1710-08-03 Bernoulli Johann I-Burnet William

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Burnet, William, 1688-1729
Ort	Basel
Datum	1710.08.03
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 654, Nr.7
Fussnote	Datum am Briefkopf eigenhändig. Autographe Korrekturen. Beilage: 1 Blatt mit einer konstruierten Figur

à Bâle ce 3. Aoust. 1710.

Monsieur

Quoique je ne tarde pas comme vous voyez, à repondre à votre derniere du 8 Juillet, je crains pourtant beaucoup, que celle cy n'arrive à la Haye quand vous en serez deja parti: L'affaire de la vocation de Leyden demanderoit bien, que vous fussiez encore en Hollande en recevant cette lettre, car il faut, que je vous dise, que j'en ay reçu une tout recemment de Mr. Noodt, par la quelle il me mande que sur le refus que je fis d'accepter les premieres conditions, toute l'affaire etoit rompue, si bien qu'on commençoit à n'en plus parler, et que selon les apparences on n'en parlera plus; il ajoute qu'on a recommandé Mr. Keill Ecossois presentement en Amerique, qu'il accepteroit la vocation avec une tres petite pension, je ne sçay jusqu'où s'etend la capacité de ce Mr. Keill, je n'ay vu de luy qu'un petit livre sur la physique, contenant un amas des pieces de Mr. Newton et de quelques unes des notres, sans en dire toujours le nom de l'auteur, en sorte qu'il n'y a rien de son invention, tout n'etant qu'une simple compilation: mais quoi qu'il en soit si c'est un homme d'un si rare merite et d'une si grande reputation, et qu'avec cela il veuille servir pour une si petite pension, je m'etonne qu'on balance si longtemps à l'appeller non seulement de l'Amerique mais du dernier coin du monde: Cependant je ne sçay ce que je repondray à Mr. Noodt, peutetre n'est il pas à propos que je ne luy ecrive rien des assurances que Mr. d'Obdam vous a renouvellé de travailler fortement en ma faveur, dont Vous faites esperer que je ressentiray les effets, ainsy je differeray de repondre à Mr. Noodt jusqu'à ce que je sçache, de quelle maniere je me comporteray dans la reponse, aussy ne vois-je rien qui la presse.

