Renau d'Eliçagaray, Bernard an Bernoulli, Johann I (1713.09.15)

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Autor	Renau d'Eliçagaray, Bernard, 1652-1719
Empfänger	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Ort	Paris
Datum	1713.09.15
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 666, Nr.2*
Fussnote	Am Briefkopf autograph von Joh. I B. "Reponse de Mr. le C. Renau à l'Auteur contenant des instances et des difficultés reiterées." Auf dem letzten Blatt 4 konstruierte Figuren

Monsieur

J'ay receu la lettre que vous m'avez fait l'honneur de m'escrire, et je ne sçaurois trop vous remercier, de la bonté que vous avez euë, de vouloir bien examiner le Memoire, que j'ai pris la liberté de vous envoyer, et de m'avoir fait part, des remarques que vous y avez faites. Vous vous expliquez si clairement, et d'une maniere si concise, qu'il me sera aisé de revenir de mes erreurs, en cas que je me sois trompé, mon dessein n'estant que de connoistre la verité, et de la suivre, au depend mesme de mon opinion, estant persuadé, que l'on ne gaigne jamais tant, que lors que l'on sort de quelque prevention, dans la quelle on estoit mal'heureusement engagé, et que l'on est bien obligé aux personnes qui veulent bien nous redresser. Je vous supplie donc tres humblement Monsieur, de vouloir bien me lever les difficultés, que j'ay, sur vostre maniere de determiner la routte et la vitesse du vaisseau, lors qu'il est poussé à la fois, par deux vents qui donnent perpendiculairement sur deux voilles, qui sont à angles droits l'une à l'autre, et parconsequent, la direction de l'un des vents, perpendiculaire à la direction de l'autre.

Voicy Monsieur ce que vous dites. Soit donc le vaisseau en $B$ [Figur folgt] (fig. 3) $BK$ la direction et la vitesse uniforme qu'il auroit, par la seule impulsion du vent perpendiculaire sur la voille $ABC$; $BL$ la direction et la vitesse uniforme que le mesme vaisseau auroit, s'il estoit poussé seulement par le second vent perpendiculaire sur la voille $DBE$: Soit $BL$ prolongée en $I$, ensorte que $BI$ soit la troisiême proportionelle de $BK$ à $BL$. Soit achevé le rectangle $BIHK$; je dis que le vaisseau $B$ poussé par les deux vents ensemble, ira non point dans la ligne $BM$ diagonale du rectangle $BLMK$, ni avec la vitesse exprimée par $BM$, comme vous le pretendez, mais suivant la direction $BH$ diagonale du paralellograme $BIHK$, et avec la vitesse designée par $BO$, moyenne proportionelle entre $BH$ et $BK$.

Et vous dites Monsieur, que la demonstration n'en est pas difficile, si on admet la composition des forces, qui est le principe fondamentale de toute la statique. J'en conviens avec vous Monsieur, supposé que l'on puisse admettre ce principe, dans le cas dont il s'agit. Mais voici les difficultés, qu'il me semble qui se presentent contre vostre regle.

Le vaisseau allant donc suivant $BH$ avec la vitesse $BO$, sa vitesse suivant $BL$ sera $Bq$, et suivant $BK$ sera $Bp$ supposant $Oq$ perpendiculaire à $BL$, et $Op$ perpendiculaire à $BK$. Or $BO$, $Bq$, et $Bp$, sont entr'elles comme $BH$, $BI$, et $BK$ qui representent, par vostre hypothese, les forces qui poussent le vaisseau dans ces directions; donc les vitesses uniformes seroient entr'elles, comme les forces, ou ce qui est la mesme chose, les vitesses uniformes dans un milieu qui resiste, seroient entr'elles, comme les resistances, car les resistances sont comme les forces; Ce qui seroit absurde, par ce que les resistances sont tousjours comme les quarrés des vitesses, comme vous en convenez vous mesme Monsieur.

Vous direz à cela, qu'il ne s'agit pas ici de comparer les resistances latterales qui ne sont qu'ideales, et rien effet, (ce que nous examinerons cy aprés) et qu'il ne faut avoir egard qu'à la resistance directe $BO$ qui est la seule reele, j'y consens si l'on veut.

