1710-10-07 Bernoulli Johann I-Hermann Jacob

[Noch keine Bilder verfügbar]

Kurzinformationen zum Brief       mehr ...
Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Hermann, Jacob, 1678-1733
Ort	Basel
Datum	1710.10.07
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	BS UB, Handschriften. SIGN: L I a 659, Nr.7
Fussnote	Autographe Korrekturen. Die letzten 8 Zeilen mit Datum autograph. Enthält Johanns Lösung des inversen Problems sowie seine Kritik an Hermanns Lösung

Viro Doctissimo atque Celeberrimo

Jacobo Hermanno

S. P. D.

Joh. Bernoulli.

Gratias refero Vir Celeber. pro humanissima Tua gratulatione, qua in litteris Tuis die 12. Julij datis prosequi voluisti Decani munus praeter omnem expectationem et mirabili modo in me licet invitum iterata vice collatum, quanquam si bene numeres annos ex quo prima vice ad hanc dignitatem admovebar facile intelligas, biennium adhuc requiri, donec ordo me tangeret, sed ita fuit in fatis, et verum esse comperio tritum illud "accidit in puncto, quod non speratur in anno". Scriptum Tuum contra Parentium mature prodierit, quandocunque prodierit, nam sat cito si sat bene, adeoque non est quod festines in praejudicium graviorum Tuorum negotiorum Nob. Burnetus secundum ea quae nuper mihi scripsit, nunc forte in Angliam reversus, ubi magnam rerum catastrophen deprehendet, postquam factio illa quae vocatur "Rigidorum" alteri "Moderatorum" praevaluit, occasionem huic mutationi praebente quodam Saccheverello Th. Doctore homine perniciosissimo; ex quo novo rerum statu, multi ex sagacioribus nihil boni pro belli eventu ominantur, et abruptas a Gallis pacis Tractationes non allii causae quam huic adscribunt, opinantes scilicet ex ea re Gallos favorabiliorem fortunam, quae res suas collapsas restituere queat, sperare. Negotium Leidense de vocando Professore nunc iterum silet, nihilque de eo aliud mihi constat quam quod in novissimis meis ad Te perscripsi. Scriptum meum quod adversus Craigium paraveram in defensionem inventi mei circa motum reptorium, et quod miseram Cl. Scheuchzero juniori in Angliam deferendum ad Cl. Moyvraeum, audio nunc in Angliam non trajecisse Scheuchzerum, sed Belgio relicto recta Lutetiam petiisse, et ita scriptum meum insalutato Moyvraeo ad me remissum iri, quod me male habet, ob frustra insumtum laborem in conficienda responsione satis prolixa et taediosa, conabor tamen alia occasione illud mittere in Angliam, interim aliquid de ea re insertum videbis, quod responsionis loco erit, in Miscellaneis Berolinensibus, quae significante Ampl. Leibnitio jam prodierunt, sed quae nondum vidi. Utrum Cl. Varignonius qui de viribus centralibus ad nauseam usque egit, de inverso earum problemate nunquam cogitaverit, an vero, quod probabilius est, cum solvendo se parem non senserit, studio silentio illud praeterierit nunc quidem non disceptabimus, sed quod satius duco et ad rem ipsam promovendam utilius; solutionem Tuam utut bonam et ingenii Tui acumen satis pandentem non nihil examinabo, et postea meam solvendi methodum Tibi quia petis fusius exponam: quod igitur statim attinet ad Tuam analysin, videtur ea ex consilio accomodata ad quaesitum, quod Tibi jam antea innotuit; Quis enim Tibi dixisset aequationem ad quam pervenis ${\frac {-ddx{\sqrt {xx+yy}}}{x}}=$${\frac {{\overline {ydx-xdy}}{}^{^{2}}}{xx+yy}}$, ad hanc formam esse reducendam $-addx={\overline {ydx-xdy}}\times {\frac {\overline {xydx-xxdy}}{{\overline {xx+yy}}{\sqrt {xx+yy}}}}$, ut posses ejus integralia sumere? et quis iterum Te docuisset quomodo integralia illa sint sumenda, et postea integralium integralia, siquidem indeterminatae $x$, $y$, $dx$, $dy$, $ddx$, in tantum sint intricatae, ut eas separare velle res esset desperati laboris; permixtas vero eas integrare ut Tu fecisti, tantum non penitus fuisset impossibile, nisi jam ante suspicatus esses sectiones conicas isti aequationi differentio-diferentiali solas satisfacere, quam ergo variis modis tentando et ad scopum praevisum torquendo tandem feliciter ad aequationem algebraicam reduxisti: quod si conjectura me fallit, optarem ut methodum Tuam tentares in hypothesi generali, hoc est ut data quacunque lege virium centripetarum invenires curvam trajectoriam saltem concessa spatiorum curvilineorum quadratura; videbis enim in quantum labyrinthum indeterminatarum permixtio Te deducet, ex quo Te extricandi nullum reperies filum, nisi aliam solvendi viam ineas. Caeterum ex solutione Tua pro hypothesi particulari nondum sequitur solas sectiones conicas satisfacere, oblitus enim es post primam integrationem aequationis differentio differentialis, alterutri membro adjicere quantitatem constantem, unde aliquis facile suspicari posset, forte aliud curvarum genus praeter sectiones conicas (ut plerunque accidit) quaesito posse respondere, hoc vero loco ex adjectione quantitates constantis nihil pro natura curvarum mutari ostendere debuisses; quod a Te omissum nunc ita suppleo; in aequatione Tua differentio-differentiali $-addx={\overline {ydx-xdy}}\times {\frac {xydx-xxdy}{{\overline {xx+yy}}{\sqrt {xx+yy}}}}$ pro integrali membri $-addx$, pono non tantum $-adx$, ut Tu facis, sed $-adx\pm {\textrm {Constante}}$, hoc est $-adx\pm e\times {\overline {ydx-xdy}}$; reliqua nunc Tecum ita prosequor; sumtis integralibus, erit $-adx\pm e{\overline {ydx-xdy}}=-{\frac {y}{\sqrt {xx+yy}}}\times {\overline {ydx-xdy}}={\frac {xydy-yydx}{\sqrt {xx+yy}}}$; vel $-{\frac {abdx}{xx}}\pm {\frac {eb}{xx}}\times {\overline {ydx-xdy}}={\frac {bxydy-byydx}{xx{\sqrt {xx+yy}}}}$, cujus integralis invenitur ${\frac {ab}{x}}\mp {\frac {eby}{x}}\pm c={\frac {b{\sqrt {xx+yy}}}{x}}$, seu (posito $eb=h$ et reducta aequatione) $ab\mp hy\pm cx=b{\sqrt {xx+yy}}$, quae non obstante quod nunc $hy$ accedat, quod in Tua abest, tamen aequatio est ad tres sectiones conicas; quod si vero constans illa quam Tu neglexisti $e\times {\overline {ydx-xdy}}$ divisa per $xx$, non fuisset integrabilis, vel saltem si ejus integrale dedisset $y$ plurium quam unius dimensionum, vides utique tunc alias curvas praeter sectiones conicas, Te inscio et non credente, satisfacturas fuisse, ita ut non dubitem, quin Tuam solutionem utpote non satis generalem defectuosam hac in parte libenter agnoscas. His ita praemissis, lubet nunc meam solvendi methodum, Tibi eam petenti, pandere, quam non displicituram spero, quoniam 1.^o generalis est, exhibens constructionem concessa spatiorum curvilineorum quadratura pro qualibet hypothesi, nam 2$.{}^{\text{do}}$ pervenio ad aequationem in qua indeterminatae sponte separantur et 3.^io aequatio illa primis tantum differentialibus constat, neque differentio differentialibus opus est. Ut itaque totum negotium ab ovo deducam et paulo prolixius (non tamen ingrata prolixitate) prosequar, ante omnia hoc propono