Pour venir à l'autre point de votre lettre, qui regarde la satisfaction que Mr. Craige me doit donner, il semble qu'il n'ay gueres envie de le faire, car autrement il ne l'auroit pas differé si longtemps, la raison qu'il allegue de ne pas voir comment l'expression analytique que je vous ay donnée de la nouvelle courbe egale à l'Ellipse se trouve par la consideration du motus reptorius, cette raison dis je n'etant qu'un pur pretexte pour se dispenser d'avouer qu'il a commis un paralogisme dans sa pretendue solution du probleme de la transformation des courbes, et qu'ainsi il n'a nullement resolu ce probleme jusqu'à present, et que c'est injustement et à tort qu'il a attaqué ma solution legitime; car elle est si clairement expliquée dans les Actes, et l'expression analytique de la nouvelle courbe egale à l'Ellipse suit si naturellement de l'application du mouvement reptoir, qu'il ne faut pas etre la moitié aussy grand geometre que Mr. Craig pour l'en deduire. Mais pour luy oter tout sujet de scrupule affecté, ou plutot pour vous contenter vous meme puisque Vous le desirez, je vay vous montrer icy l'analyse et l'operation par la quelle vous verrez que la maniere en est generale, c'est à dire que si au lieu de l'Ellipse on suppose une autre courbe Algebraique quelconque, la courbe reptoire sera toujours aussy Algebraique dont on trouvera aussy l'expression de la meme maniere que je feray icy en supposant l'Ellipse. Regardez donc Monsieur la figure que j'ay tracé assez soigneusement sur la feuille cy-jointe,[Figur folgt] et qui seulle pourroit montrer assez clairement sans aucun discours tout le manoeuvre du mouvement reptoir; soit donc l'ellipse immobile $ABDE$ donnée, dont les axes conjugués $AD$ et $BE$; soit maintenant une autre Ellipse mobile $NPMQ$ egale et semblable à l'immobile, et qu'on la mette d'abord dans une situation subcontraire, c'est à dire que les deux sommets conjugués $A$ et $P$ se touchent mutuellement, en sorte que le grand axe de l'immobile $DA$ et le petit axe de la mobile $PQ$ fassent une ligne droite continue $QD$; L'Ellipse mobile etant ainsi ajustée, qu'on commence à la faire ramper, c'est à dire à la faire mouvoir d'un mouvement toujours parallele en frisant continuellement l'Ellipse immobile, tandis que chaque ligne droite de l'Ellipse mobile, par exemple le grand axe $NM$ garde le parallelisme dans tous les endroits durant son mouvement avec $\Sigma \Delta$, $N_{1}M_{1}$, $N_{2}M_{2}$, $N_{3}M_{3}$, etc. ensorte que l'Ellipse mobile $NPMQ$ aprez avoir achevé le premier quartier de son mouvement occupera la place telle que vous la voyez representée par $N_{1}P_{1}$$M_{1}Q_{1}$, aprez le second quartier elle sera dans la situation designée par $N_{2}P_{2}$$M_{2}Q_{2}$; aprez le troisieme on la verra en $N_{3}P_{3}$$M_{3}Q_{3}$, et enfin aprez le quattrieme quartier elle reprendra sa premiere place $NPMQ$, les quattre sommets $P$, $N$, $Q$, $M$ s'appliquant successivement sur les quattre conjugués $A$, $B$, $D$, $E$: Par ce mouvement chaque point dans le plan de l'Ellipse mobile ou rampante, comme par exemple le centre $O$, decrit la courbe reptoire ${O\Omega O}_{1}O_{2}$$O_{3}$, la quelle selon ce que j'ay montré dans les Actes de Leipsic de l'année 1705, pag. 352, Theor. 1 sera egale à la somme des courbes mobiles et immobiles, c'est à dire icy le double de l'Ellipse $ABDE$, où il faut remarquer, que cette courbe a quatre legeres prominentes ou bosses vers les quatre milieux $G$, $H$, $I$, $K$, egalement eloignés des quatre points cardinaux $O$, $O_{1}$, $O_{2}$, $O_{3}$; pour quelle raison j'appelle cette courbe comme vous sçavez Quadrigibbam, par le moyen de la quelle je forme par la seconde reption une courbe Octigibbam, et ensuite une sedecigibbam et ainsi continuellement, ce qui m'a fourni comme je vous ay montré icy à Bale si vous vous en souvenez encor une maniere trez curieuse de reduire chaque courbe entre deux cercles qui ayent une difference si petite que l'on voudra: Car les quatre points $O$, $O_{1}$, $O_{2}$, $O_{3}$, etant les plus proches du centre $C$, comme les quatre autres $G$, $H$, $I$, $K$ en sont les plus eloignés, il est