Bernoulli, Johann I an Scheuchzer, Johannes (1710.02.12)

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Scheuchzer, Johannes, 1684-1738
Ort	Basel
Datum	1710.02.12
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	ZB Zürich. SIGN: Ms H 321a, Nr. 31, pp. 91-94
Fussnote	Adresse mit Siegelspuren. Am Briefende: "Respondi 16. Martij 1710". 1 Figur

Viro Clarissimo et Excellentissimo

Johanni Scheuchzero

S. P. D.

Joh. Bernoulli

Quod tantum laboris in Te Vir Cl. susceperis mei de causa in Turffarum negotio gratias ago maximas; Tecum omnino sentio quod vecturae pretium maximam sumtuum partem esset effecturum^[1] propter navium exonerationem necessario faciendam prope Rhinfeldam, quapropter praestat ut nostra ligna usurpemus tamdiu, donec nostra quoque Terra nobis largiatur turffas; ubi per temporis opportunitatem licuerit inquiram in loca paludosa visurus num quaedam ibi turffitatis signa vel indicia quae indicas detegere queam. Gratias quoque refero pro transmisso fragmento Ethicae Zoologicae Muralti;^[2] momentosi sane nihil ibi reperio; hujusmodi libros sine magno labore et temporis dispendio conscribere possumus, si nihil aliud facimus quam compilare et excerpere ex Gesnero, Jonstono, Aldrovando, aliis, ubi farraginem amplissimam de hac materia jam congestam conspicimus.

Imo vero gaudeo non rideo Te tantum evadere Algebristam, quid enim aliud de Te tanto ingenii acumine pollente expectassem; mirum interim non est si in principio (quod semper grave est) quandoque haesites, cum praesertim statim ad abstrusiora, ut sunt circa projectionem gravium, Te accingis; quanquam id quod rogas^[3] de proportione spatii uniformi velocitate ad spatium velocitate accelerata percursum definienda non adeo sit difficile:^[4] designet enim linea Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AT} tempus quod mobile impendit ad descendendum per certam aliquam altitudinem, et sit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle TV} velocitas quam ultimo momento acquisivit; 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finge jam eodem tempore Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AT} aliud mobile moveri uniformi et aequabili velocitate Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle TV} , ita ut Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle tn} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle tn} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle tn} etc. repraesentent velocitatem illam singulis momentis Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle tt} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle tt} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle tt} etc. retentam et invariatam: Nunc igitur quoniam ratio spatii percursi componitur ex ratione temporis et velocitatis; quodlibet trapeziolum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ttvv} exprimet spatiolum percursum tempusculo Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle tt} velocitate acquisita Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle tv} , nota enim quod trapeziolum illud pro rectangulo habeatur; adeoque quaelibet area trianguli Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Atv} (hoc est summa illorum trapeziolorum) denotabit altitudinem percursam tempore Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle At} , ita ut totum triangulum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ATV} exprimat altitudinem totam, tempore toto Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AT} emensam; jam vero cum quodlibet parallelogrammulum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ttnn} , designet pariter spatiolum tempusculo Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle tt} velocitate uniformi Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle tn} percursum, ita ut summa eorum hoc est parallelogrammum totum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle TN} exprimat spatium quod mobile velocitate aequabili Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle TV} tempore Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AT} percurrit: Quoniam itaque parallelogrammum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle TN} duplum est trianguli Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ATV} , patet propositum, nempe quod longitudo percursa velocitate uniformi et aequali ultimo momento acquisitae, tempore aequali, dupla sit longitudinis quam grave naturaliter acceleratum emetitur, quod erat demonstrandum.^[6] Vides itaque veritatem propositionis non obiter tantum sed exacte demonstratam esse, neque opus me habuisse linearum curvarum contemplatione, quae Tibi tantum horrorem incutiunt. Hisce ergo fruere et vale, nec vero me amare desine.

Dabam Basileae, a. d. XII. Febr. MDCCX ^[7]

Significavi me spatio 4 septimanarum abhinc, iter meum cum Iuveni Scheuchzero cognato meo^[8] instituturum, si quae habeat in exteris regionibus peragenda, jubeat rogavi.