Pour en avoir une autre aussi directe à lui comparer, soit supposé que la force qui pousse le vaisseau suivant $BK$ soit double de la force designée par $BK$ et que la force qui pousse le vaisseau suivant $BI$ soit aussi double de la force designée par $BI$; prolongeant $BK$ en $R$ en sorte que $BR$ soit double de $BK$, et $BI$ en $S$, en sorte que $BS$ soit double de $BI$; $BR$ designera la nouvelle force avec la quelle le vaisseau sera poussé suivant $BK$ et $BS$ designera celle avec la quelle il sera poussé suivant $BI$; Et par vostre regle Monsieur le vaisseau poussé par ces deux forces à la fois, doit aller suivant la direction $BT$ diagonale du paralellograme $BSTR$ avec la vitesse $BX$ moyenne proportionelle entre $BT$ et $BR$; Mais comme $BT$ n'est que $BH$ prolongée en $T$, à cause des rectangles semblables, $BH.BT::BO.BX$, c'est à dire, la force $BH$ à la force $BT$ comme la vitesse $BO$ à la vitesse $BX$, c'est à dire que les vitesses directes du vaisseau seroient entr'elles comme les forces qui poussent le vaisseau, ce qui seroit absurde, car ces vitesses sont tousjours comme les racines des forces ou ce qui revient au mesme, comme les racines des resistances; voila dabord Monsieur, une absurdité qui suit necessairement de vostre regle.

En voici ce me semble une autre; vostre force moyenne designée par $BH$ estant moindre que la somme des deux forces qui la composent, sçavoir la somme des forces designées par $BK$ et $BI$; il faudroit necessairement, qu'il y eust pour cela, de la force de detruite dans les deux forces composantes ce qui ne peut pas estre, la direction de la force $BK$ estant perpendiculaire à la direction de la force $BI$, et on n'aura pas de peine à en convenir si on fait reflexion, qu'il n'y a point de force sans vitesse; or la force $BK$ n'a point de vitesse contre la force $BI$, ni $BI$ contre $BK$; d'où il suit que ces deux forces ne se peuvent rien detruire l'une à l'autre.

Supposons une force produite par le mouvement d'un corps qui va du nord au sud, et une autre force produite par le mouvement d'un corps qui va de l'est à l'oest, comme dans le mouvement du nord au sud, il n'y a nule vitesse de l'oest à l'est, la force du nord au sud n'employe aucune partie de sa force, contre la force de l'est à l'oest, car là où il n'y a point de vitesse contraire, il n'y a nule force contraire; de mesme la force de l'est à l'oest ne detruit rien de la force du nord au sud; d'où il suit, que si deux forces perpendiculaires l'une à l'autre, agissoient en mesme temps sur un corps de toute leur force, ce corps sera poussé par une routte moyenne avec une force qui sera egale à la somme des deux forces composantes; ce que l'on va encore prouver par un autre exemple.

Supposons, que le vaisseau en $B$, soit poussé par le plus grand vent que l'on puisse immaginer, dont la direction soit suivant $BF$ et qui donne perpendiculairement sur la voille $DBE$; le vaisseau decrira par sa routte la ligne droite $BF$, parce qu'il sera egalement pressé de deux costés de cette ligne; mais si dans sa marche, il venoit à estre plus pressé de la droite de cette ligne à la gauche, que de la gauche à la droite, à l'instant il se detourneroit et iroit vers la gauche, et il ne decriroit plus la ligne $BF$ par la raison qu'un corps va tousjours du costé vers lequel il est plus poussé ou plus pressé.

