1718-07-21 Bernoulli Johann I-Hermann Jacob

[Noch keine Bilder verfügbar]

Kurzinformationen zum Brief       mehr ...
Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Hermann, Jacob, 1678-1733
Ort	Basel
Datum	1718.07.21
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 659, Nr.27
Fussnote	Autographe Korrekturen. Die Zahl 21 im Datum ist nachträglich eingefügt.

Viro Excellentissimo atque Celeberrimo

Jacobo Hermanno

S. P. D.

Joh. Bernoulli

Debeo responsionem ad binas Tuas litteras, quarum priores jam 24. Sept. superioris anni (1717), posteriores vero 4. Aprilis hujus anni 1718 erant datae; ad illas quidem, quia responsionem non adeo urgere videbantur, silendum putavi donec scirem, meas eodem fere tempore ad Te exaratas Tibi traditas esse, quod cum nunc ex postremis Tuis intellexerim; ecce simul ad utrasque Tuas respondendi debito me exolvo. Ante omnia quidem gratulor de professione physica Regio jussu Tibi recens demandata et pristinae Tuae professioni Mathematum superaddita: faxit Deus ut utramque spartam solita Tua dexteritate et pari cum laude exornes, eumque in finem sufficientes Tibi et corporis et animi vires largiatur. Uterque nostrum gaudere possumus, Rectoratum utroque in loco satis molestum a nobis feliciter fuisse depositum, si apud Vos eo durante plures sunt exantlandi labores, pluraque devoranda taedia quam in nostra Academia, vicissim per integrum annum fascibus Rectoralibus oneramur hic, vos vero per semestre tantum. Venerandus noster Iselius eosdem nuper transtulit in Consult. Virum J. J. Battierium ad hoc munus per sortem electum, postquam eos per hunc annum academicum dexterrime gessisset magno Universitatis et scholarum commodo.

Quid Groningani Proceres statuerint de vacante Cathedra mathematica in Academia sua mihi non constat, hoc saltem scio quod etiamnum vacet et vacatura sit quamdiu Civitatis Magistratus et Omlandiarum Ordines (quod saepe longo durat tempore) in unum non conspiraverint, vereor autem ne gravissima inundatio quae ipsorum agros devastavit praeterita hyeme non sine irreparabili fere damno ad alias omnino cogitationes deflectat animos atque potius ad aggeres disruptos quam ad Musarum castra instauranda. Quod vero oblatam mihi jam antea iteratam vocationem Groninganam recusaverim, ideo existimare non debes me serio non esse locutum quando asseveravi me tanto taedio in nostra Academia affici ut professionem meam cum Tua vel alia permutarem, nam non recusavi quia statio non arridebat sed quia non nis[i] pristinum salarium offerebant, quod cum olim sponte deseruerim, nunc postliminio sine ulla melioratione acceptare non potuissem salva mea existimatione; certe non intermisi Groninganis commonstrare hanc unicam esse remoram quae me impediat atque arceat ab amplectanda hac occasione ad ipsorum Lares redeundi, eam itaque tollendam esse novo salarii augmento si me vellent ad se allicere, sed surdis fabula; unde vides, non meam esse culpam quod me Groningani non denuo possideant. Vides etiam quod maxim[e] serio locutus fuerim.

