Bernoulli, Johann I an Renau d'Eliçagaray, Bernard (1714.08.12)

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Renau d'Eliçagaray, Bernard, 1652-1719
Ort	Basel
Datum	1714.08.12
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	BS UB, Handschriften. SIGN: L I a 675, fol.80-93
Fussnote	Vermerk "exped. le 4 Sept."

Monsieur

Suivant la Lettre du 19 Juillet dernier que vous m'avez fait l'honneur de m'ecrire, je vous voi dans une veritable disposition de chercher et de reconnoitre la verité: C'est me rendre justice que de me croire dans le meme sentiment, le but unique que j'avois dans tout ce que j'ai ecrit jusqu'à présent ayant toujours été celui de découvrir la verité. Je me suis bien gardé de publier jamais la moindre chose, que je n'eusse conçpublier jamais la moindre chose, que je n'eusse conû tres clairement et avec une entiere evidence, vû l'extreme delicatesse du public, pour le quel on veut ecrire, qui ne pardonne pas meme les erreurs les plus legeres. Ce qui doit naturellement vous persuader Monsieur, que j'ai donné toute l'attention, que vous pouviez exiger de moi, à la lecture de votre Theorie et de votre Memoire, en pésant avec la derniere précision vos raisonnemens avant que d'en dire publiquement mes pensées. Je croyois effectivement de m'etre expliqué là dessus d'une maniere qui ne vous laisseroit plus de difficulté; mais il faut bien, que je ne sçache pas donner à mes preuves cette force et cette evidence dont il vous plait Monsieur me flatter, car autrement je vous aurois deja mis de mon côté, et nous serions d'accord.

Il est vrai que j'espere plus que j'amais de vous attirer entierement dans mon sentiment, de puis que vous m'accordez, que les trois plans (Voyez la Fig. 28 de mon Essay) poussés par un vent perpendiculaire font le meme effet que les trois poids, qui étoient attachés à la corde: Car je vous ferai voir Monsieur, qu'ils decident parfaitement notre dispute sur le vaisseau à trois voiles mis en equilibre par trois vents, qui y donnent dessus. Je croi sans qu'il soit besoin de preuves que votre Traité de la Theorie de la Manoeuvre des vaisseaux ne mettra jamais d'obstacle que vous n'abandonniez l'erreur aprez que vous l'aurez reconnue. Vous avez assuremment, selon la description tres avantageuse que l'on m'a fait de Votre personne, et suivant l'idée que j'en ai depuis que vous m'honorez de vos lettres, Vous avez dis-je trop de candeur, et trop de respect pour la verité, pour soutenir l'erreur, ou pour croire qu'il seroit honteux de l'avouër: Vous dites tres bien qu'il n'y a de honte en matiere de science qu'à perseverer dans l'Erreur; Mais il me semble que l'aveu de son erreur est aussi peu honteux dans un sçavant de profession que dans toute autre Personne.

Supposé le cas qu'il vous soit echappé quelque erreur Monsieur, cela ne vous doit nullement faire repentir d'avoir souffert, que vôtre Traité fut donné au public, il ne laisse pas que d'avoir ses beautés et de montrer beaucoup de penetration et de science ce qui fait de l'honneur à son Auteur, et qui peut occasionner un autre à entrer dans cette matiere par une autre route; Comme en effet Vôtre Exemple m'a encouragé à en tenter celle qui a fait naitre mon Essai: Le quel si j'ai permis d'étre publié, c'est par ce que je m'y croyois obligé par l'interest de la verité; mais qu'il ait parû sous mon nom, c'est que le Libraire qui le fit imprimer à ses dépens, croyant qu'il auroit un meilleur débit quand il paroitroit sous le nom de l'auteur, n'en voulut point autrement entreprendre l'impression.

Comme vous convenez Monsieur d'avoir pris deux unités differentes dans la construction Geometrique que je donne de la route et de la vitesse du vaisseau suivant mon principe dans ma premiere lettre, ce qui rend nul selon Vôtre propre aveu le raisonnement par lequel vous pretendiez tirer de là une absurdité dans cette construction; il me sera d'autant plus facile de repondre à vos nouvelles objections et aux arguments, par lesquels Vous tâchez de fortifier le principe de Vôtre Theorie. Pour en dire quelque chose en general, il semble qu'en voulant reduire le cas des voiles poussées par des Vents au principe de statique d'une corde tirée par des poids vous confondiez la force ou la puissance absolue du vent avec l'energie de cette force, j'apelle energie ce que les latins appellent momentum, qui est l'effet qu'une force peut produire, étant appliquée d'une certaine maniere: Ainsi une méme force acquiert par exemple deux fois plus d'energie étant appliquée sur un Levier à une double distance. Vous verrez Monsieur que Vous n'avez pas assez distingué ces deux choses, par les remarques detaillées que je vai faire sur touts les points de vôtre lettre.

Je remarque d'abord Monsieur que vôtre solution du probleme general sur l'equilibre des puissances par le moyen des cordes pris dans toute son etendue, ne peut pas étre admise: Voici le probleme comme vous le proposez.

$NGMFO$ est une corde (Fig. I) [Figur] qui passe par les poulies fixes $G$ et $F$, qui sont dans la meme ligne horizontale $GMF$. Qu'on prenne dans $GMF$ un point quelconque $M$, et qu'une puissance la fasse mouvoir suivant la ligne droite $MB$, qu'on suppose perpendiculaire à l'horizontale $GF$, et lui fasse decrire telle longueur $MB$ qu'on voudra, de maniere que la corde $NGMFO$ changeant la premiere position, prenne la situation $NGBFO$, et que les deux parties $GB$, $BF$ fassent en $B$ tel angle $GBF$ qu'on voudra. Qu'on tire du point $M$, la ligne droite $MK$ perpendiculaire sur $GB$, et $ML$ perpendiculaire sur $FB$: qu'on tire aussi des points $K$ et $L$, les Lignes droites $KI$ et $LH$ perpendiculaires sur $MB$.

