Crousaz, Jean Pierre de an Bernoulli, Johann I (1722.03.17)

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Autor	Crousaz, Jean Pierre de, 1663-1750
Empfänger	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Ort	Lausanne
Datum	1722.03.17
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	BS UB, Handschriften. SIGN: L I a 656, Nr.19*
Fussnote	Signatur eigenhändig. Beigebunden ist ein Blatt (11 x 17 cm) mit einer Figur. Siegel. Rückseite der Adressseiten leer

à Lausanne 17.^e Mars 1722

Monsieur

L'approbation que vous donnés à mes Sermons me fait honeur, et vôtre curiosité pour le reste de mes ouvrages est deja une solide gloire pour moi; il n'y manquera plus rien si vous les trouvés dignes de vôtre attention. Je vous aurois deja envoyé, Monsieur, un exemplaire de mon Discours, si j'en avois de complets: Mais Mr. de Reaumur profita du carosse de M. l'Ambassadeur qui partoit de Paris, pour m'envoyer les feuilles qui étoient imprimées; Mon Discours y est bien entier, mais le suivant, qui regarde l'Horlogerie, n'y est qu'en partie. Mr. de Bochat m'apportera le reste, et je ne manquerai pas de vous envoyer le tout. J'aurai aussi l'honeur d'y joindre mon Commentaire. A la verité je n'avois point composé cet ouvrage pour le faire passer sous des yeux aussi savans que les vôtres: Mon unique but a été d'applanir le chemin à ceux qui souhaitent de parvenir à l'intelligence de vos excellens ouvrages et de ceux des Auteurs, je ne dis pas qui vous egalent, car je n'en connois point, mais qui marchent sur vos traces les plus prés qu'ils peuvent. Dés l'arrivée de Mr. de Bochat, qui part de Paris à la fin de ce mois, je m'aquiterai à cet égard de mon devoir. En attentdant permettés moi de vous faire part d'un petit article. J'ai fait preceder mon Commentaire d'un Discours où je tâche de donner quelque idée generale des Infiniment petis et de mettre un Lecteur au fait de ce qu'on entend par là. Dans ce dessein je me sers entr'autres d'un Rectangle $BD$ [Figur] qui, fini et divisé par la portion finie $AB$, donne pour Quotient la Ligne finie $BC$. Si $BA$ étoit un infiniment petit de $BD$, la Ligne $BC$ parviendroit à être relativement considerée comme une ligne infinie.

Sur $Bm$ je prens ensuite une portion $Bn$ qui est un infiniment [petit] de $Bm$ et sur la baze $Bn$ j'éleve un rectangle infiniment petit en comparaison de $BA$. Je fais apres cela le petit Rectangle $mo$, puis le petit Rectangle $no$. Je divise $AB$ par $mo$, puis $mo$ par $no$. C'est pour accoutumer l'esprit de mon Lecteur nouveau dans ces matieres, à passer d'un genre d'infini à l'autre, et je fais entrer dans mes comparaisons des Rectangles et des Lignes de divers genres.

J'ai crû remarquer que quand on donne d'abord dans les Regles du Calcul et qu'on se familiarise avec elles avant que de s'être formé des idées exactes, metaphysiques et justes de la nature des Infinimens petis, on n'y vient presque jamais, et on se trouve embarassé dans de certains cas où il ne suffit pas de calculer, mais où il est necessaire de voir clair dans ce qu'on calcule: sans cela on court risque de donner dans des équivoques. Je me suis confirmé depuis peu que ma precaution n'avoit pas été inutile.

On m'a objecté: Soit dans le Rectangle $BD$, $BC=x$, $CD=y$, $Bm$ sera $=dx$, $BA=ydx$. Donc ${\frac {BD}{AB}}={\frac {xy}{ydx}}={\frac {x}{dx}}=\infty$, et non pas à une quantité finie, ce qui est évident par le principe, que le Dividende est au Diviseur comme le Quotient à l'unité, $x.dx::\infty .1$. Par la même raison, dans l'exemple ou regle 3.^e ${\frac {AB}{Bm}}={\frac {ydx}{dx}}=y$, et alors $y$, qui seroit une quantité finie en toute autre occasion, doit être regardée comme indefinie, parceque $ydx.dx::\infty .1::y.1$. Mais, à dire absolument et sans aucune restriction, ce que c'est que le Quotient d'un infiniment petit du premier genre divisé par un infiniment petit du même genre, je crois qu'il est toujours fini et égal à ${\frac {a}{b}}$ grandeur indeterminée, lorsque ce sont des ${\frac {dy}{dx}}$, et à l'unité, lorsque c'est ${\frac {dx}{dx}}=1$. Mais jamais ce Quotient n'est un infiniment petit du second genre, Vous avés mêlé les infiniment petis qui font la difference des Lignes avec ceux qui font la difference des Rectangles: J'aurois voulu auparavant faire vos operations sur des infiniment petis homogenes. Enfin, à l'égard de la 5.^e Regle, elle tombe en partie dans les mêmes inconveniens par le mot reciproquement.