Ut difficultatem diluam quam offendis in solutione mea problematis de invenienda curva indefinitae quidem quadraturae incapace, quae tamen tot quot libuerit spatia admittat quadrabilia absolute, quae solutio inter alias in hac consistit aequatione $y=z+{\sqrt[{p}]{ax^{m}+bx^{m-1}+cx^{m-2}+{\textrm {etc.}}+h}}$, ubi $z$ datur in $x$ per hanc aequationem $x^{p}-az^{m}-bz^{m-1}-cz^{m-2}-{\textrm {etc.}}-h=0$: ut inquam scrupulum tibi tollam, communicabo hic et detegam ipsum Regulae fontem, quo viso sponte disparebit omnis difficultatis nebula. Sint duae rectae sibi invicem normales $AK$, $AG$; et super $AK$ tanquam axe descripta sit curva algebraica $AFBCD$, ejus naturae ut abscissa $AH$ existente $x$, applicata $HB$ sit $={\sqrt[{p}]{ax^{m}+bx^{m-1}+cx^{m-2}+{\textrm {etc.}}+h}}$ occurret haec curva, ut liquet, rectae $AD$ angulum $GAK$ bisecanti in tot punctis $C$, $D$, etc. quot sunt radices possibiles in hac aequatione $x^{p}-ax^{m}-bx^{m-1}-cx^{m-2}-{\textrm {etc.}}-h=0$. Jam in recta $AG$ sumantur partes $AE$ ipsis $AH$ aequales et ad singulas applicentur $EF$ ipsi $AK$ parallelae quae vocentur $z$: quo peracto fiat super axe $AK$ nova curva algebraica $ALMN$, cujus applicatae $HL$ quae dicantur $y$ sint aequales aggregato ex $BH$ et $EF$ simul unde per ejus naturam haec emerget aequa[tio] $y=z+{\sqrt[{p}]{ax^{m}+bx^{m-1}+cx^{m-2}+{\textrm {etc.}}+h}}$, dico hanc curvam satisfacere quaesito. Nam ex ejus constructione sequitur spatium $AHL$ aequari aggregato spatiorum $AHB$ et $AEF$ hoc est mixtilineo $AEFBH$; hoc vero mixtilineum, abeunte puncto $H$ in punctum $I$ vel $K$ vel etc. patet degenerare in quadratum $AI$, vel in quadratum $AK$, vel etc. Ergo curva algebraica $ALMN$ talis est, ut ejus area indefinita $ALH$ sit inquadrabilis (suppono pro $p$ et $m$ sumi numeros integros quidem et affirmativos sed qui tamen faciant ut quantitas $dx{\sqrt[{p}]{ax^{m}+bx^{m-1}+cx^{m-2}+{\textrm {etc.}}+h}}$, non sit integrabilis) sed quae interim tot habeat areas quadrabiles ut $AIM$, $AKN$ etc. quot libuerit ex quot nempe radicibus possibilibus componere placuerit aequationem $x^{p}-ax^{m}-bx^{m-1}-cx^{m-2}-{\textrm {etc.}}-h=0$ quod autem tandem $z$ detur in $x$ per hanc aequationem $x^{p}-az^{m}-bz^{m-1}-cz^{m-2}-{\textrm {etc.}}-h=0$ liquet ex eo quod per naturam curvae $ABCD$ abscissa existente $z=EF$, applicata futura sit $={\sqrt[{p}]{az^{m}+bz^{m-1}+cz^{m-2}+{\textrm {etc.}}+h}}=AE={\textrm {(Perconstr.)}}x$: elevando utrumque membrum ad potentiam $p$, et reducendo omnia ad unam partem provenit dicta aequatio $x^{p}-az^{m}-bz^{m-1}-cz^{m-2}-{\textrm {etc.}}-h=0$, pro determinatione valoris ipsius $z$ in $x$. Quae omnia erant facienda et demonstranda.

Schol. 1. Si $AE$ accipiatur multiplum submultiplumve quodlibet ipsius $AH$, ita sc. ut $AE$ sit $=nx$: et deinde recta $AD$ secet angulum $GAK$ ut tangens anguli $DAK$ sit ad sinum totum ut $n$ ad 1; caeteraque construantur ut ante, orietur alia curva $ALMN$ quae pro diversitate numeri $n$ infinitis modis variat, semper tamen gaudens spatiis quadrabilibus $AIM$, $AKN$, etc., quorum tot erunt quot sunt radices possibiles in hac aequaetione $n^{p}x^{p}=ax^{m}+bx^{m-1}+cx^{m-2}+{\textrm {etc.}}+h=0$; notetur autem faciendam jam esse $HL=BH+n\times AE$, unde aequatio naturam curvae $ALMN$ exprimens erit haec $y=nz+{\sqrt[{p}]{ax^{m}+bx^{m-1}+cx^{m-2}+{\textrm {etc.}}+h}}$ ubi $z$ datur in $x$ per hanc alteram $n^{p}x^{p}-az^{m}-bz^{m-1}-cz^{m-2}-{\textrm {etc.}}-h=0$.