Cela supposé.

Trouver les poids qu'il faut suspendre aux points $N$, $B$, $O$, à fin qu'ils soient en equilibre.

Pour resoudre ce probleme vous dites Monsieur, qu'il faut suspendre au point $N$ un poids qui soit representé par $BK$; au point $O$ un poids qui soit representé par $BL$, et deux poids au point $B$, dont l'un soit representé par $BI$ et l'autre par $BH$; c'est à dire que selon Vous il faut suspendre au point $B$ un poids qui soit representé par $BI+BH$.

Mais pardonnez moi Monsieur si je vous dis, que cela n'est vray que dans un sens particulier, sçavoir quand on suppose que le poids $B$ soit une espece de coulisse, qui ne puisse se mouvoir qu'en montant ou en descendant le long de la ligne $MB$ sans quitter cette ligne. Dans ce cas j'avoue que le poids $B$ representé par $BI+BH$ contrepesera les poids $N$ et $O$ representés par $BK$ et $BL$, conformement à vôtre demonstration.

Mais le probleme etant pris dans le sens general, dans le quel il semble que vous le prenniez, c'est à dire, dans la supposition que le point $B$ soit libre et en état de se mouvoir de tout coté ou de suivre la direction dans la quelle il est le plus tiré; alors je nie que la proportion que vous donnez aux trois poids $N$, $B$, $O$, soit la veritable: puisque la statique nous apprend, que le poids $N$ doit étre au poids $O$, comme le sinus de l'angle $MBF$ au sinus de l'angle $MBG$, ou ce qui est la meme chose, ayant mené $MD$ parallele à $FB$ et $ME$ parallele à $GB$, les trois poids $B$, $N$, $O$ (pour étre en equilibre) doivent étre comme ces trois lignes $BM$, $BD$, $BE$. Cette verité est si connue et si facile à demontrer, qu'elle ne merite pas que j'en fasse la demonstration: Vous la trouverez dans presque tous les Auteurs, qui ont expliqué les principes de la statique: Souhaitez Vous que je vous cite un Auteur connû? Consultez s'il vous plait la statique du P. Pardies, et vous y trouverez art. 66 une demonstration courte et bonne, tirée de la consideration du Levier.

J'ai cru Monsieur que vous seriez bien aise, que je vous avertisse de cette petitte meprise, car pour le reste elle ne fait rien à nôtre dispute; Vôtre solution étant bonne par hazard, dans l'exemple que nous avons employé pour le sujet en question où la corde $NGBFO$ fait un angle droit au point $B$, et où par consequent vos perpendiculaires $MK$, $ML$ ne different pas de mes paralleles $MD$, $ME$: Comme $BI+BH$ ne differe pas non plus de la diagonale $BM$, ainsi nous sommes d'Accord sur la proportion des trois poids $B$, $N$, $O$, en supposant l'Angle $GBF$ droit: ils seront donc respectivement comme ces trois lignes $BM$, $BK$, $BL$: c'est de quoy nous convenons. Où est donc la source de nôtre discrepance? elle sera sans doute dans l'application que chacun de nous fait à sa maniere de l'equilibre de ces trois poids par le moyen d'une corde tendue à l'equilibre des 3 voiles d'un vaisseau. Voyons donc si pour ce coup je ne puis pas reüssir à vous faire comprendre clairement, que l'application que vous faites est contre l'ordre, contre les principes et contre les regles d'une consequence necessaire.

Pour concevoir distinctement l'état de nôtre controverse, il faut determiner avant toute chose le point essentiel où nous differons: or vous dites Monsieur que de cet equilibre des 3 poids par le moyen d'une corde on doit deduire cette consequence, sçavoir que l'effort direct du vent qui donne perpendiculairement sur une Voile est à l'effort avec le quel le meme vent pousse cette meme Voile sans rien changer dans une route oblique comme le quarré du rayon est au quarré du sinus de compliment de l'angle d'incidence de la direction du vent sur la direction de la route oblique. Mais moi je dis que l'effort perpendiculaire du vent est à son effort oblique en simple raison du rayon à ce sinus, et non pas en raison due leurs quarrés. Nous appuyons tous deux nôtre assertion sur l'equilibre des trois voiles d'un vaisseau, c'est en quoi nous convenons encore. Ainsi nous differons seulement de la maniere de determiner cet equilibre: permettés moi donc Monsieur que j'examine le raisonnement que vous faites pour cela; et vous verrez que vous n'appliquez pas bien l'equilibre des 3 poids à celui des 3 voiles.

