1708-10-13 Bernoulli Johann I-Burnet William

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Burnet, William, 1688-1729
Ort	Basel
Datum	1708.10.13
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	BS UB, Handschriften. SIGN: L I a 654, Nr.2
Fussnote	Zweite Hälfte des Briefes autograph

Monsieur

C'est avec bien de la joye que j'ay appris que ma methode de reduire l'equation $z^{m}+ay^{n}=bz^{e}y^{r}$ à la condition de quadrabilité a eu le bonheur de Vous plaire: Vous remarquez fort bien que par la methode de Mr. Craig on determine l'aire par les coordonées de la courbe proposée, au lieu que par la mienne on l'exprime par les coordonées d'une autre courbe; mais il n'y a rien de si facile que de changer l'expression en une autre, qui ne contienne que des coordonées $y$ et $z$, en substituant seulement la valeur de $x$. Supposé le calcul bien fait que Vous faittes (car je n'ay pas encor eu le loisir de l'examiner, aussy le crois-je juste) pour $\int zdy=Azy+Bz^{p}y^{q}$, par le quel vous trouvez ${\frac {m+r-e}{mn-rm-en}}=1$, je m'imagine bien que l'on aura toujour ${\frac {m+r-e}{mn-rm-en}}=$ à un nombre entier et positif qui sera d'une unité moindre que le nombre des termes de $Azy+Bz^{p}y^{q}+Cz^{g}y^{h}$ etc. Il faut pourtant avouer que ce n'est là qu'une espece d'induction par la quelle on le prouve en faisant plusieurs experiences premierement avec deux termes, et puis avec trois, ensuite avec quatre et ainsi de suite jusqui'à ce qu'on voye une uniformité de la progression de ${\frac {m+r-e}{mn-rm-en}}=1$, $=2$, $=3$, $=4$ etc. au lieu que par ma methode on trouve tout d'un coup la verité en general de ${\frac {m+r-e}{mn-rm-en}}=$ à un nombre quelconque entier et affirmatif. Je Vous fis voir Monsieur, que Mr. Craig se trompe lorsqu'il dit, Quod semper sint quadrabiles (areae), quando ${\frac {m+r-e}{mn-rm-en}}$ est numerus integer et affirmativus, puisqu'il y en a une infinité, qui avec cette condition ne laissent pas de dependre de la quadrature de l'hyperbole, la quelle assertion selon vôtre propre aveu Mr. Craig ne sçauroit justifier; je vous consens reciproquement, que ce n'est qu'une simple inadvertence, à Mr. Craig la chose n'etant que trop claire. Mais voyez presentement une autre erreur qui regarde plus le raisonnement, en disant, Quod exhibeat quadraturas Omnium figurarum quadrabilium, quarum curvae per aequationem trium terminorum definiuntur, car je dis que ce raisonement ex eo quod ${\frac {m+r-e}{mn-rm-en}}=$ numero integro et affirmativo, area sit quadrabilis, sequitur, si non sit integer et affirmativus, non esse aream quadrabilem. C'est ainsi que Mr. Craig raisonne tacitement, ce raisonnement, dis-je, est faux: pour vous en faire voir la fausseté, supposons $mn-rm-en=0$, en ce cas ${\frac {m+r-e}{mn-rm-en}}$ seroit $=$ à un nombre infini, et par consequent la Series qui exprime l'aire contiendroit un nombre infini de termes, c'est à dire, que la quadrature seroit impossible selon Mr. Craig, où il faut remarquer, que quoi qu'on observe les regles qu'il donne pour l'application de sa Series; on aura non obstant tous les changemens qu'on fait, selon sa prescription, toujours, $mn-rm-en=0$, ensorte, que la Series auroit tousjours une infinité de termes, et partant l'aire toujours inquarrable; cependant j'ay trouvé une methode particuliere de quarrer l'aire lorsque ce cas se rencontre, je dis donc, que si dans l'equation $z^{m}+ay^{n}=bz^{e}y^{r}$, on trouve $mn-rm-en=0$, l'aire, qui selon Mr. Craig est inquarrable, sera quarrable, puisque je la trouve $={\frac {m}{m+n}}Ry^{\frac {m+n}{m}}$, j'entens par $R$ la racine de cette equation algebraique $R^{m}-bR^{c}+a=0$; Soit par exemple $z^{3}+ay^{6}=bz^{2}y^{2}$ d'où on a ${\frac {m+r-e}{mn-rm-en}}={\frac {3}{0}}$ = infinito, et partant selon Mr. Craig l'aire inquarrable, mais selon ma regle l'aire est égale à ${\frac {R}{3}}y^{3}=$ au cube de l'ordonnée $y$ multiplié par le tiers de la racine de cette equation $R^{3}-bR^{2}+a=0$. Soit encor pour un autre exemple $z^{4}+ayy=bz^{2}y$, ce qui donne ${\frac {m+r-e}{mn-rm-en}}={\frac {3}{0}}=$ infin. et partant une quadrature impossible suivant les regles de Mr. Craig; cependant je trouve l'aire ${\frac {2}{3}}Ry^{\frac {3}{2}}=$ (à cause que $R={\sqrt {{\frac {1}{2}}b+{\sqrt {{\frac {1}{4}}bb+a}}}}$) ${\frac {2}{3}}y^{\frac {3}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}b+{\sqrt {{\frac {1}{4}}bb+a}}}}$; je pourrois encore donner une infinité d'autres exemples mais en voyla assez pour convaincre Mr. Craig, que sa methode est defectueuse en deux points, sçavoir qu'il y a des courbes qui selon Luy devroient étre quarrables, mais qui ne le sont pas puisque leur quadrature depend de celle de l'hyperbole, et qu'au contraire qu'il y a des courbes dont les aires sont inquarrables selon ses regles et dont les quadratures sont par consequent selon Luy impossibles, lesquelles sont pourtant possibles puisque je les donne. J'ecris cecy en grand'hate, n'ayant presque pas le temps de le relire, vous en jugerez; Je vous souhaite un bon voyage pour l'Italie, quand vous verrez Mr. Herman, je vous prie de Luy faire mes complimens; je Luy ecriray par la commodité que Mr. son Pere me donnera en main, mes complimens aussy s'il vous plait à toute vôtre chere Compagnie, et soyez assuré que personne ne sçauroit étre plus à vous que celuy qui se dit Monsieur Vôtre tres humble et tres obeissant serviteur J. Bernoulli.

Bale ce 13. 8bre 1708.

P. S.

Mr. Verzaglia vous fait ses baisemains.

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Fussnoten

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