Supposons donc que le vaisseau estant poussé par ce grand vent $BF$, et decrivant par son mouvement uniforme, la ligne droite $BF$, il lui survienne le plus petit vent que l'on puisse immaginer, et que sa direction soit suivant $BG$ perpendiculaire à $BF$, donnant perpendiculairement sur la voille $ABC$, qui est angle droite avec la voille $DBE$; la vitesse du vaisseau quelle quelle puisse estre suivant $BF$ n'empeschera pas, que le vent $BG$, ne donne tousjours sur la voille $ABC$ avec une mesme vitesse, et ne pousse le vaisseau suivant $BG$, avec la mesme force, que si le vaisseau ne se mouvoit point suivant $BF$, parce que le vent allant partout parallelement à lui mesme, il rencontrera la voille $ABC$ partout où elle sera, tousjours de la mesme maniere, c'est à dire, tousjours perpendiculairement, et avec la mesme vitesse, puisque le vaisseau, par son mouvement suivant $BF$, ne fuit en aucune maniere ce vent, ni ne va au devant de lui; par consequent, le vaisseau qui estoit egalement pressé des deux costés de la ligne $BF$, dans le temps qu'il decrivoit la ligne $BF$; le vent $BG$ si petit qu'il puisse estre survenant, et poussant le vaisseau suivant $BG$, le vaisseau sera alors plus poussé de $B$ vers $G$, qu'il ne sera pressé de $G$ vers $B$; ainsi, le costé de $G$ doit necessairement ceder, et le vaisseau se mouvoir de ce costé là, augmentant de vitesse, jusqu'à ce que la resistance de l'eau en sens contraire, soit egale à la force du vent $BG$ sur la voille $ABC$, apres quoy, il continuera à aller suivant $BG$ d'un mouvement uniforme. Voila donc la plus grande force que l'on puisse immaginer suivant $BF$, qui ne detruit point, la plus petite force que l'on puisse immaginer suivant $BG$, qui lui est perpendiculaire, puisque cette derniere fait son effet malgré l'autre; d'où il me parroist que l'on peut conclure, que les forces dont les directions sont perpendiculaires, ne se detruisent en rien, et que si elles agissent sur un corps, qui donne lieu par sa resistance, que chacune d'elles agisse de toutte sa force, ce corps sera poussé par une force qui sera egale à la somme des deux.

On verra encore les mesmes verités, si on les considere, par les resistances que le vaisseau trouve à fendre l'eau, parce qu'elles doivent estre egales aux forces qui poussent le vaisseau.

Supposons que le vaisseau aille suivant $BH$ avec la vitesse $BO$, il va en mesme temps suivant $BI$ avec la vitesse $Bq$, et suivant $BK$ avec la vitesse $Bp$; ainsi la vitesse $BO$ suivant $BH$, forme ces deux dernieres vitesses, et reciproquement ces deux dernieres vitesses, sçavoir la vitesse $Bp$ suivant $BK$, et la vitesse $Bq$ suivant $BI$, forment necessairement la vitesse $BO$, suivant $BH$; or les resistances sont comme les quarrés des vitesses, donc le vaisseau allant suivant $BH$ avec la vitesse $BO$, trouve une resistance suivant $BK$ comme le quarré de $Bp$, et suivant $BI$ une comme le quarré de $Bq$; Ce qui doit estre aussi necessairement, puisque dans le mouvement du vaisseau suivant $BH$ avec la vitesse $BO$, le vent $BG$ continue à donner perpendiculairement sur la voille $ABC$, avec la mesme vitesse et la mesme force qu'il donneroit, si le vaisseau ne se mouvoit que suivant $BK$ avec la vitesse $Bp$, et trouve aussi par consequent la mesme resistance en sens contraire, c'est à dire une resistance comme le quarré de $Bp$; le vent $BF$ donne aussi perpendiculairement sur la voille $DBE$, avec la mesme vitesse et la mesme force qu'il donneroit si le vaisseau n'alloit que suivant $BI$ avec la vitesse $Bq$; car sans cette resistance qui est reele le vent $BF$ poussant continuellement le vaisseau suivant $BF$, le feroit aller à la fin de ce costé là aussi vîte que le vent va lui mesme; d'où il suit, que demesme que la vitesse $Bq$ suivant $BI$, et la vitesse $Bp$ suivant $BK$ forment necessairement la vitesse $BO$ suivant $BH$; les resistances de ces vitesses, c'est à dire la resistance de la vitesse $Bp$ qui est comme ${\overline {Bp}}^{2}$, et la resistance de la vitesse $Bq$, qui est comme ${\overline {Bq}}^{2}$ composeront et formeront necessairement la resistance de la vitesse $BO$ suivant $BH$ qui est comme ${\overline {BO}}^{2}$, et reciproquement la resistance de la vitesse $BO$ suivant $BH$, forme necessairement les deux autres; Et comme dans le mouvement uniforme, il faut necessairement que les forces qui poussent le vaisseau soient egales aux resistances en sens contraires, il est evident que la force avec la quelle le vaisseau est poussé suivant $BO$ qui est comme ${\overline {BO}}^{2}$, est egale à la force avec la quelle le vaisseau est poussé suivant $Bp$ qui est comme ${\overline {Bp}}^{2}$, plus à la force avec la quelle le vaisseau est poussé suivant $Bq$ qui est comme ${\overline {Bq}}^{2}$; Et l'on trouve aussi que ${\overline {BO}}^{2}={\overline {Bp}}^{2}+{\overline {Bq}}^{2}$.