Dans la demonstration que vous faites de l'equilibre des poids, vous dites que les puissances où les forces sont comme les produits des masses par les vitesses; cela est tres vrai dans un bon sens, mais prenez garde si dans l'application que vous faites à l'equilibre des trois voiles vous ne confondez pas la puissance ou la force avec l'energie de la puissance ou de la force; Et si vous ne confondez pas la vitesse actuelle du vent la quelle étant multipliée par la masse produit la force absolue, avec la vitesse virtuelle, la quelle étant multipliée avec la force absolue produit le momentum ou l'energie de cette force: J'entens par vitesse virtuelle la seule disposition à se mouvoir que les forces ont dans un parfait equilibre, où elles ne se meuvent pas actuellement; Ainsi dans vôtre Fig. 1 qui est ici la seconde, si ce poids $B$ inseparable de la ligne $MB$, est en equilibre avec les poids $N$ et $O$, sa vitesse virtuelle est la petite ligne $BP$, et les vitesses virtuelles de $N$ et $O$ sont $CP$ et $RP$; et alors le produit du poids $B$ par $BP$, ce qui fait l'energie du poids $B$, est égal aux deux produits du poids $N$ par $CP$, et du poids $O$ par $RP$, lesquels font leurs energies; C'est pourquoi eviter l'equivoque, au lieu de dire que les puissances ou les forces sont comme les produits des masses par les vitesses, Vous auriez peut-étre mieux fait de vous exprimer ainsi, les energies des puissances ou des forces sont comme les produits de ces puissances ou de ces forces par les vitesses virtuelles. Vous m'accorderez cela sans doute, car ces paroles ne sont qu'une explication des vôtres en leur attachant un sens determiné. Il faut donc que dans toute equilibre il y ait une égalité d'energie de forces opposées. Soit par exemple un levier $AB$ (Fig. 3) sur l'appui $C$: soit le bras $AC$ au bras $BC$ comme 1 à 4, mais le poids $R$ attaché en $A$ au poids $S$ attaché en $B$ comme 4 à 1. Vous savez Monsieur que ces poids demeureront en equilibre; et pourquo[i] cela? par ce que les energies des deux forces sont egales de part et d'autre; or les deux forces sont ici les deux poids $R$ et $S$ qui sont comme 4 à 1 et leurs vitesses virtuelles ou les vitesses qu'ils auroient s'ils se mouvoient tant soit peu autour de $C$ sont comme $AC$ à $BC$ ou comme 1 à 4 ce qui fait que $R\times AC$ est $=S\times BC$, c'est à dire que l'energie de la force appliquée en $A$ est egale à l'energie de la force appliquée en $B$, et que par consequent ces deux forces demeurent en equilibre.

Si au lieu des poids $R$ et $S$ vous substituez deux autres forces, de quelque nature qu'elles soient, ou de quelque cause qu'elles proviennent pour vû qu'elles soient en raison de 4 à 1. Il est certain qu'il se fera toujours un equilibre entr'elles, supposé qu'au lieu des poids il y ait par exemple deux plans egaux $R$ et $S$ (Fig. IV)[Figur] attachés aux extremités $A$ et $B$ de ce méme levier $AB$; et que ces deux plans horizontaux et sans pesanteur reçoivent les impressions de deux vents perpendiculaires $MR$ et $NS$. Quelles vitesses donneriez Vous Monsieur à ces deux Vents, pour faire que les impressions qu'en reçoivent les plans se contrebalancent? Vous me repondrez sans doute, que les vitesses doivent étre telles, qui produissent les forces absolues en raison de 4 à 1 et que par consequent les vitesses doivent étre comme les racines de ces nombres, sçavoir comme 2 à 1: En cela je serai d'accord avec vous, car l'energie de la force du vent $MR$ est aussi bien egale à l'energie de la force du vent $NS$, que l'energie du poids $R$ (Fig. III)[Figur] étoit egale à celle du poids $S$: ou ce qui est la méme chose le quarré de la vitesse actuelle du vent $MR$ multiplié par sa vitesse virtuelle exprimée par $AC$ doit étre egal au quarré de la vitesse actuelle du vent $NS$ multiplié par sa vitesse virtuelle exprimée par $BC$.

Cependant si vous vouliez suivre le Raisonnement que vous faites pour appliquer l'equilibre des 3 poids par le moyen d'une corde à l'equilibre des 3 voiles de l'art. 32 de votre Memoire; Vous trouveriez infalliblement pour ce cas ici du Levier, qu'il faudroit donner aux Vents $MR$ et $NS$ des vitesses égales ou en raison de 1 à 1 au lieu de 2 à 1.

Pour en étre assuré examinons un peu Votre raisonnement: Dans la Figure II de Votre lettre, qui est ici la Fig. V.[Figur] $NGBFO$ representoit la corde faisant en $B$ un angle droit $GBF$ tendue par les trois poids $B$, $N$, $O$ en raison de $BM$, $BK$, $Bl$, qui sont la diagonale et les deux côtés du rectangle $KL$ fait autour de $BM$ direction du poids $B$, ce qui faisoit selon vous et moi un equilibre entre les trois poids: Pour en faire l'application à l'equilibre des trois voiles, aprez avoir prolongé $MB$ en $P$, $KB$ en $k$, $LB$ en $l$, ensorte que $BP=MB$; $kB=BK$; $LB=Bl$: et aprez avoir marqué sur les lignes $lBL$, $kBK$ les lignes égales $ABC$, $DBE$, et tiré la ligne $aBc$ égale à chacune des précedentes, perpendiculaires sur $MBP$; les quelles trois lignes représenteront les trois voiles égales du Memoire et leur situation: enfin aprez avoir supposé qu'un 1.^er vent pousse perpendiculairement la voile $ABC$ dans la direction $kBK$ de $B$ vers $K$ avec la vitesse $kB=KB$. Qu'un 2.^d vent pousse perpendiculairement la voile $DBE$ dans la direction $lBL$ de $B$ vers $L$ avec la vitesse $lB=BL$. Et qu'un 3.^e vent pousse perpendiculairement la voile $aBc$ dans la direction $MBP$ de $B$ vers $P$ avec la vitesse $MB=BP$. Ensuite vous raisonnez en cette maniere: Puisque les trois Voiles, dites Vous, poussées par les trois vents sont égales, les masses de ces 3 vents sont respectivement comme leur vitesses, par consequent leur efforts sur les 3 voiles égales etant comme le produits de leurs masses par leurs vitesses, l'effort du premier vent $kB$ sur la voile $ABC$ est $kB^{2}=BK^{2}$, l'effort du 2.^d vent $lB$ sur la voile $DBE$ est $lB^{2}=BL^{2}$; et l'effort du 3.^e vent $MB$ sur la voile $aBc$ est $MB^{2}=BP^{2}$.