Lemma

Si duo corpora ex eodem puncto $A$ aequali cum velocitate $AD$ incipiant descendere et iisdem viribus urgeantur ad punctum $O$, unum quidem directe secundum rectam $AO$, alterum vero oblique secundum trajectoriam quam describet $ABC$, dico illa duo corpora in singulis a centro virium $O$ aequalibus distantiis in $B$ et $E$ fore aeque velocia, hoc est, si $EG$ designet velocitatem acquisitam in $E$ corporis recta descendentis, eandem quoque fore celeritatem in $B$ corporis trajectoriam $ABC$ describentis. Demonstratio hujus habetur apud Newtonum pag. 125, sed operosa et pro more ejus perplexa, eam planiorem reddo hoc pacto: concipiantur tam curva $ABC$, quam recta $AEO$, dividi per infinitos circulos concentricos quam proximos in elementa sua $Bb$ et $Ee$; jam cum ubique vis in $E$ recta urgens, sit ad eandem oblique urgentem secundum $Bb$, ut ipsum $Bb$ ad $Ee$ (ceu ex Mechanicis liquet); et quia etiam velocitatum incrementa se habent in ratione composita illarum virium et elementorum temporis, haec vero elementa temporis sunt ab initio $A$ et ideo postea semper ut ipsae longitudines lineolarum $Bb$ et $Ee$; unde patet duo ista corpora primis elementis Linearum percursis, acquirere aequalia velocitatis incrementa; et sic aequali velocitate ad secunda pervenient, quibus itaque percursis, iterum aequalia velocitatis incrementa acquirent, adeo ut etiam ad tertia, et ita ad quarta, quinta, et sic deinceps ad quaecunque puncta $B$ et $E$ aequali velocitate perveniant. Q. E. D.

Hoc Lemmate praemisso quaero nunc curvam velocitatum $DGH$, hoc est eam cujus applicatae $EG$ designent velocitates acquisitas in $E$ corporis recta descendentis, vel in $B$ corporis trajectoriam $ABC$ describentis, quam ipsam trajectoriam postea facile inveniemus: sit itaque $OE=x$, $EG=v$, et vis centripeta = $\xi$, (intelligo per $\xi$ datam quamcunque per $x$ et constantes hoc est quamcumque legem virium): jam quia tempus per $Ee$ aequatur ipsi ${\frac {dx}{v}}$, tempus vero hoc multiplicatum per vim centripetam dat incrementum velocitatis si descendit, vel decrementum si ascendit corpus; adeoque ${\frac {\xi dx}{v}}=-dv$ vel $\xi dx=-vdv$ sumtisque integralibus $\int \xi dx=ab-vv$ (per $ab$ intelligo quantitatem quamvis constantem, quam integralibus adjicere licet pro arbitrio) hinc ergo $v={\sqrt {ab-\int \xi dx}}$. Q. E. D.