Schol. 2. Possunt hae solutiones infinities generaliores reddi, si nempe pro $AE$ sumatur functio quaelibet ipsius $AH$, et loco rectae $ACD$ adhibeatur curva cujus applicatae exprimant similes functiones suarum respective abscissarum. Fiat ex. gr. $AE={\sqrt {\alpha \times AH}}$, sumaturque $HL=BH+{\frac {\alpha }{2AE}}EF$. Pro recta $ACD$ substituatur parabola super axe $AK$ cujus parameter = $\alpha$. Secabit haec parabola curvam $AFBCD$ in tot punctis $C$, $D$, etc. quot sunt radices possibiles in hac aequatione $\alpha ^{p}x^{p}={\overline {ax^{m}+bx^{m-1}+cx^{m-2}+{\textrm {etc.}}+h}}^{2}$; curva proin $ALMN$ totidem habebit areas quadrabiles $AIM$, $AKN$, etc. datur vero $EF$, seu $z$ in $x$ per hanc aequationem $\alpha ^{p}x^{p}={\overline {az^{m}+bz^{m-1}+cz^{m-2}+{\textrm {etc.}}+h}}^{2}$, suppetunt adhuc alii solvendi modi, sed de his satis.

Venio ad postremam Tuam Epistolam: in qua statim dicis Te legisse schediasma meum de Isoperimetris et quidem cum voluptate, quo gaudeo, subdisque Te Tibimet ipsi gratulari, quod circa idem problema in cogitationes meis multum similes incideris, prout ex Actis videre possim, in quibus Tua scheda meam proxime sequatur. Hoc me ita curiosum reddidit, ut quia Acta hujus anni ex nundinis praeteritis paschalibus nondum accepi, ea ex bibliopolio Königii per aliquot dies mutuanda peterem. Inveni re vera in mense Januario et februario schediasma meum bipartitum, sed ita ut Tuum partem priorem mei immediate sequatur alteram vero praecedat, quid sibi velit haec interpolatio non capio, nisi ut in partem gloriae mecum venires, ne mihi in solidum cederet, si quae gloria sit, problema quod arduum videbatur et difficillimum ad tantam simplicitatem reduxisse et facilitatem; sed hic mihi agendi modus non placet; debebat schediasma meum filo continuato prodire, aut si longum nimis fuit poterat partiri quidem sed sine Tui interpolatione, fateris enim puto quod si schadiasma meum non fuisset Lipsiam missum, neque Tuum visurum fuisset lucem; aut poteram in alio Diario edere ubi sine Tui comite comparuisset; quod si factum fuisset et Tuum postea demum publicasses, nemo non putasset Tuam solutionem ex mea esse desumtam; usque adeo nempe sunt similes ut si attente examinentur re ipsa sint eaedem, uteris enim eadem illa uniformitatis lege, qua ego, et quos Tu nominas sinus et tangentes, ego exprimo per fractiones ${\frac {fb}{ab}}$ et ${\frac {fb}{af}}$; quod ego fusius et clarius expono Tu parcius et intricatius proponis. Lector itaque nescius quod schedisma meum ansam praebuerit Tuum conscribendi meumque tamdiu donec absolvisses supprimendi non facile conciliabit, qui fieri potuerit, ut fortuito casu ambo schediasmata sine praevia nostri communicatione in eodem Actorum mense concurrerint; dicis quidem Te rogatum fuisse ab amico, sed non addis (quod debebas) hunc amicum esse eundem illum, qui schediasma meum jam in manibus habebat, cum Te rogaret: addis etiam Te jam ante plures annos cum adhuc Patavii esses in hanc methodum incidisse, hoc aliqui credent, aliqui non; Denique uteris in proemio quibusdam terminis, qui me suspicari faciunt aut Te aliquid de schediasmate meo vidisse, aut aliquid Tibi de eo perscriptum fuisse. Videris contra me velle apologiam facere prolixitatis calculi fratris mei, per me licet, sed falleris quando asseris, illum citra lapsum ad liquidam penetrasse veritatem; siquidem in Scholio meo secundo varios lapsus, errores et contradictiones a fratre meo commissos ostendi. Quod haec Te privatim monui, graviter ferre non potes, cum si amicus meus non esses nesciam quid fuissem facturus publice: ut enim verum fatear, modus scribendi Tuus me non nihil pupugit, quia scopus quem habuisti eo tendisse videtur, ut non tantum inventi gloriam mecum partires, sed quia solus eam possidere non poteras, ut inventum ipsum depretiares, contra quam fecerunt Varignonius et Monmortius, qui viso meo schediasmate, antequam ad Cl. Wolfium misissem istud inventum mirifice laudarunt.