Cela est tres vrai, si par le mot d'effort vous entendez la force absolue; mais alors la consequence que vous en tirez n'a point de connexion en concluant donc le point $B$ ou le vaisseau en $B$ est poussé par les efforts ou puissances de ces 3 Vents précisément de la meme maniere, qu'il étoit par les trois poids $N,O,P$, par le moyen de la corde tendue $NGBFO$: car les poids, ou ce qui est la meme chose les forces absoluës appliquées en $N,O,P$ sont comme les simples lignes $BK,BL,BM$, au lieu que les forces absoluës des trois vents, qui donnent sur les trois voiles egales $ABC$, $DBE$, $aBc$, ne sont pas comme les simples lignes $BK$, $BL$, $BM$, mais elles sont comme les quarrez $BK^{2}$, $BL^{2}$, $MB^{2}$: le point $B$ où le vaisseau en $B$ n'est donc pas poussé par les forces de ces 3 vents de la méme maniere, qu'il l'étoit par les 3 poids.

Mais achevons de vous montrer le tort de vôtre comparaison entre l'effet des 3 poids et des 3 vents tels que vous les supposez. Le grand et le premier principe de statique est comme j'ai eu l'honneur de vous le dire Monsieur que dans chaque equilibre il y a une egalité entre les energies des forces absolues, c'est à dire entre les produits des forces absolues par les vitesses virtuelles; ainsi puisque les trois poids ou les forces absoluës appliquées en $N$, $O$, $P$ sont respectivement comme les 3 lignes $BK$, $BL$, $BM$, et leurs vitesses virtuelles comme les mémes lignes, selon que vous le demontrez vous méme Monsieur, il est certain, que l'energie du poids $BK$ en $N$ est $BK^{2}$, celle du poids $BL$ en $O$ est $BL^{2}$, et celle du poids $MB$ en $B$ est $BM^{2}$: Or les forces absolues des trois vents appliquées sur les voiles égales étant comme les quarrés de leur vitesses actuelles, c'est à dire respectivement comme $BK^{2}$, $BL^{2}$, $BM^{2}$, et outre cela les vitesses virtuelles de ces forces absoluës des vents étant aussi (par la méme raison que vous l'avez demontré pour les poids) comme les simples lignes $BK$, $BL$, $BM$, il s'ensuit que l'energie de la force du vent sur $DBE$ est $BL^{2}\times BL$, ou $BL^{3}$, celle de la force du vent sur $ABC$ est $BK^{2}\times BK$, ou $BK^{3}$, et celle de la force du vent sur $aBc$ est $MB^{2}\times BM$ ou $MB^{3}$.

D'où Vous voyez Monsieur que les energies des forces absolues des 3 vents en question sont comme les cubes des trois lignes $BK$, $BL$, $BM$, au lieu que les energies des forces absolues des poids sont comme les quarrés de ces mémes lignes; c'est pourquoi ces poids étant en equilibre entr'eux à cause de l'egalité de leur energies opposées $BK\times BK(BK^{2})+BL\times BL(BL^{2})=BM\times MB(MB{}^{2})$ il n'est pas possible que les 3 vents avec les vitesses que vous leur donnez soient aussi en equilibre, par ce que leurs energies opposées $BK^{2}$ in $BK(BK^{3})+BL^{2}\times BL(BL^{3})$ et $MB^{2}\times MB(MB^{3})$ ne sauroient étre égales; car $MB^{3}$ est plus grand que $BK^{3}+BL^{3}$: D'où je conclus que le vent perpendiculaire sur la voile $aBc$ avec la vitesse $MB$ l'emporteroit sur les deux autres vents dont l'un donne perpendiculairement sur la voile $ABC$ avec la vitesse $kB=KB$ et l'autre perpendiculairement sur la voile $DBE$ avec la vitesse $lB=LB$: Et que pour faire un equilibre exact entre les trois vents, il faut que la vitesse actuelle de celui qui donne sur $ABC$ dans la direction $kB$ soit comme ${\sqrt {}}BK$, la vitesse du vent qui donne sur $DBE$ dans la direction $lB$ soit comme ${\sqrt {}}BL$, et la vitesse du vent qui donne sur $aBc$ dans la direction $MB$ soit comme ${\sqrt {}}MB$: car alors les forces absoluës de ces vents sur les 3 voiles égales seront comme $BK$, $BL$, $MB$, comme le sont aussi les forces absolues des 3 poids en $N$, $O$, $B$, qui agissent suivant les mémes directions que les vents; et les energies des forces des vents seront comme $BK^{2}$, $BL^{2}$, $MB^{2}$, comme le sont aussi les energies des forces de ces mémes poids. Cette comparaison est juste, mais non pas la votre.