Toutes ces verités me paroissent si liées les unes aux autres, et je les crois voir si clairement, et si distinctement, que je seray l'homme du monde le plus surpris, Monsieur, aussi bien que d'autres personnes incomparablement plus eclairées que moy, si l'on peut demontrer avec evidence le contraire; jusqu'à cette heure on ne m'a objecté que le principe de statique du quel vous me parlés aussi Monsieur; Mais je ne trouve pas que ce principe fasse rien à mon affaire. Voici pourquoi.

Dans l'exemple de statique que vous me donnez Monsieur, des trois poids en équilibre, [Figur folgt] (fig. 4) comme on suppose que le poids, $C$ tirant suivant $GF$ perpendiculairement à l'horison, il tire en mesme temps obliquement suivant $EF$ et suivant $DF$, et que c'est une mesme masse $C$, qui tire en mesme temps suivant ces trois directions, les forces avec les quelles il tirera suivant ces trois directions, seront comme les vitesses avec lesquelles il tendra aussi à se mouvoir suivant ces trois directions, c'est à dire, comme les trois lignes $GF$, $EF$ et $DF$; par ce que la force estant le produit de la masse par la vitesse, icy la masse estant tousjours la mesme, les forces seront comme les vitesses. Ce qui est bien different du cas dont il s'agit, [Figur folgt] car la force du vent $BF$ qui donne perpendiculairement sur la voile $DBE$ et avec la quelle le vaisseau est poussé suivant $BF$, est le produit d'une masse et d'une vitesse differente, de la masse et de la vitesse qui produisent la force du vent $BG$, qui donne perpendiculairement sur la voille $ABC$, et qui pousse le vaisseau suivant $BG$; Ces masses sont tousjours comme les vitesses, c'est ce qui fait que les forces sont tousjours comme les quarrés des vitesses et ne peuvent par consequent jamais estre comme les vitesses; au lieu que dans l'exemple de statique supposant que c'est la mesme masse qui tire en tous sens; il est necessaire que les forces soient comme les vitesses avec les quelles cette mesme masse tend à se mouvoir, ce qui fait que la regle de statique pour la composition des mouvemens ne peut pas estre admise dans le cas du vaisseau poussé par deux vents, dont la direction est perpendiculaire l'une à l'autre, et qui donnent perpendiculairement sur deux voilles; à moins que vous ne regardiez la force intrinseque du vaisseau c'est à dire une force que le vaisseau auroit receue en soi, et avec la quelle il agiroit de mesme que le poids $C$ agit par sa pesanteur [Figur folgt] et qu'en suite vous ne raisonniez ainsi; le vaisseau agit en tous sens avec [s]a masse qui est tousjours la mesme, ainsi la force avec la quelle il agira en tous sens sera comme la vitesse avec la quelle il ira; Mais il me parroist tres clairement et tres distinctement qu'il y auroit en cela une fort grande equivoque comme je le vas faire voir.