Munus Höggerianum Bibliothecae nostrae destinatum nondum accepimus; quae sit ejus morae causa mihi non constat: non tamen de futuro ejus adventu prorsus desperamus.

Quod Keilius in solutione inversi problematis virium centripetarum pro hypothesi $\varphi ={\frac {l}{xx}}$ principium petat jam diu observavi. Observata mea in libellum Keilianum misi ad Cl. Wolfium, ut edat quando tempus esse putaverit sub tali forma quam ipse maxime idoneam judicaturus esset. Krausius noster composuit ex illis scriptum aliquod latinum quod simul misi, sed non satis ad palatum meum est. Dedi in observatis illis aliquam demonstratiunculam Theorematis illius pro viribus centralibus in cujus inventione sibi tantopere placet Keilius, ut Te plagii reum accusare sustineat; et monui hoc Theorema ultra jam decem annos mihi fuisse cognitum, sed quod non satis dignum reputaverim ut ejus publice mentionem facerem, quia quemadmodum demonstravi ex theoremate Moivreano facillime deducitur, imo tam facile ut idem cum illo censeri possit. Caeterum quod in Accusatorem plagii crimen retorseris, optime fecisti: nam si quisquam alius ille certe quam maxime hoc crimine notatus dignoscitur; quicquid boni habet in physica sua id aliis furatus est, quem ibi habet modum determinandi curvam celerrime descensus, eum ex Actis Lips. spoliavit, est enim prorsus idem cum eo quem Frater meus in illis olim publicaverat.

Vidi fasciculum epistolarum inter Leibnitium quondam et Clarkium commutatarum. Clarkius (qui pro more Anglorum tono Magistrali et tanquam qui victoria potitus loquitur, hun[c]que libellum in quo instar Victoris fugato hoste ultimus comparet in signum triumphi edidit) hinc inde adspersit notulas in quibus locum illum inveni ad Te spectantem quem inde excerptum ad Te transmisit Wolfius. Impugnat Clarkius Regulam Leibnitii de aestimatione virium, et ea occasione exagitat quod dicis in Phoron. p. 113 Corpora cum diversis velocitatibus initialibus ascendent a gravitate resistente non aequalem numerum ictuum temporibus aequalibus esse exceptura, ex hoc sequi concludit Clarkius fore ut gravitas non ageret uniformiter, quod esset absurdum: meo judicio non adeo male concludit, ego itaque mallem dicere, numerum ictuum temporibus aequalibus esse quidem semper aequalem, adeoque et incrementa vel decrementa velocitatum aequalia, sed negarem ideo incrementa vol decrementa virium (vivarum) in dato corpore jam moto esse aequalia; itaque, cum Clarkius nihil solidi proferre possit contra veram aestimationem virium, in eo totus est ut sugellet hunc Tuum locum forte male intellectum, qui tamen nihil ad rem ipsam facit. Sed vellem videre quid diceret ad meam demonstrationem quam Tibi olim Groningae, si bene memini, describendam exhibui, quamque Cl. Wolfius a me sibi communicatam Elem. suis Mathem. Tom. I inseruit, qua nempe directe et abstrahendo a gravitate demonstratur corporum aequalium vires vivas esse in duplicata ratione celeritatum. Certe Volderus quondam Cartesianus pertinacissimus et summi judicii Vir, qui a Leibnitio longo tempore convinci non poterat, tandem se mea hac demonstratione plene convictum et conversum esse candide confessus est. Sed dubito num Clarkius utpote Anglus ipsius exemplum esset secuturus. Quod reliquum est procacitate Anglorum me eo adactum vidi, ut quod circa problema de trajectoriis a Leibnitio ipsis propositum peractum sit per filium meum publice narrare facerem et a quibusdam impactionibus me purgarem, additis simul meis hujus problematis solutionibus: qua occasione fieri non potuit, quin in Tuam quoque solutionem judicium nostrum ferremus; quod autem factum est omni possibili moderatione. Vale et fave.