Je me flatte Monsieur que toutes ces raisons vous feront comprendre l'infirmité de l'application que vous faites de l'equilibre des 3 poids en $N$, $O$, $B$ par le moyen de la corde $NGBFO$ à l'equilibre des 3 voiles; Et que la source de votre méprise consiste en ce que vous n'avez pas distingué les forces des vents d'avec les energies des forces, en oubliant de multiplier ces forces absolues c'est à dire les quarrés des vitesses actuelles par les vitesses virtuelles pour avoir les energies des forces des vents.

Vous comprendrez aussi la verité de ce que j'ai dit ci dessus touchant les plans egaux $R$ et $S$ (Fig. IV)[Figur] attachés aux extremités d'un Levier $AB$ et qui par les impressions des deux vents $MR$ et $NS$ se soutiennent mutuellement en équilibre, vous comprendrez dis-je que suivant vôtre raisonnement en negligeant les vitesses virtuelles, il faudroit dire que la masse du vent $MR$ multiplié par sa vitesse actuelle doit étre égale à la masse du vent $NS$ multiplié aussi par sa vitesse actuelle, ou puisque les masses sont comme les vitesses, les quarrés des vitesses étant comme les produits, ils doivent étre égaux et partant les racines ou les vitesses égales: ce qui est manifestement contre le bon sens.

Que si tous ces raisonnements ne sont pas capables contre mon esperance, de vous y faire donner les mains, peutetre par ce que je n'ai pas le don de m'expliquer assez clairement: Je desespere de reüssir jamais à vous convaincre, à moins que ce ne soit par un dernier effort je veux dire par la demonstration que je vai vous faire appuyer immediatement sur celle que je vous fis dans ma seconde lettre, et que vous m'accordez Monsieur dans l'honneur de vôtre derniere, qui est que les trois plans $AC$, $DE$, $FG$ (voyez la fig. 28 de mon Essai) que j'ai mis à la corde $NLBMO$ à la place des trois poids $N$, $O$, $P$ et sur les quels un vent donne perpendiculairement du haut en bas, ils se contrebalanceront: Vous en convenez en ajoutant méme pour raison par ce que ces trois plans font sans contredit le méme effet précisément que les trois poids: Si ce la est donc vray, faisons quelque petit changement sans rien changer dans l'effet; ôtons donc les trois plans inégaux qui étoient comme 3, 4, 5 et mettons y trois autres plans qui soient egaux, et à la place d'un méme vent qui donnoit sur tous les trois plans avec une méme vitesse, substituons trois differens vents, dont celui qui donne sur $AC$ ait une vitesse exprimée par ${\sqrt {3}}$, celui qui donne sur $DE$ ait une vitesse exprimée par ${\sqrt {4}}$, et enfin celui qui donne sur $FG$ ait une vitesse exprimée par ${\sqrt {5}}$. Oseriez Vous bien nier Monsieur que ces trois plans égaux ainsi poussez par les 3 vents dont les vitesses sont comme ${\sqrt {3}}$, ${\sqrt {4}}$, ${\sqrt {5}}$ et partant leurs forces absoluës comme 3, 4, 5 tendent la corde de la méme maniere qu'elle étoit tendue auparavant par les plans inégaux poussés par un méme vent, ou par trois vents d'une égale vitesse? N'est il pas tres evident je vous en demande en grace Monsieur, faites y un peu d'attention! n'est il pas tres-evident qu'un plan comme 1 poussé par un vent d'une vitesse comme ${\sqrt {3}}$, fait sur la corde $NL$ le méme effet, que faisoit un autre plan comme 3 poussé par un vent d'une vitesse comme ${\sqrt {1}}$? puisque les plans étant reciproquement proportionels aux forces absoluës des vents qui sont comme les racines des vitesses reçoivent des impressions égales; Ainsi donc de méme un plan comme 1 poussé par un vent d'une vitesse comme ${\sqrt {4}}$ fait sur la corde $OM$ le méme effet, qu'un plan comme 4 poussé par un vent d'une vitesse comme ${\sqrt {1}}$. Et enfin un plan comme 1 poussé par un vent d'une vitesse comme ${\sqrt {5}}$ fait sur la corde $PB$ le méme effet qu'un plan comme 5, poussé par un vent d'une vitesse comme ${\sqrt {1}}$.

Or selon Vôtre aveu les trois plans $AC$, $DE$, $FG$ poussés par un méme vent font sur la corde $NLBMO$ sans contredit le méme effet que les trois poids, c'est à dire, ces trois plans tiennent le point $B$ en equilibre comme les trois poids en cette proportion l'y tiennent; Donc aussi les trois plans égaux poussés par 3 vents dont les vitesses sont comme ${\sqrt {3}}$, ${\sqrt {4}}$, ${\sqrt {5}}$ tiendront en équilibre le méme point $B$: Mais par la seule vuë de la situation de la corde (pour me servir de vos propres termes) on apperçoit clairement que l'effort du plan en $N$ se fait sur le point $B$ suivant la direction $BK$; que l'effort du plan en $O$ se fait sur le point $B$, suivant la direction $BI$ dans ma figure, ou suivant $BL$ dans la vôtre, et que l'effort du plan en $P$ se fait sur le point $B$ suivant la direction $BP$; en sorte que ces trois plans font le méme effet sur le point $B$, que s'ils étoient appliquées immediatement en $B$, l'un perpendiculairement à $BK$, l'autre perpendiculairement à $BI$ ou $BL$ dans vôtre figure, et le troisiéme perpendiculairement à $PB$, et que les trois vents y donnassent aussi perpendiculairement sçavoir le premier suivant $BK$ avec la vitesse comme ${\sqrt {3}}$, le second suivant $BI$, ou $BL$ dans vôtre figure avec la vitesse comme ${\sqrt {4}}$, et le troisiéme suivant $BP$ avec la vitesse comme ${\sqrt {5}}$: Ce qui fait justement le cas du vaisseau en $B$ poussé par les trois voiles égales $ABC$, $DBE$, $aBc$.

