Bernoulli, Johann I an Burnet, William (1708.10.06)

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Burnet, William, 1688-1729
Ort	Basel
Datum	1708.10.06
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 654, Nr.1
Fussnote

Bale ce 6. 8bre 1708.

Monsieur.

J'ay appris avec plaisir par l'honeur de vostre lettre, que Vous etes heureusement arrivé à Geneve. J'aurois souhaité que vous eussiez pris la resolution de rester ici l'hyver prochain, afin de jouir de vôtre presance, pour vous mieux communiquer le peu de lumiere que j'ay dans les Mathematiques, car plus je trouve de disposition dans les Personnes comme Vous pour nos etudes, moins je fais de difficultés de Leur ouvrir mes secrets, bien eloigné de la nature de ceux qui cachent soigneusement ce qu'ils sçavent, parce que leur but est de se faire admirer par le public plustot, que de Luy estre utile. Je Vous voi Monsieur dans une si belle carriere, et si bien avancé dans la subtile Geometrie, que je puis augurer sans temerité que vous serez un jour un de nos plus Grands Geometres c'est pourquoi je suis ravy d'entrer comme Vous souhaitez en comerce de lettre avec vous, pour avoir la gloire de contribuer un peu au Titre de Grand Geometre, que le temps Vous donnera: pour en faire donc le commencement, je veux bien Vous faire part de ma maniere de traiter cette equation $z^{m}+ay^{n}=bz^{e}y^{r}$ par substitution, et d'en trouver l'aire; si les indeterminées $z$ et $y$ êtoient separables, il n'y auroit point de difficulté, pour les rendre separables, il faut changer l'equation proposée en une autre où il y ait deux termes contenants un egal nombre de dimensions d'une des indeterminées pour la diviser en suite par elle, pour cet efet, supposons $z=xy^{p}$, ce qui ettant substitué dans l'equation proposée, elle se transformera en celle cy $x^{m}y^{mp}+ay^{n}=bx^{e}y^{ep+r}$, dans la quelle pour faire que $y$ ait en deux termes un mesme nombre de dimensions, il est arbitraire de mettre $mp=ep+r$, ou $mp=n$, ou $n=ep+r$, par lesquelles on obtiendra trois differentes formules pour la condition de quadrabilité, mais pour avoir celle de Mr. Craig, je prens la premiere $mp=ep+r$, ce qui donne $p={\frac {r}{m-e}}$; divisant donc l'equation transformée par $y^{mp}$, on aura $x^{m}+ay^{\frac {mn-en-mr}{m-e}}=bx^{e}$, d'où on deduit $y={\overline {{\frac {b}{a}}x^{e}-{\frac {1}{a}}x^{m}}}^{\frac {m-e}{mn-en-mr}}$, et par consequent $dy={\frac {m-e}{mn-en-mr}}dx\times {\overline {{\frac {eb}{a}}x^{e-1}-{\frac {m}{a}}x^{m-1}}}\times {\overline {{\frac {b}{a}}x^{e}-{\frac {1}{a}}x^{m}}}^{{\frac {m-e}{mn-en-mr}}-1}$, multipliant $z$ ($xy^{p}=x\times {\overline {{\frac {b}{a}}x^{e}-{\frac {1}{a}}x^{m}}}^{\frac {r}{mn-en-mr}}$) par $dy$, on aura $zdy={\frac {m-e}{mn-en-mr}}dx\times {\overline {{\frac {eb}{a}}x^{e}-{\frac {m}{a}}x^{m}}}\times {\overline {{\frac {b}{a}}x^{e}-{\frac {1}{a}}x^{m}}}^{{\frac {{\overline {m-e}}\times r}{mn-en-mr}}-1}$.

Voyla donc la differentielle de l'aire exprimée par une quantité où il n'y a qu'une indeterminée il ne reste donc qu'à voir quand cette differentielle est integrable; or il est constant, qu'elle sera integrable, lorsque l'exposant est un nombre entier et positif ou zero, car on aura un nombre fini de simples puissances de $x$, donc on peut prendre separement l'integrale de chacun, effectivement l'exposant, augmenté d'une unité, est justement la formule de Mr. Craig ${\frac {m-e+r}{mn-en-mr}}$, qui est la condition de quadrabilité; ou il faut pourtant remarquer qu'il peut arriver quelque cas où non obstant cette condition, l'aire n'est pas quarrable, en sorte que Mr. Craig se trompe extremement, quand il dit dans son Schediasme, quod semper sint quadrabiles, quando ${\frac {m+r-e}{mn-rm-en}}$ est numerus integer et affirmativus; car il est evident, que dans notre differentielle trouvée il peut y avoir une des simples puissances de $x$, dont l'exposant soit $=-1$, c'est à dire ${\frac {dx}{x}}$, dont l'integrale ne se peut prendre que par le secteur hyperbolique ou par le logarithme; entre une infinité d'exemples que je pourrois alleguer, en voicy un seul: Soient $m=1$, $n=1$, $e=-1$, $r=0$, cela etant on aura ${\frac {m-e+r}{mn-en-mr}}=1=$ à un nombre entier et affirmatif, en sorte que selon Mr. Craig l'Aire seroit quarrable, cependant l'equation de la courbe $z^{m}+ay^{n}=bz^{e}y^{r}$ sera dans ce cas $z^{1}+ay^{1}=bz^{-1}y^{0}$, c'est à dire $zz+ayz=b$, ce qui est l'hyperbole meme et partant inquarrable: je ne voy pas comment Mr. Craig excusera cette erreur. En faisant comme ci dessus $mp=n$ on trouve une formule plus simple pour la condition de quadrabilité, car au lieu de cette de Mr. Craig ${\frac {m-e+r}{mn-en-mr}}$, on aura celle cy ${\frac {m+n}{mr-mn+en}}=$ à un nombre entier et affirmatif. Au reste Monsieur vous avés tres bien corrigé la faute d'impression, qui se trouve dans la formule de Mr. Craig, cependant le calcul, que Vous faites ne prouve pas en general que ${\frac {m+r-e}{mn-rm-en}}$ étant = à un nombre entier et affirmatif quelconque, que ce sera la condition de quadrabilité, puisque il faut que ce nombre entier soit deux; il reste donc à faire voir, que si on prenoit pro aequatione assumta une autre de plusieurs termes, il en viendroit toujours ${\frac {m+r-e}{mn-rm-en}}=$ à un nombre de termes $\int$$zdy=Azy+Bz^{p}y^{q}$ en sorte qu'il en devoit resulter ${\frac {m+r-e}{mn-rm-en}}=1$, mais je n'y ay pas trouvé mon conte: Il me semble que sans me flatter ma methode est de beaucoup preferable à celle de Mr. Craig, en ce qu'elle montre tout d'un coup la verité generalement, outre que le calcul en est fort court et fort aisé, au lieu que Mr. Craig a besoin d'une perplexité de calcul, et d'une longueur ennuyante, qui se rencontre ordinairement dans cette methode d'operer par des equations supposées où on introduit des coefficiens inconnus qui est proprement cette dont Mrs. Neuton et Leibnits se sont servi il y a longtemps.

P. S. Mr. Verzaglia et mon Neveu vous font reciproquement leurs compliments, je vous prie de faire aussy les miens et à toute Vostre compagnie, surtout à Mr. Votre frere et à Mr. Masson. Je suis tres parfaitement Monsieur Votre tres humble et tres obeissant serviteur J. Bernoulli.

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