A Monsieur

Monsieur Jean Scheüchzer

tres-Celebre Docteur en medecine

à

Züric

Fussnoten

↑ Im Manuskript steht irrtümlich "essent effecturae".
↑ Wahrscheinlich handelt es sich um Muralt, Johannes von et al., Physicae specialis pars tertia. Zoologia, quam, D. T. O. M. favente, praeside Joh. de Muralto ..., examinis philosophici rite consequendi gratia, pro viribus defendent candidati, quos pagina versa monstrabit, Tiguri [Zürich] (D. Gessner) 1709. Siehe den Kommentar im Brief von 1710.01.26
↑ Johannes Scheuchzer an Johann I Bernoulli von 1710.01.26. Die Anfrage Scheuchzers bezog sich auf Reyneau, Charles René, Analyse démontrée, ou La méthode de résoudre les problêmes des mathématiques, et d’apprendre facilement ces sciences; Expliquée et demontrée dans le premier volume, et appliquée, dans le second, à découvrir les proprietés des figures de la geometrie simple et composée; à resoudre les problèmes de ces sciences et les problêmes des sciences physico-mathematiques, en employant le calcul ordinaire de l’algebre, le calcul differentiel et le calcul integral. Ces derniers calculs y sont aussi expliqués et démontrés. ..., 2 vols., Paris (J. Quillau) 1708, II, Livre VIII, Section II, p. 510, Supposition V.
↑ Figur 1.
↑ Im Manuskript steht hier irrtümlich "Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle tu} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle tu} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle tu} ", obwohl in der zugehörigen autographen Figur die Endpunkte der Strecken mit "Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} " bezeichnet sind.
↑ Johann I Bernoulli betrachtet die infinitesimalen "trapeziola" Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ttvv} über den "tempuscula infinite parva" Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle tt} . Da er sie nun als infinitesimale "rectangula" annimmt, stellen sie wegen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle dtv=ds} den bei der gleichmässig beschleunigten Bewegung mit der Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} in der Zeit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle dt} zurückgelegten Weg Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ds} dar. Nun summiert Johann Bernoulli diese infinitesimalen "rectangula" zum Dreieck Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ATV} auf. Gleichzeitig stellen die infinitesimalen "parallelogrammula" Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ttnn} den in der Zeit $dt$ bei gleichförmiger Bewegung mit der Geschwindigkeit $v$ zurückgelegten Weg dar. Deren Summe ist das Rechteck $ATVN$ . Anschaulich ist nun aber aus der Figur klar, dass das Dreieck $ATV$ die Hälfte des Rechtecks $ATVN$ bildet, dass also $ATV={\frac {1}{2}}ATVN$ ist. Also ist – wie behauptet – der bei gleichförmiger Bewegung mit gleicher Geschwindigkeit $v$ in der Zeit $T$ zurückgelegte Weg doppelt so gross wie der bei der gleichmässig beschleunigten Fallbewegung in der gleichen Zeit $T$ zurückgelegte Weg. Johann Bernoulli hat diesen Beweis hier in geometrischer Form, d.h. ohne Verwendung der Integralrechnung, geführt, offenbar, um ihn für Johannes Scheuchzer, der sich selbst im vorangehenden Brief als einen schwachen "Algebraista" ironisiert hatte, leichter verständlich zu machen. Dennoch verwendet er in seinen Überlegungen infinitesimale Grössen. Eigentlich beweist er dabei in der Art Galileis, dass $s=\int atdt={\frac {1}{2}}at^{2}$ ist, woraus dann die Behauptung $s_{2}=2s_{1}$ auf einfachstem algebraischen Weg folgt. Vgl. die Anmerkung im Brief von Johannes Scheuchzer an Johann I Bernoulli von 1710.01.26. (Fritz Nagel)
↑ Von Scheuchzers Hand: "Respondi d. 16. Martij 1710."
↑ Es handelt sich wahrscheinlich um Johann Jakob Scheuchzer (1690-1751).