Ipsam nunc trajectoriam $ABC$ determino, hoc pacto: sit $OA=a$, et arcus eo radio descriptus $AL=z$, $Ll=dz$, adeoque $Nb={\frac {xdz}{a}}$, et $Nb\times BO$ (h. e. 2 areae $\bigtriangleup$li $BOb$ seu tempus per $Bb$) $={\frac {xxdz}{a}}$, hoc vero multiplicatum per velocitatem nempe per ${\sqrt {ab-\int \xi dx}}$, dat spatium $Bb$, unde aequatio ${\frac {xxdz}{a}}{\sqrt {ab-\int \xi dx}}=Bb={\sqrt {dx^{2}+{\frac {xxdz^{2}}{aa}}}}$ qua reducta habetur $dz={\frac {caadx}{\sqrt {abx^{4}-x^{4}\int \xi dx-a^{2}c^{2}xx}}}$, (per $c$ intelligo quantitatem arbitrariam constantem ad supplenda homogenea introductam) quae exprimit naturam trajectoriae quaesitae $ABC$. Q. E. I. Vides itaque me statim pervenisse ad aequationem differentialem primi gradus, ubi nulla est indeterminatarum implicatio, et sic constructio geometrica, concessis figurarum curvilinearum quadraturis, facile adornari potest, imo commodius quam fecit Newtonus pag. 127 et seqq. Praeterea ex mea aequatione statim patet utrum trajectoria quaesita sit algebraica nec ne incerta virium hypothesi, quod si enim integrale ipsius ${\frac {caadx}{\sqrt {abx^{4}-x^{4}\int \xi dx-{aa}^{}ccxx}}}$ sit reducibile ad arcum circuli cujus radius ad $OA$ vel a sit ut numerus ad numerum, curva quaesita $ABC$ erit necessario Algebraica; atque sic in vulgari hypothesi ubi nempe vires centripetae, sunt quadratis distantiarum reciproce proportionales, h. e. ubi $\xi ={\frac {aag}{xx}}$ valore ipsius $dz$ abeunte in ${\frac {caadx}{\sqrt {abx^{4}+aagx^{3}-aaccxx}}}$ vel ${\frac {caadx}{x{\sqrt {abxx+aagx-aacc}}}}$, quod ad hujus modi arcum circuli reduci potest; hinc equidem protinus video curvam nostram $ABC$ in hac hypothesi semper esse algebraicam, quod vero insuper sit necessario sectio conica, it ulteriori indagine opus habet, quam rem a Newtono neglectam et pag. 55, coroll. I sine de$monstratione paralogistice assumtam, ego demonstrative conficio, hunc in modum: ut valor ille reducatur ad formulam ordinariam differentialis arcus circularis, ponatur $x={\frac {aa}{y}}$, et habebitur substitutione facta, ${\frac {caadx}{x{\sqrt {abxx+aagx-aacc}}}}={\frac {-cady}{\sqrt {a^{3}b+aagy-ccyy}}}$ $=$ (posito $y={\frac {aag}{2cc}}-t$) ${\frac {cadt}{\sqrt {a^{3}b+{\frac {a^{4}gg}{4cc}}-cctt}}}=$ (posito brevitatis gratia $a^{3}b+{\frac {a^{4}gg}{4cc}}=cchh$) ${\frac {adt}{\sqrt {hh-tt}}}=dz$ adeoque ${\frac {dz}{a}}={\frac {dt}{\sqrt {hh-tt}}}={\frac {1}{h}}\times {\frac {hdt}{\sqrt {hh-tt}}}$ hoc est = differentiali arcus, cujus radius est $h$, et sinus $t$, diviso per radium; cum autem arcus divisus per suum radium, designet quantitatem anguli quem arcus iste subtendit, erit ${\frac {dz}{a}}$ quantitas anguli LOl, et ${\frac {1}{h}}\times {\frac {hdt}{\sqrt {hh-tt}}}$, erit quantitas anguli differentialis radio existente $h$, et sinu $t$; adeoque ob aequalitatem illorum angulorum differentialium, erunt etiam anguli integrales aequales, aut (ut rem generaliter sumam) alter alterum constanti angulo excedens. Quare si radio $OM=h$, describatur circulus $MST$, et angulus $AOL$ ($\int {\frac {dz}{a}})$ diminuatur vel augeatur angulo constanti LOS, ut habeatur angulus $MOS$ ($\int {\frac {1}{h}}\times {\frac {hdt}{\sqrt {hh-tt}}}$), manifestum est demissam in $AO$ perpendicularem $SP$ fore $=t$, ex hac vero determinatur retrogrado ordine $y$, et postea $x$ seu $OE$, quae erit ${\frac {2aacc}{aag-cct}}$, descripto itaque radio $OE$, arcu $EB$, qui secet rectam $OL$ in puncto $B$, erit punctum $B$ in trajectoria $ABC$, quam dico esse sectionem conicam, quod sic demonstro: primo attendenti patet angulum illum constantem $LOS$, quo angulus $AOL$ augetur vel minuitur, non mutare naturam curvae $ABC$, sed tantum ejus situm vel promovere vel retrotrahere circa punctum $O$, dum singula ejus punct[a] $B$, in suis respective arcubus $EB$ similiter vel [u]tra protrahuntur vel retroaguntur quasi scilicet totum planum curvae $ABC$ circa centrum $O$ rotaretur: facilioris itaque calculi gratia supponam angulam $AOL$ non augeri vel minui, id est angulum $MOS$ esse = angulo $AOL$. Esto nunc in hac altera figura (ubi iisdem litteris eadem denotantur) [ad] $AO$ perpendicularis $OQ={\frac {aag}{cc}}$, et centro $Q$ super $QO$ descripta intelligatur hyperbola aequilatera $VXZ$, cujus rectangulum coordinatarum $QYX$, vel $QOZ=2aa$; producta itaque $XY$ ordinata qualibet hyperbolae, quae secet circulum $MST$ in $S$, per quod ducatur recta $OS$ sumatur in illa (si opus prolongata) $OB=XY$ erit $B$ in trajectoria $ABC$; est enim $OB=XY=$${\frac {2aa}{QY}}={\frac {2aa}{{\frac {aag}{cc}}-t}}={\frac {2aacc}{aag-cct}}$; Est vero etiam (vi hujus constructionis) $ABC$ sectio conica; sicut calculus ordinarius facile ostendit, si enim quaeratur aequatio inter coordinatas $OF$ et $FB$, quas jam lubet nominare $x$ et $y$, invenietur ${\overline {a^{4}gg-c^{4}hh}}\times xx=4aac^{4}hx-a^{4}ggyy+4a^{4}c^{4}$, quae est aequatio ad sectionem conicam. Et quidem ad parabolam, quando $OQ({\frac {aag}{cc}})=OT(h)$, ad ellipsin si $OQ<OT$, ad hyperbolam vero ubi $OQ>OT$. Q. E. D. Quod vero attinet ad modum determinandi vim centripetam in quavis curva data ecce pro hoc theorema non inelegans, cujus demonstrationem inveni jam olim independenter a solutione hujus problematis inversi, eamque communicavi cum Cl. Moyvraeo in litteris meis ad ipsum datis die 16 Febr. 1706, his verbis ($EPp$ est curva trajectoria data, $S$ focus vel centrum virium, $AP$ Tangens, $SA$ perpendicularis in tangentem) "soit tirée du centre des forces $S$ une droite $S$$\pi$ infiniment proche de $SP$, et qui coupe la tangente prolongée en $\pi$ et la courbe en $p$, soit aussy tirée la petite perpendiculaire $p\varpi$; supposant donc que le triangle $PSp$ qui marque le temps que le mobile employe a parcourir l'element de la courbe $Pp$ soit constant, on poura faire $SA\times Pp=1$: or vous sçavez que le rayon de la developée en $P$ (que je nomme $R$) est a $Pp$, comme $Pp$ à $p\varpi ={\frac {Pp^{2}}{R}}$, mais à cause des triangles semblables $SA$$\pi$, et $\pi \varpi p$, on fait $SA\cdot S\pi (SP)::p\varpi ({\frac {Pp^{2}}{R}})\cdot p\pi$, ainsi on trouvera $p\pi$, ou l'eloignement momentain de la tangente, c'est à dire la force centripete = ${\frac {SP\times Pp^{2}}{SA\times R}}={\frac {SP\times SA^{2}\times Pp^{2}}{SA^{3}\times R}}$ = (à cause de $SA^{2}\times Pp^{2}=1$) ${\frac {SP}{SA^{3}\times R}}$, en sorte que la force centripete est en raison directe des distances, et en raison reciproque composée du rayon des d[e]velopées, et du cubes des perpendiculaires sur les tangentes, etc." Sic itaque vis centripeta terminis finitis generaliter expressa habetur. Hoc theorema inservit etiam ad aliam solutionem obtinendam problematis inversi virium, quam si bene memini jam ante 15 annos inveni, statim nempe post adventum meum ad Batavos, deducit illa quidem ad differentias secundas, cum tamen se mihi obtulerit singularis aliquis modus eas separandi et postea integrandi reducendique ad aequationem supra inventam, hanc solvendi