Plus j'y pense Monsieur, plus je m'étonne que vous ayez pû vous laisser seduire par un paralogisme qui est si manifeste et si palpable, que de quelque côté que vous consideriez la chose, vous trouverez toujours qu'il est detruit par les principes les plus clairs de la statique. Pour comble de conviction, je rapporterai encore le principe du levier qui est le plus general et le plus evident dans toute la statique, et avec le quel vous verrez que le vôtre ne sçauroit subsister. Soit donc le vaisseau $B$ attaché à l'extremité d'un levier $PB$ (Fig. V) que je suppose mobile sur un point fixe $P$; et que les deux voiles $ABC$, $DBE$, (en ôtant la troisiéme $aBc$) poussées par deux vents, l'une dans la direction $BK$, et l'autre dans la direction $BL$, tiennent le Levier en equilibre dans la situation $PB$: du point de l'appui $P$, soient tirées les perpendiculaires $Pk$, $Pl$, sur les prolongées $kB$, $LB$ par la proprieté generale du Levier, contrebalancé on sçait, que les forces sont reciproquement proportionelles aux eloignemens de leurs directions du point d'appui $P$; donc la force du vent contre $ABC$ est à la force du vent contre $DBE$ comme $Pl$ est à $Pk$; or les forces des vents contre des voiles égales êtant comme les quarrés de leur vitesses, il faut que le quarré de la vitesse du vent sur $ABC$ soit au quarré de la vitesse du vent sur $DBE$ comme $PL$ est à $Pk$ et par consequent la simple vitesse du vent sur $ABC$, à la simple vitesse du vent sur $DBE$ comme ${\sqrt {}}BL$ à ${\sqrt {}}Bk$, ou comme ${\sqrt {}}BK$ à ${\sqrt {}}BL$, et non pas comme $BK$ à $BL$. Otez présentement le levier $PB$, qui par sa resistance faisoit la fonction de la troisieme Voile $aBc$ poussée par le troisieme vent suivant la direction $MB$; Et remettez en $B$ cette troisieme Voile; mais ôtez une des deux autres par exemple la seconde $DBE$ pour y substituer un levier $BL$ mobile sur un point fixe $L$: Vous trouverez par un raisonnement semblable que la vitesse du vent sur $ABC$ est à la vitesse du vent sur $aBc$ comme ${\sqrt {}}BK$ à ${\sqrt {}}BM$. Ce qui fait voir tres distinctement, que pour mettre le vaisseau $B$ en equilibre par le moyen de vos 3 voiles égales $ABC$, $DBE$, $aBc$ il faut que les vitesses des 3 vents soient dans la proportion de ${\sqrt {}}BK$, ${\sqrt {}}BL$, ${\sqrt {}}MB$ et non pas dans celle de $BK$, $BL$, $MB$, comme vous le pretendez.

Aprez tout cela je ne doute plus Monsieur, que vous ne reconnoissiez enfin, que vous n'avez pas bien appliqué l'equilibre des 3 poids à l'equilibre des 3 voiles; Ainsi puisque vous en avez fait vôtre grand principe et le fondement sur le quel vous avez bati toute vôtre Theorie selon vôtre propre aveu, il seroit inutile de m'arreter longtemps sur quelques autres difficultés de peu d'importance que vous me faites dans vôtre lettre, par ce qu'elles disparoitront d'elles memes aussi tot que vous aurez reconnu vôtre meprise, qui est la source de toutes ces difficultés-là.

Cependant pour ne les pas passer tout à fait sous silence, je les toucherai en peu de mots. Il faut donc vous dire Monsieur, que la demonstration par la quelle vous prétendez prouver, que le principe contraire que je vous oppose conduit à une absurdité, ne me regarde nullément; car dans la construction que je donne pour determiner la route et la vitesse d'un vaisseau poussé en méme temps par deux vents, je suppose les vitesses des deux vents comme infinies par rapport à celle du vaisseau, au lieu que dans vôtre demonstration les deux premieres vous sont finies et comparables avec la derniere; ainsi elle ne fait rien contre moi, n'ayant jamais prétendu de donner une construction de ce probleme dans la supposition de finité et comparabilité des vitesses des vents et de celle du vaisseau: Car le probleme devient dans ce cas trop composé pour le construire geometriquement: En voici pourtant une solution algebraique; soit $BG$ (fig. VI)[Figur] la direction et la vitesse du vent qui donne sur la voile $ABC$; $BK$ la vitesse du vaisseau étant poussé par ce seul vent; $BF$ la direction et la vitesse du second vent qui donne sur la voile $DBE$ perpendiculaire à la premiere; $BL$ la vitesse du vaisseau quand il est poussé par ce seul vent: soit $BH$ la direction et la vitesse du vaisseau poussé par le concours des deux vents. Aprez avoir achevé le rectangle $BGHI$, soit nommé $BG$, $a$; $BK$, $b$; $BF$, $m$; $BL$, $n$; $BQ$, $x$; $BI$, $y$. Je dis que si l'on prend $BQ$ et $BI$ ou $x$ et $y$, égales à leurs valeurs determinées par ces deux égalités ${\frac {{\overline {a-x}}{}^{2}}{x\times {\overline {a-b}}{}^{2}}}bb={\sqrt {xx+yy}}={\frac {{\overline {m-y}}{}^{2}}{y\times {\overline {m-n}}{}^{2}}}nn$, la diagonale $BH$ marquera la route et la vitesse cherchées. Si on vouloit réduire ces deux égalités à une troisiéme en exterminant une des inconnuës, il en resulteroit une équation de huit dimensions, par conséquent trop difficile à construire.