Le vaisseau estant poussé par le vent $BF$, qui donne perpendiculairement sur la voille $DBE$, doit aller de plus en plus suivant $BF$, jusqu'à ce que la resistance qu'il trouvera en sens contraire, soit precisement egale à la force du vent sur la voille, apres quoi il doit continuer avec la vitesse qu'il aura allors, ne pouvant plus rien y avoir, qui puisse augmenter ni diminuer cette vitesse, par la raison que la force avec la quelle le vent pousse continuellement le vaisseau, et qu'il l'entretient dans son mouvement uniforme, fait naître necessairement une resistance en sens contraire de la part de l'eau, qui luy est tousjours egale; ce qui fait que le vaisseau se trouve en suitte continuellement en equilibre entre la force du vent qui le pousse d'une part, et la resistance de l'eau qui le repousse de l'autre, et qu'il doit aller dans cet estat, quoy que dans un milieu qui resiste, comme s'il se mouvoit dans le vuide; Et en tout cela la force intrinseque du vaisseau n'y entre pour rien, et n'agit contre rien le vaisseau allant comme il feroit dans le vuide. Le vent $BG$, donnant aussi perpendiculairement sur la voille $ABC$, ni plus ni moins que si le vaisseau n'alloit point suivant $BF$, comme on le vient de faire voir cy devant, fera aussi aller le vaisseau de plus en plus suivant $BK$, jusqu'à ce que la resistance en sens contraire soit egale à la force du vent sur la voille, et ira ensuite suivant $BK$, avec une vitesse uniforme, et comme s'il alloit dans le vuide; voila donc le vaisseau, qui va en mesme temps suivant $BF$ et suivant $BK$ comme s'il alloit dans le vuide, c'est à dire, comme s'il n'estoit plus poussé ni arresté par rien; D'où on peut conclure certainement ce me semble:

1.^o Que le vaisseau ira suivant, et avec la vitesse exprimée par la diagonale d'un paralellograme, qui a pour l'un de ces costés la ligne qui exprime la vitesse que le vaisseau a suivant $BF$, et pour l'autre, la ligne qui exprime sa vitesse suivant $BK$, puis que par toute autre routte, et avec toute autre vitesse, il ne satisferoit point à ces deux vitesses indispensables; de maniere que si la vitesse uniforme du vaisseau suivant $BF$, est exprimée par $BL$ et suivant $BK$ par $BK$, il doit necessairement aller par $BM$ quoy que dans un milieu qui resiste avec la vitesse exprimée par $BM$ diagonale du paralellograme $BLMK$, comme s'il alloit dans le vuide; avec cette difference cependant, que dans le vuide, il iroit aussi vite que le vent, et qu'icy il ne va qu'avec la vitesse qui est necessaire pour rendre la resistance que le vaisseau trouve à fendre l'eau egale à la force du vent sur la voille, ce qui fait qu'il va comme s'il alloit dans le vuide, comme s'il n'y avoit rien qui resistast à son mouvement.

2.^o Que la force avec la quelle ces deux vents poussent le vaisseau suivant $BM$ estant egale à la resistance de l'eau qui est egale à ${\overline {BM}}^{2}$ elle sera egale à la somme des deux forces des deux vents par ce que ${\overline {BM}}^{2}={\overline {BL}}^{2}+{\overline {BK}}^{2}$ qui sont les forces des deux vents.

3.^oQue la resistance suivant la diagonale $BM$ est egale à la somme des deux resistances latterales.

4.^o Que la force intrinseque du vaisseau n'agit contre rien et ne fait rien pour determiner les vitesses ni les routtes du vaisseau.

Ainsi, je ne vois pas ce que le principe de statique que l'on m'oppose, fait à mon affaire, dans laquelle je ne suppose que deux principes, dont tout le monde convient, scavoir que les forces des fluides sont comme les quarrés de leurs vitesses, pour l'un et l'autre, que tout corps se meut tousjours du costé vers le quel il est plus poussé, mesme dans l'eau, supposant comme vous Monsieur que l'eau s'oppose suivant vostre premiere maniere que vous expliqués par des fils disposés suivant des cercles concentriques; Et je ne crois pas que dans tous mes raisonnemens on puisse me citer rien qui ne soit tiré directement et consequemment de ces principes, et que le tout n'en soit une suite necessaire; si cela n'est pas je vous supplieray de m'en marquer les endroits.

Je ne seray cependant bien satisfait Monsieur que lors que je n'auray plus contre moy, une authorité aussi grande qu'est la vostre dans mon esprit; Et parce qu'aussi on ne peut pas estre avec plus d'estime et de respect que je suis Monsieur Vostre tres humble et tres obeissant serviteur Renau.

à Paris le 15.^e 7.^bre 1713

J'aurai l'honneur de vous escrire Monsieur sur les autres endroits de vostre lettre qui regardent mon Memoire, comtant que vous ne trouvez pas mauvais que l'on cherche à s'instruire et à voir clair.

[Figur folgt]

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Fussnoten

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