Car ${\frac {Bm}{no}}$ (fig. 9) $={\frac {dx}{dydx^{2}}}={\frac {1}{dydx}}={\overline {\infty }}^{2}$ infiniment grand du second genre, puisque Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mbox{dx.dydx{}^{2}::1.dydx::}} comme le fini à l'infiniment petit du second genre, ou comme l'infiniment grand du second genre à l'unité, qui est censée finie etc.

Voici ma reponse. Je crois, Monsieur, que nous pensons de même, mais je vois que je ne me suis pas exprimé avec assés de netteté et assés d'étendue. Avant que d'expliquer les signes par lesquels on designe et on calcule les Infiniment petis de divers genres, ce à quoi je viens dans la 4.^e Section, j'ai crû que je devois donner, dans un Discours preliminaire, une idée des Infinimt. petis et de leurs genres indépendammnt. des signes, par où on les exprime, afin que quand on s'instruira de ces signes, on ait deja toutes formées les idées auxquelles on les appliquera. Dans ce dessein je fais remarquer qu'on peut considerer, dans le même Rectangle $BD$, de certaines quantités qui seront finies dans un sens et infinies dans un autre, jusques là même qu'une même quantité pouroit appartenir à des Infinimt. petis de divers genres.

Ainsi la Ligne $BC$, qui est une Ligne finie quand on la considere comme le Quotient de la Division du Rectangle $BD$, par le petit Rectangle $AB$, cette même Ligne $BC$ acquiert le rapport d'une Ligne infinie dés qu'on regarde le Rectangle $BA$ comme infinimt. petit, et que, par ce Rectangle $BA$ infinimt. petit, on divise le Rectangle $BD$ fini, car la Ligne $BC$ est toujours le Quotient de cette division. Mais puisque sur cette $BC$ l'Infinimt. petit $AB$ peut se placer une infinité de fois, $BC$ est par là regardé comme un infini, et c'est ce que j'aurois dû ajouter.

Alors ma conclusion auroit precisement repondu au calcul, car si je divise $xy$ par $y$, j'ai pour Quotient $x$, et si je divise la même quantité $xy$ par $ydx$, j'ai pour Quotient ${\frac {x}{dx}}$. C'est la même $x$ qui, à cause de son rapport avec $dx$, est regardée comme infinie, parce qu'elle contient $dx$ une infinité de fois.

Pour prevenir toute obscurité dans l'exemple suivant, j'aurois dû dire: Si je considere le Rectangle infinimt. petit $AB$ comme ayant une baze $Bm$ divisible encor à l'infini (ce qui est permis en vertu des remarques precedentes) la hauteur $E$ se trouvera posée une infinité de fois sur la petite Baze $Bm$. Sa largeur sera donc infinimt. petite en comparaison de la largeur du Rectangle $BA$, et en ce sens là $E$ infinimt. petit en comparaison de l'infinimt. petit $BA$, sera un infinimt. petit du second genre par rapport au Rectangle fini $BD$. Pour exprimer la même verité par les signes établis, je fais $E=yddx$, $Bm=dx$, ce qui me donne $yddxdx=BA$. D'où il suit que ${\frac {BA}{Bm}}={\frac {yddxdx}{dx}}=yddx$, qui est un infinimt. petit en largeur.

$Bm=dx$, et $Bo=dy$, sont les infinimt. petis des Lignes finies $E=y$, $BC=x$, et par consequent des infinimt. petis du premier genre. La multiplication de ces deux infinimt. petis produit le petit Rectangle $mo$, qui est infinimt. petit en comparaison du Rectangle $BA$, et par consequent un infinimt. petit du second genre, divisé par un infiniment petit du premier, donneroit pour Quotient un infinimt. petit du premier genre en Lignes. Le calcul donne la même chose, car $dydx=mo$ est infiniment. petit en comparaison du Rectangle $mo$, et par consequent ce Rectangle sera un infinimt. petit du 3.^e genre par rapport à $BC$. Divisés-le par $Bo$ infin. petit du premier genre en Lignes, vous aurés pour Quotient $Bn$, infinimt. petit du second genre en Lignes.