Rien ne me paroit plus clair que ce que j'ai dit que les resistances laterales de l'eau contre le vaisseau ne sont rien de reëlles et qu'elles ne sont qu'ideales; mais pour Vous Monsieur quelqu'effort que vous vous fassiez pour les revoquer aussi en doute, il vous est impossible, dites vous, d'y parvenir; Et Vous donnez pour raison, que s'il n'y avoit pas une resistance reëlle par la partie diametralement opposée à la force d'un vent lateral ou qui vient de côté, le vaisseau obeïroit continuellement à cette force, et ainsi il iroit à la fin suivant la determination du vent aussi vite que le vent lui méme; mais pour remedier à cet inconvenient est-il besoin de s'imaginer une resistance laterale reëlle? Celle qui s'oppose directement au vaisseau n'est elle pas capable de resister en meme temps à l'un et à l'autre vent; voici ce que c'est, il n'y a dans l'eau point de resistance laterale effective ou reëlle, mais la force que la resistance directe imprime au vaisseau se distribue selon le principe ordinaire de la décomposition des forces en deux forces laterales, dont l'une s'oppose à la force d'un vent et l'autre à la force de l'autre vent; en sorte que ces deux forces resistantes laterales viennent d'une seule resistance directe, qui seule par consequent peut contrepeser les deux forces des deux vents lateraux, tout comme dans l'equilibre des 3 poids ou dans celui des 3 voiles, un seul poids ou une seule voile s'oppose aux deux autres et les contrebalance fort bien sans qu'il soit besoin de s'imaginer pour cela des forces laterales reëlles differentes de celle qui vient immediatement de ce troisieme poids, ou de cette troisieme voile.

Il est vrai Monsieur que Vous n'avez point parlé du tout dans vôtre Theorie de ce que la vitesse doit étre supposée infinie par rapport à celle du Vaisseau: Mais vous avez fait tacitement cette supposition, peut étre sans y avoir reflechi: Tout le monde qui lit vôtre Traité s'en apperçoit d'abord; vous voyez que ce n'est pas moi seul, qui l'ait interpreté dans ce sens; feu Mr. Huguens et feu mon frere l'ayant pris dans le meme sens: Je m'etonne que vous seul ne veuillez pas donner à cela un sens que tout le monde lui donnera et qui saute aux yeux: Vous supposez dans tout le cours de vôtre livre que le vent pousse la voile avec la méme force, soit que le vaisseau soit en repos ou qu'il se meuve, et quelque angle que fasse la route avec la ligne du vent; pour vû que l'angle d'incidence du vent sur la voile soit toujours le même; Deplus vous supposez Mons. (voyez l'art. 9 du Chap. 1 de Vôtre Theorie) que les forces avec les quelles le vent poussera la voile diversement située seront entre elles, comme sont les quarrés des sinus des angles d'incidence. Or tout cela n'est vrai qu'en supposant le vent infiniment plus vite que le vaisseau, car autrement il faudroit dire que les forces avec les quelles le vent poussera la voile diversement située seront entr'elles en raison composée des quarrés des sinus des angles d'incidence et des quarrés des vitesses relatives du vent sur la Voile; puisque les vitesses relatives d'un méme vent sont differentes selon la diversité de la route et de la vitesse du vaisseau, à moins que le vent ne soit censé infiniment plus vite que le vaisseau.

Les conclusions aussi que vous tirez de ce principe ne sçauroient étre que tres fautives, celle par exemple dans l'art. dernier du premier Chapitre, où vous voulez demontrer que les differentes vitesses du vaisseau par rapport aux differens angles d'incidence du vent sur la voile sont en méme raison que les sinus de ces angles d'incidence; car il est visible que les differentes vitesses du vaisseau ne seroient pas comme les seuls sinus des angles d'incidence, mais en raison composée de ces sinus et des vitesses relatives du vent. Souhaitez vous Monsieur que je vous indique d'autres passages dans vôtre livre, qui sont fondés sur la supposition tacite, que la vitesse du vent est infinie par rapport à celle du vaisseau: Voyez dans le Chap. IV l'art. 1, pag. 36; l'art. 2, pag. 37; l'art. 3, pag. 40; dans le Chap. V l'art. 1, pag. 53; dans le chap. VI l'art. 3, pag. 62, dans touts ces endroits-là vous ne tenez aucun conte de la diversité des vitesses relatives du vent sur la voile; marque visible que vous les prenez toutes pour egales entr'elles, et que par consequent que Vous considerez tacitement la vitesse absolue du vent comme infinie à l'egard de celle du Vaisseau.

Mais quand vous me dites présentement que le rapport de la vitesse du vent à celle du vaisseau n'est pas bien eloigné, par ce que l'on observe selon que vous m'en assurez, que si on va vent en pouppe et que le vaisseau soit bon voilier, ses voiles seront toutes plates et battront le mât, en sorte qu'à peine on sentira le vent: Il faut Vous en croire Mons. puisque c'est une affaire de pure experience, quoi qu'il paroisse étonnant, que le vent donnant sur les voiles avec si peu de vitesse relative puisse soutenir la resistance de l'eau, qui frappe le vaisseau avec une vitesse presque égale à la vitesse absoluë du vent; Cela vient apparemment de ce que les voiles ont beaucoup d'étendue, et que le vaisseau a une figure telle que sa prouë donne à l'eau peu de prise contre le corps du Vaisseau.