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[1] Im Manuskript steht irrtümlich "essent effecturae".

[2] Wahrscheinlich handelt es sich um Muralt, Johannes von et al., Physicae specialis pars tertia. Zoologia, quam, D. T. O. M. favente, praeside Joh. de Muralto ..., examinis philosophici rite consequendi gratia, pro viribus defendent candidati, quos pagina versa monstrabit, Tiguri [Zürich] (D. Gessner) 1709. Siehe den Kommentar im Brief von 1710.01.26

[3] Johannes Scheuchzer an Johann I Bernoulli von 1710.01.26. Die Anfrage Scheuchzers bezog sich auf Reyneau, Charles René, Analyse démontrée, ou La méthode de résoudre les problêmes des mathématiques, et d’apprendre facilement ces sciences; Expliquée et demontrée dans le premier volume, et appliquée, dans le second, à découvrir les proprietés des figures de la geometrie simple et composée; à resoudre les problèmes de ces sciences et les problêmes des sciences physico-mathematiques, en employant le calcul ordinaire de l’algebre, le calcul differentiel et le calcul integral. Ces derniers calculs y sont aussi expliqués et démontrés. ..., 2 vols., Paris (J. Quillau) 1708, II, Livre VIII, Section II, p. 510, Supposition V.

[4] Figur 1.

[5] Im Manuskript steht hier irrtümlich "Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle tu} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle tu} , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle tu} ", obwohl in der zugehörigen autographen Figur die Endpunkte der Strecken mit "Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} " bezeichnet sind.

[6] Johann I Bernoulli betrachtet die infinitesimalen "trapeziola" Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ttvv} über den "tempuscula infinite parva" Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle tt} . Da er sie nun als infinitesimale "rectangula" annimmt, stellen sie wegen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle dtv=ds} den bei der gleichmässig beschleunigten Bewegung mit der Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} in der Zeit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle dt} zurückgelegten Weg Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ds} dar. Nun summiert Johann Bernoulli diese infinitesimalen "rectangula" zum Dreieck Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ATV} auf. Gleichzeitig stellen die infinitesimalen "parallelogrammula" Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ttnn} den in der Zeit $dt$ bei gleichförmiger Bewegung mit der Geschwindigkeit $v$ zurückgelegten Weg dar. Deren Summe ist das Rechteck $ATVN$ . Anschaulich ist nun aber aus der Figur klar, dass das Dreieck $ATV$ die Hälfte des Rechtecks $ATVN$ bildet, dass also $ATV={\frac {1}{2}}ATVN$ ist. Also ist – wie behauptet – der bei gleichförmiger Bewegung mit gleicher Geschwindigkeit $v$ in der Zeit $T$ zurückgelegte Weg doppelt so gross wie der bei der gleichmässig beschleunigten Fallbewegung in der gleichen Zeit $T$ zurückgelegte Weg. Johann Bernoulli hat diesen Beweis hier in geometrischer Form, d.h. ohne Verwendung der Integralrechnung, geführt, offenbar, um ihn für Johannes Scheuchzer, der sich selbst im vorangehenden Brief als einen schwachen "Algebraista" ironisiert hatte, leichter verständlich zu machen. Dennoch verwendet er in seinen Überlegungen infinitesimale Grössen. Eigentlich beweist er dabei in der Art Galileis, dass $s=\int atdt={\frac {1}{2}}at^{2}$ ist, woraus dann die Behauptung $s_{2}=2s_{1}$ auf einfachstem algebraischen Weg folgt. Vgl. die Anmerkung im Brief von Johannes Scheuchzer an Johann I Bernoulli von 1710.01.26. (Fritz Nagel)

[7] Von Scheuchzers Hand: "Respondi d. 16. Martij 1710."

[8] Es handelt sich wahrscheinlich um Johann Jakob Scheuchzer (1690-1751).

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[8]

Bernoulli, Johann I an Scheuchzer, Johannes (1710.02.12)

Fussnoten

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