viam tecum pariter communicare non pigebit. Sit itaque ut ibi (Vid. Fig. 1) $OB=OE=x$, $AL=z$, $OA=a$, $BN=dx$, $Nb=dy$, vis centripeta in $B=\xi =$ (per hoc theorema) ${\frac {x}{p^{3}r}}$, (voco autem $p$ perpendicularem ex $O$ in tangentem), et $r$ radium evolutae in $B$; est autem per ordinarias formulas $p={\frac {xdy}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}$, et nulla adhuc posita constante differentiali invenitur $r={\frac {{\overline {xdx^{2}+xdy^{2}}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}{dx^{2}dy+dy^{3}+xdxddy-xdyddx}}$, erit itaque ${\frac {x}{p^{3}r}}$ seu $\xi ={\frac {dy^{3}+dx^{2}dy-xdyddx+xdxddy}{x^{3}dy^{3}}}$; Artificium nunc separandi indeterminatas easque integrandi (quod alias aegre fieret) in hoc consistit, ut haec prolixa quantitas abbrevietur, id quod obtineri potest si attendatur, qualis differentialis (est enim res arbitraria) ponenda sit constans, per cujus substitutionem duo termini se destruant, et ita duo tantum remaneant; video autem facile hoc fieri duobus modis ponendo aut $xdy$ aut ${\frac {dx}{x}}$ = constanti, sit enim primo $x$ $dy=c$, quo posito habebitur $\xi ={\frac {dy^{3}-xdyddx}{c^{3}}}$, hoc nunc sic integratur ex differentiatione constantis $xdy$, oritur $xddy+dxdy=0$, seu $dy={\frac {-xddy}{dx}}$, hoc igitur valore ipsius $dy$ substituto in aequatione $\xi ={\frac {dy^{3}-xdyddx}{c^{3}}}$, proveniet $\xi ={\frac {-dyddy-dxddx}{ccdx}}$ seu $\xi dx={\frac {-dyddy-dxddx}{cc}}$, sumtisque integralibus $\int \xi dx={\frac {-{\frac {1}{2}}dy^{2}-{\frac {1}{2}}dx^{2}}{cc}}\pm n$; ad hanc aequationem aliter et facilius perveniri potest, hoc modo: aequatio integranda $\xi ={\frac {dy^{3}-xdyddx}{c^{3}}}$ multiplicetur per $dx$, et dispescatur in partes, ut habeat[ur] $\xi dx={\frac {dy^{3}dx}{c^{3}}}({\frac {dx}{x^{3}}}){\frac {-xdxdyddx}{c^{3}}}({\frac {-dxddx}{xxdy^{2}}})$ sumtis itaque integralibus erit $\int \xi dx=-{\frac {1}{2xx}}-{\frac {dx^{2}}{2xxdy^{2}}}\pm n$ (per $n$ intelligo, ut ante quantitatem quamlibet constantem) = iterum ${\frac {-{\frac {1}{2}}dy^{2}-{\frac {1}{2}}dx^{2}}{xxdy^{2}}}\pm n$. Sit nunc secundo ${\frac {dx}{x}}$ constans, superior aequatio $\xi ={\frac {dy^{3}+dx^{2}dy-xdyddx+xdxddy}{x^{3}dy^{3}}}$ abit in hanc $\xi ={\frac {dy^{3}+xdxddy}{x^{3}dy^{3}}}$, quae rursus duobus modis integrari potest, sed posteriori tantum utendo, multiplicetur per $dx$ et distribuatur in partes, ut vides $\xi dx={\frac {dx}{x^{3}}}+{\frac {dx^{2}ddy}{xxdy^{3}}}$, quarum integralia sumta (ob ${\frac {dx^{2}}{xx}}$ constans) dant $\int \xi dx={\frac {-1}{2xx}}{\frac {-dx^{2}}{2xxdy^{2}}}\pm n={\frac {-{\frac {1}{2}}dy^{2}-{\frac {1}{2}}dx^{2}}{xxdy^{2}}}\pm n$ ut ante; reducta itaque nostra aequatione differentio-differentiali, ad aequationem differentialem ordinariam, illa nunc porro si rite tractetur ad hanc reducitur (observata homogeneorum suppletione) ${\frac {bbdx}{{\sqrt {nnxx-xx}}\int \xi dx-b^{4}}}=dy={\frac {xdz}{a}}$ adeoque $dz={\frac {abbdx}{{\sqrt {nnx^{4}-x^{4}}}\int \xi dx-b^{4}xx}}$ quae prorsus similis est illi, quam per superiorem methodum inveni, ex qua itaque nunc iterum fluit constructio universalis trajectoriae et sectionis conicae determinatio ex hypothesi particulari virium centripetarum quadratis distantiarum reciproce proportionalium, per modum supra adhibitum. Sed haec tandem de hoc problemate virium, inverso si non novo, saltem nunquam antea soluto dicta sufficiant: reliqua nunc Tuae epistolae capita omni qua potero brevitate perstringam.