manifeste que le cercle decrit du centre $C$ et du rayon $CO$ touchera la quadrigibbam au dedans et sa circonference sera par consequent plus petite que la quadrigibba, mais le cercle decrit du meme centre $C$ et du rayon $CG$ touchera la meme quadrigibbam au dehors, sa circonference sera donc plus grande que la quadrigibba; voyla donc deux limites de cercles forts proches, l'un au dessus, l'autre au dessous, dont la circonference de l'un surpasse, et celle de l'autre est surpassé de la quadrigibba c'est à dire du double de l'Ellipse; nommant le grand demiaxe $AC$, $a$, et le petit demiaxe $BC$, $b$, on voit que le limite mineur à son rayon $OC=a+b$ mais pour le limite majeur, je trouve par le calcul que son rayon $GC={\sqrt {2aa+2bb}}=$ à la diagonale du carré dont le coté est $AB$, or supposant la raison de $AC$ à $BC$ comme 5 à 4, on aura $OC.GC::9$ ou ${\sqrt {81}}.{\sqrt {82}}$, qui approche plus de la raison d'egalité, que 162 à 163; par le moyen de l'Octigibba, qui est engendrée par l'obreption subcontraire de la quadrigibbe sur la quadrigibbe en mettant d'abord le grand diametre $G_{1}$ en continuité et en ligne droite avec le petit diametre ${OO}_{2}$ on trouve des limites beaucoup plus proches, et puis encore incomparablement plus proches par le moyen de la sedecigibbe, mais ce n'est pas icy proprement ce que je dois faire, il faut plustot convaincre Mr. Craig, que la courbe $OO_{1}O_{2}O_{3}$ est algebraique ou Geometrique, voycy donc comment je trouve l'equation analytique, qui en exprime la nature; imaginez vous que l'Ellipse mobile $NPMQ$ soit parvenu dans la situation de $\Sigma \Pi \Delta \Lambda$, il s'agit de trouver la relation de l'abscisse $CL$ à l'ordonnée $\Omega L$, ce qui n'est pas difficile, car par le point d'attouchement commun $S$ des deux ellipses soit tiré la tangente commune $TSX$ rencontrant les axes des ellipses prolongés en $T$ et $X$, par le meme point $S$ soit aussy tiré $VSR$ parallele à l'ordonnée $\Omega L$; soit donc $AC=a$, $BC=b$, $CR=x$, $LR$ ou $\Omega V=z$; On sçait par la doctrine des sections coniques cette proprieté des ellipses, que $CR$, $CA$, $CT$ comme aussy $\Omega V$, $\Omega \Pi$, $\Omega X$ sont en raison continue, d'où on trouve $CT={\frac {aa}{x}}$ et $\Omega X={\frac {bb}{z}}$ et partant $RT=CT-CR={\frac {aa-xx}{x}}$ et $VX=\Omega X-\Omega V={\frac {bb-zz}{x}}$, or c'est encore une proprieté des ellipses que $ACq.BCq::{\textrm {rect}}ARD.SRq$, et $\Omega \Pi q.\Omega \Sigma q::{\textrm {rect}}\Pi V\Lambda .SVq$, ce qui donne $SR={\frac {b}{a}}{\sqrt {aa-xx}}$ et $SV={\frac {a}{b}}{\sqrt {bb-zz}}$ mais à cause des triangles semblables $SRT$, $SVX$ on a $SR.RT::SV.VX$ ou $SR\times VX=SV\times RT$ ce qui donne cette equalité ${\frac {b^{3}-bzz}{az}}{\sqrt {aa-xx}}={\frac {a^{3}-axx}{bx}}{\sqrt {bb-zz}}$ ou divisant chaque membre par ${\sqrt {aa-xx}}$ et par ${\sqrt {bb-zz}}$ on aura ${\frac {b}{az}}{\sqrt {bb-zz}}={\frac {a}{bx}}{\sqrt {aa-xx}}$ d'où il resulte $z={\frac {b^{3}x}{\sqrt {a^{6}-a^{4}xx+b^{4}xx}}}$ étant donc substitué la valeur de $z$, on aura l'abscisse $CL=CR+RL=x+z=x+{\frac {b^{3}x}{\sqrt {a^{6}-a^{4}xx+b^{4}xx}}}$ et l'ordonnée $\Omega L=RS+VS={\frac {b}{a}}{\sqrt {aa-xx}}+{\frac {a{\sqrt {a^{6}-a^{4}xx}}}{\sqrt {a^{6}-a^{4}xx+b^{4}xx}}}$.

Ainsi j'ay determiné algebraiquement la valeur des coordonnées, et partant je me suis acquitt[é] de mon devoir, il faut donc que Mr. Craig s'acquite pareillement du sien, c'est à dire qu'il revoque son erreur, qu'il avoue de n'avoir pas resolu le probleme de la transformation des courbes, et qu'il me rende justice, pour avoir attaqué mal à propos ma solution par le mouvement reptoir. Je recevray avec reconnoissance ce que vous me prometez sur la perspective que Mr. De S'gravensande fera imprimer.

Comme il n'y a plus d'espace, il ne me reste plus qu'à vous assurer que je suis toujours du meilleur de mon coeur Monsieur Votre tres humble et tres obeissant Serviteur J. Ber.

[hier findet sich die im Text erwähnte Figur zum motus reptorius der Ellipse.]

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Fussnoten

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