Dabam Bas. a. d. 21. Julii 1718.

P. S. Reverendus Tuus Pater juxta Tuas litteras misit quoque mihi Exercitationum subsecivarum Francof. Tomum I ex Tua donatione; proinde gratias ago maximas. Exercitationes IV et V abs Te esse inter legendum statim cognovi vel saltem conjeci; conjecturam haud vanam fuisse vidi postea ex recensione hujus opusculi contenta in nupero Actorum Lips. Januario in quo nostra quoque sunt schediasmata. Fallor vehementer nisi Tu quoque sis Auctor illius schediasmatis quod in Actor. mens. aprili p. 164 conspicitur sub nomine Caroli Ernesti Offenburgii aut saltem nisi hic Offenburgius ex Tua suggestione hoc scripserit, sed prius malim credere, nam vestigia styli Tui non obscure observo. Vellem scire an alterum problema de Testudine haemisphaerica perforanda per fenestras quarum ambitus sint absolute rectificabiles, idque per constructionem algebraicam, a Te vel ab Offenburgio sit solutum. Accepi etiam a Dn. Parente Tuo 39${\frac {1}{2}}$ Libras Gallicas ad Varignonium remittendas qui eas in usum Tuum expensas me jussit ut repeterem. Ex novissimis Litteris Monmortianis intelligo, eum tradidisse Dn. Birrio Mercatori Basiliensi impraesentiarum Parisiis habitanti fasciculum aliquem Dn. Patri Tuo inscriptum, qui contineat librum ipsius de sorte ad Te mittendum, et quosdam libellos mihi et Adgnato meo destinatos. Lüdio ante aliquot dies Lutetiam profecto in commissis dedi, ut hunc fasciculum in redditu suo huc asportet. De reliquis articulis quos inveni in litteris Nob. Monmortii, et qui spectant ad Taylorum, Keilium aliosque Anglos, qui magis magisque occasionem quaerunt litigandi nobiscum nihil attingo, quia suppono Illum eadem omnia quae hac de re ad me scripsit etiam Tibi perscribere. Postquam solutiones meas Problematis a Leibnitio Anglis propositi a filio meo schediasmati suo insertas apud Monmortium deposuissem, accepit Monmortius aliquo post tempore solutionem Taylorianam, quam mihi protinus transmisit sed tum nondum typis editam. Vidi Taylorum rem non ulterius provexisse quam ad aequationem $xdz-zdx\times a^{n-1}=x^{n}dr$ ad quam Tu etiam pervenisti, in qua autem indeterminatae adhuc separandae restant: deinde vidi methodum, qua utitur Taylorus, huic problemati in specie esse accommodatam, per consequens ad nulla alia exempla vel ad paucissima extendi posse.

---

Fussnoten

Zurück zur gesamten Korrespondenz (Hermann, Jacob)

Zurück zur gesamten Korrespondenz (Bernoulli, Johann I)