$Bo=dy$, $Bn=ddx$, $dyddx$ est infinimt. petit en comparaison de $dydx$, et $dydx=mo$ est infinimt. petit en comparaison de $ydx=BA$, infiniment petit en comparaison de $BC$. Or ${\frac {dyddx}{dy}}=ddx$.

Reciproquement si on avoit divisé $no$ Rectangle infinimt. petit du 3.^e genre par $Bn$ côté infinimt. petit du second genre, on auroit eu pour Quotient $bo$ côté infinimt. petit du premier genre.

${\frac {dyddx}{ddx}}=dy$. Or je reconois que cette $Bn=dx$ est infinimt. petite en comparaison de $dy$, et que par consequent le Quotient de ${\frac {ddxdy}{ddx}}$ est un infini.

Si le Rectangle qui a pour baze $Bm$ et pour hauteur $Bo$ (lequel est un Rectangle infinimt. petit par rapport à $BA$ et par consequent un Rectangle infiniment petit du second genre par rapport à $BC$) se divisoit par le Rectangle $Mo$, infinimt. petit en comparaison de lui, le Quotient deviendroit infini; car un Rectangle qui a pour baze $Bn$ se trouve une infinité de fois dans un Rectangle qui a pour baze $Bm$. Mais je n'ai pas eu intention de diviser Rectangle par Rectangle, mais Rectangle par côté, et tel côté qui est un infiniment petit d'un certain genre, devient un infini par rapport à un autre côté. Dans cet endroit je n'ai pas eu en vûe de former mon Lecteur au calcul; pour cela il auroit fallu l'exercer simplement sur des Quantités homogenes: Mon unique but a été de le promener sur des Infinimt. petits de divers genres, soit en Lignes, soit en Rectangles, et à le faire passer de l'un à l'autre. En un mot il saute aux yeux qu'en divisant un genre d'infini par un inferieur, c'est à dire, par un infinimt. plus petit, le Quotient est un infini, et reciproquement si un infinimt. petit est divisé par un infinimt. petit d'un genre supérieur, le Quotient sera un infinimt. petit, puisque le Denominateur sera un infinimt. grand en comparaison de son Numerateur.

Mais, au lieu de faire rouler ces Dividendes et ces Diviseurs sur des Quantités homogenes, j'ai formé des Rectangles de differens ordres, que j'ai divisé par leurs côtés, lesquelles j'avois aussi supposé de differens ordres.

Je me suis proposé d'engager mon Lecteur dans des raisonnemens qui lui rendissent familieres les comparaisons des divers genres d'infinis, qui le formassent à regarder une Ligne comme finie, comme infinie, comme infinimt. petite, comme infinimt. grande, suivant les differentes comparaisons qu'il en feroit, et pour moins l'embarasser dans une matiere si nouvelle, je me suis servi de l'idée commune d'un Rectangle produit par la multiplication d'un de ses côtés, et qui, divisé par l'un de ses côtés, donne l'autre. J'ai proposé des Rectangles dont les côtés fussent des Lignes de même genre, ou de differens genres, dans divers degrés.

Il arrive qu'en se rendant bien familier son sujet afin de l'expliquer plus clairement, on cesse de s'appercevoir de diverses additions qu'il faudroit y faire pour amener plus surement un Lecteur dans les idées que l'on a, additions qu'on n'auroit pas omises si on avoit d'abord écrit ce qu'on pensoit lorsqu'il s'est presenté à l'esprit. Ainsi, suivant les differentes faces dont on envisagera ce que je dis des infinis dans la page 13, mes divisions se trouveront justes ou trompeuses et, pour ne m'être pas exprimé comme je viens de le faire, j'ai donné lieu à des objections qui me paroissent fondées, etc.

Excusés, Monsieur, la liberté que je me donne de vous faire lire des pages peu dignes de vôtre attention. J'ai achevé la refutation de Mr. de Gamaches: J'ai aussi rangé un bon nombre d'experiences contre le systeme Newtonien. Voila, Monsieur, de quoi vous derober quelques unes de vos precieuses heures: Vous y donnerés à loisir celles que vous voudrés. Dés l'arrivée de Mr. de Bochat vous recevrés le tout, comme j'ai l'honeur de vous le dire. J'ai celui d'être, dans les sentimens de la plus parfaite estime et d'un zele qui y repond Monsieur Vôtre trés humble et trés obeïssant serviteur De Crousaz

[Figur]

A Monsieur

Monsieur le Docteur Bernoulli

Professeur en Mathematique trés celebre

à Basle

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Fussnoten

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