Mechanicam Tuam Fluidorum spero brevi absolutum iri, postea sine mora Typothetae tradendam, cujus exemplar si ad me deferri curaveris, id bonitati Tuae ascribam. Mitto Tibi hic descriptionem mei barometri excerptam ex litteris ad Cl. Varignonium, una cum hujus responsione et mea replicatione, ut videas quid Galli aliqui ex invidia forte objecerint, et quomodo inventum vindicaverim. Modus quo quondam ponderavi aerem per condensationem nihil magni in se continet, ut adeo non mereatur ejus descriptione et per figuram delineatione, epistolam hanc jam nimis longam ultra modum extendere; si bene memini, simile quid de ponderatione aeris condensati apud Galilaeam legi: hoc tamen insuper effeci, ut non tantum simpliciter aëris (quem in cylindro aereo ope antliae pneumaticae fortiter compressam) pondus ad lancem examinarem, sed ut etiam scirem quantum praecise aëris intruserim in cylindrum, hoc est quantum spatium occuparet si juris sui factus consistentiam suam naturalem recuperaret, et ita mihi patesceret, quam rationem haberet gravitas specifica aëris ad gravitatem specificam aquae, hoc autem ita facile obtinui, nempe aërem condensatum ex cylindro per epistomium, quod pro lubitu magis minusve aperire poteram, et sub aqua in vase ampliori demersum, aër hoc modo emissus, et in recipiens immissus superiora petens sese ad statum suum naturalem expandit, et per expulsionem aquae mihi indicavit quantum spatii ad naturalem consistentiam redactus occupaverit, factum autem est ut aliquando ter vel quater totum recipiens evacuaverit ab aqua, et praeterea partem aliquam, singulis scilicet evacuationibus peractis promte occlusi epistomium cylindri et deinde recipiens iterum aqua replevi, donec tandem omnis aër condensatus, ex cylindro per vices fuisset egressus, et recipiens mensurandi spatii gratia subiisset. Modus hic, ponderandi aërem, prae altero illo communi qui peragitur per extractionem aëris magis arridet, possum enim hac ratione magnam quantitatem aëris simul ponderare, et ita ejus gravitatem specificam multo accuratius determinare. Adgnatus meus ex Galliis in Patriam redux salutem Tibi meis verbis ascribit, Si Tuus quondam successor ex Tua commendatione fieri posset post discessum Tuum Patavio (audio enim Te aliquot adhuc annis ibi transactis stationi valedicturum) rem faceres egregiam et mutuis quibuslibet officiis erga Te demerendam.Nuper vidi quam nobiscum communicavit Rev. Pater Tuus Sanctorii medicinam staticam Tuo nomini honorifice inscriptam, gratulor Tibi, de tam illustri dedicatione meritis Tuis dignissima. Accepi quoque Tuo missu a Rev. Parente Cl. Guidonis Grandi Libellum egregium de infinitis infinitorum, pro quo Tibi non minus quam Cl. Auctori gratias ago summas; Cl. Varignonius contra quem scriptus est hic libellus, sumsit olim ex quibusdam litteris meis scriptis die 22 Juli 1692 occasionem mihi primo movendi litem super plus quam infinitis, quae disputatio inter nos duravit per integrum fere annum, donec tandem illum ad silentium redegerim, et se a me convictum fassus fuerit, adeo ut mirer eum postea hanc litem publice renovasse, postquam enim multis ipsi ostendissem, quemadmodum infiniti sint gradus dif[f]erentialium, seu infinite parvorum, tandem in litteris suis ad me datis die 22 Apr. 1698 in haec erupit verba "Enfin je suis plainement satisfait de vos eclaircissemens sur les plusqu'infinis", et in litteris sequentibus die 22 Maji 1698 sibi iterum satisfactum fatetur his verbis: "Vôtre sentiment sur l'infinité me paroit tres vray ... Tout cela me paroit une suite necessaire de la doctrine des infinis de differens genres." Si Cl. Grandi institutum mihi innotuisset, potuissem ipsi suppeditare mea de hoc argumento Cogitata, aut si optaverit nunc quidem communicabo; forte lucem non exiguam huic rei offundent. Illustr. Marchionis Poleni opusculum de Barometris mihi erit gratissimum. Cultum meum, ut ipsi vicissim deferas summopere rogo. Vale et me amare perge.

Dabam Basileae a. d. 7. 8bris 1710.

---

Fussnoten

Zurück zur gesamten Korrespondenz (Hermann, Jacob)

Zurück zur gesamten Korrespondenz (Bernoulli, Johann I)