Quant au reste je ne debite les regles que je donne dans mon Essai que dans la supposition de la vitesse du vent incomparablement plus grand que celle du Vaisseau, comme je l'ai avoué ingenument à la fin du chapit. 15 n'ayant pas voulu entreprendre de surmonter une montagne de difficultés, que je prévoyois de loin, en regardant la vitesse du vent comme finie et comparable à celle du vaisseau, et partant les vitesses relatives d'un méme vent sur les voiles de differens vaisseaux comme inégales, variables, et indeterminées: car cette circonstance rend tout à fait intraittables la plus part des problemes, dont nous avons voulu donner les solutions.

Je suis Monsieur de Vôtre sentiment, qu'aprez que nous serons convenu du mouvement composé, il sera aisé de nous accorder aussi sur la maniere de determiner la Derive du Vaisseau: je suis méme si fort persuadé que vous reconnoitrez enfin par la lecture de cette lettre la mauvaise idée que vous avez sur l'equilibre des 3 voiles, que je conte dès à présent de vous voir abandonner vôtre Methode de la determination de la derive, pour embrasser la mienne qui consiste dans la consideration de la figure du vaisseau, consideration absolument necessaire, sans la quelle toute autre methode ne peut qu'étre erronée et trompeuse: Toute fois pour en dire quelque chose, qui ne contribuera pas peu à vous desabuser; vous croyez Monsieur que vous pouviez parler plus exactement que vous n'avez fait dans l'endroit que je vous ai cité pag. 17 de Vôtre Theorie, et vous ajoutez, qu'au lieu de dire comme vous avez dit de faire $KL$ à $KG$ comme la resistance de côté est à celle de pointe, il faloit dire de faire $KL$ à $KG$ dans la raison de la vitesse que le vaisseau a de côté à la vitesse qu'il a de pointe, étant également poussé dans ces deux directions: Mais je vous assure que cette façon de parler n'est pas plus exacte que l'autre, n'y ayant rien de si facile que de faire voir, que la raison de la vitesse que le vaisseau a de côté à la vitesse qu'il a de pointe étant également poussé dans ces deux directions, ne peut rien contribuer à la determination de la derive.

Car soit (Fig. VII) [Figur] le vaisseau $RNMP$, la ligne de la quille $BK$; la voile $DC$; la ligne de la force mouvante $BG$; la ligne de la route $BL$; et $GK$ perpendiculaire sur $BK$, coupant la ligne de la route au point $L$: Que l'on s'imagine deux lignes droites $NE$ et $PF$ paralleles à la ligne de la route $BL$, et qui touchent les deux côtés du vaisseau aux points $N$ et $P$. Il est visible que toute la partie $NRP$ qui est derriere les points d'attouchement $N$ et $P$, étant à couvert de l'action de l'eau, quelque changement qu'on fasse dans cette partie, pendant que le vaisseau est en mouvement, il tiendra toujours la méme route et partant la méme derive $KBL$, puisque l'eau continue d'agir de la méme maniere sur le vaisseau qu'elle faisoit auparavant: ainsi donc imaginons nous que pendant le mouvement du vaisseau, une partie de la pouppe $SRT$ qui n'est pas exposée à l'action de l'eau soit retranchée, ensorte que le reste du vaisseau $SMT$ continue à suivre toujours la méme route $BL$, ce qui est hors de doute: Cependant la raison de la vitesse que le vaisseau ainsi mutilé auroit de côté à la vitesse qu'il auroit de pointe est visiblement devenue plus grande qu'elle n'etoit avant l'amputation, d'où il suit, que selon vôtre opinion l'angle de la derive $KBL$ devroit augmenter aussi, contre ce que je viens de demontrer. Cela étant Vous ne pouvez disconvenir Monsieur que la veritable maniere de determiner la derive ne soit de recourir à la fig. du vaisseau, et de suivre en cela la methode que j'ai communiquée dans mon Essai, dans le quel si vous esperez apprendre quelques belles et bonnes choses, au systeme prés, comme vous dites, j'espere au contraire que quand vous n'y trouveriez aucune belle et bonne chose par rapport à la pratique, vous reconnoitrez pourtant que mon systeme est veritable.

Differentes personnes Monsieur m'ont écrit de Paris, que le bruit y court que vous preparez quelque chose à publier contre mon livre. Mais j'ai de la peine à croire que vous le fassiez aprez que vous aurez lû cette Lettre; car je sçai que le caractere d'honnete homme qui est une de vos plus belles qualités ne vous permettra pas que les objections que vous m'avez faites dans vôtre lettre paroissent en public et courent de maison en maison sans que mes reponses y paroissent en méme temps. La profonde estime que j'ai conçue pour vôtre merite sur tout depuis que vous m'honorez de vôtre correspondence me rassure et me dit que je n'ai rien à craindre malgré les bruits publics: aussi est ce avec plus d'assurance que jamais que j'ose me recommender à la continuation de l'honneur de vôtre bienveuillance, et me nommer avec tout le respect imaginable Monsieur Vôtre tres humble et tres obeissant serviteur J. Bernoulli.

à Bâle ce 12. Aout 1714.

P. S. J'ai differé de jour à autre le depart de cette lettre ecrite depuis plus de 3 semaines parceque je voulois la relire auparavant ce que mes occupations ne m'ont permis de faire qu'aujourdhui qui est le 4 Septemb.

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Fussnoten

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