée, dans le second, à découvrir les proprietés des figures de la geometrie simple et composée; à resoudre les problèmes de ces sciences et les problêmes des sciences physico-mathematiques, en employant le calcul ordinaire de l’algebre, le calcul differentiel et le calcul integral. Ces derniers calculs y sont aussi expliqués et démontrés. ..., 2 vols., Paris (J. Quillau) 1708.
↑ Der Brief mit Johannes Scheuchzers Anfrage ist nicht erhalten. Hermann zeigt Scheuchzer den Weg zum richtigen Resultat durch einfache Äquivalenzumformungen, die er im Folgenden genau angibt.
↑ Die öffnende Klammer wurde ergänzt.
↑ Im Manuskript steht "fascicubus". Der Brief, auf den Hermann antwortet, ist anscheinend nicht erhalten. Es ist daher unklar, worauf hier Bezug genommen wird.
↑ Zürich.
↑ Auf dieser Seite steht das folgende Antwortvermerk von der Hand Scheuchzers: "Respondi d. 4. Jan. 1710, petij Manfredi de aequat. 2.^di gradus. Item si potest emere pro me veteres Botanicos praecipue Columnam". Gemeint ist wohl Manfredi, Gabriele, De constructione aequationum differentialium primi gradus ..., Bononiae [Bologna] (C. Pisarri) 1707. Das "2.^di" scheint ein Schreibfehler zu sein. Danach vermutlich Colonna, Fabio, Φυτοβάσανος sive Plantarum aliquot historia in qua describuntur diversi generis plantae veriores, ac magis facie, viribusque respondentes antiquorum Theophrasti, Dioscoridis, Plinii, Galeni, aliorumque delineationibus, ab aliis hucusque non animadversae. ..., Neapoli (G. G. Carlino & A. Pace) 1592.

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[1] Dieser Brief ist anscheinend nicht erhalten.

[2] Jacob Hermann an Gottfried Wilhelm Leibniz von 1709.11.13. Siehe auch den Brief an Johannes Scheuchzer von 1709.09.28.

[3] Hermann hatte von der angeblichen Vakanz durch Theodor III Zwinger erfahren, siehe den Brief von 1709.09.28.

[4] Leibniz antwortet in seinem Brief von 1709.11.13 TP

[5] Zu dem von Scheuchzer gestellten Problem siehe Jacob Hermann an Johannes Scheuchzer von 1709.09.28.

[6] Gemeint ist die links neben dem laufenden Text angeordnete, unten wiedergegebene Tabelle.

[7] In der ersten Spalte stehen jeweils die verzinsten Kapitalien am Ende des in der letzten Spalte angegebenen Jahres unter Berücksichtigung der ausgezahlten Pensionen.

[8] Den letzten Bruch in der Tabelle hat Hermann nachträglich mit V bezeichnet. Mit M bezeichnet Hermann den unter der geschweiften Klammer nach Ausklammern von $-1$ stehenden Ausdruck $M=b^{45}x+ab^{44}x+aab^{43}x+...+a^{44}bx$ .

[9] Das Kapital sollte gemäss Aufgabenstellung nach 46 Jahren aufgezehrt sein, d. h. dann ist $V=0$ .

[10] Hermann klammert aus $M$ den Faktor $bx$ aus und erhält so $M=bx(b^{44}+ab^{43}+aab^{42}...+a^{44}).$

[11] Anfangsglied ist $a^{44},$ Endglied $b^{44}$ , Quotient $q={\frac {b}{a}}$ .

[12] $s_{45}$

[13] Die dieser Gleichung zugeordnete Anmerkung "* nam $b-a=c$ " steht im Manuskript am linken Seitenrand.

[14] Es gilt also $M=bx{\frac {b^{45}-a^{45}}{c}}$ . Da aber $V=0$ ist, folgt $M=b^{46}$ , woraus $x={\frac {b^{45}c}{b^{45}-a^{45}}}$ folgt.

[15] Charles René Reyneau (1656-1728).

[16] Reyneau, Charles René, Analyse démontrée, ou La méthode de résoudre les problêmes des mathématiques, et d’apprendre facilement ces sciences; Expliquée et demontrée dans le premier volume, et appliquée, dans le second, à découvrir les proprietés des figures de la geometrie simple et composée; à resoudre les problèmes de ces sciences et les problêmes des sciences physico-mathematiques, en employant le calcul ordinaire de l’algebre, le calcul differentiel et le calcul integral. Ces derniers calculs y sont aussi expliqués et démontrés. ..., 2 vols., Paris (J. Quillau) 1708.

[17] Der Brief mit Johannes Scheuchzers Anfrage ist nicht erhalten. Hermann zeigt Scheuchzer den Weg zum richtigen Resultat durch einfache Äquivalenzumformungen, die er im Folgenden genau angibt.

[18] Die öffnende Klammer wurde ergänzt.

[19] Im Manuskript steht "fascicubus". Der Brief, auf den Hermann antwortet, ist anscheinend nicht erhalten. Es ist daher unklar, worauf hier Bezug genommen wird.

[20] Zürich.

[21] Auf dieser Seite steht das folgende Antwortvermerk von der Hand Scheuchzers: "Respondi d. 4. Jan. 1710, petij Manfredi de aequat. 2.^di gradus. Item si potest emere pro me veteres Botanicos praecipue Columnam". Gemeint ist wohl Manfredi, Gabriele, De constructione aequationum differentialium primi gradus ..., Bononiae [Bologna] (C. Pisarri) 1707. Das "2.^di" scheint ein Schreibfehler zu sein. Danach vermutlich Colonna, Fabio, Φυτοβάσανος sive Plantarum aliquot historia in qua describuntur diversi generis plantae veriores, ac magis facie, viribusque respondentes antiquorum Theophrasti, Dioscoridis, Plinii, Galeni, aliorumque delineationibus, ab aliis hucusque non animadversae. ..., Neapoli (G. G. Carlino & A. Pace) 1592.

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Hermann, Jacob an Scheuchzer, Johannes (1709.11.02)

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